第2章专题2 二次函数与一元二次不等式的关系-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册常考题型专题练习（机构专用）

二次函数与一元二次不等式的关系

考向一  二次不等式的求解

1、一元二次不等式的解集是  (  )

A．    B．

C．    D．

【答案】A

【解析】

令，解得：，

所以的解集为：

故选：A。

2、解下列二次不等式

（1）              （2）

【答案】（1）        （2）

3、解下列二次不等式

（1）              （2）

【答案】（1）                         （2）

4、解下列不等式

（1）           （2） 

（3）

【答案】 （1）（2） （3）

考向二  分式不等式、绝对值不等式的求解

1、不等式的解集为（     ）

A． B． 

C． D．

【答案】B

【解析】

由得，

即，解得，
所以不等式的解集是，故选B．

2、解下列分式不等式

（1）       （2）       （3）

【答案】 （1）  （2）   （3）  

3、解下列分式不等式

（1）          （2）            （3）                   

【答案】（1）  （2） （3）或

考向三  含参二次不等式的求解

1、在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是(　　)

A．(3，4)  B．(－2，－1)∪(3，4)

C．(3，4]  D．[－2，－1)∪(3，4]

【答案】D　[由题意得，原不等式化为(x－1)(x－a)＜0，当a＞1时，解得1＜x＜a，此时解集中的整数为2，3，则3＜a≤4；当a＜1时，解得a＜x＜1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a＜－1，故a∈[－2，－1)∪(3，4]．]

2、若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是(　　)

A．[－4，1]  B．[－4，3]

C．[1，3]  D．[－1，3]

【答案】B　[原不等式可化为(x－a)(x－1) ≤0，当a<1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1<a≤3.综上可得－4≤a≤3.]

3、若0<a<1，则不等式(a－x)>0的解集是________.

【答案】　[原不等式可化为(x－a)<0，由0<a<1，得a<，∴a<x<.]

4、已知关于的不等式.若，求此不等式的解集.

【解析】当时，，

即.

当，即时，原不等式的解集为；

当，即时，原不等式的解集为；

当，即时，原不等式的解集为.

5、解关于的不等式:

【答案】因为

所以（1）当即时，原不等式的解集为；

当时得

当时，原不等式即为，所以当时，原不等式得解集为

当时，原不等式即为，所以当时，原不等式得解集为(2)当即时，原不等式的解集

综上所述①当时，原不等式的解集为

②当时，原不等式得解集为

③当时，原不等式得解集为

④当时，原不等式的解集为

6、已知p：，q：，且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．

【答案】或

【解析】

由，

得，由得，即，

也就是或者，

因为是的充分不必要条件，

所以是的真子集，

所以或，解得或

所以的取值范围是或．

7、求不等式的解集．

【解析】

原不等式可化为，即，

当时，原不等式可化为：，因此其解集为：；

当时，方程的根为，；

①当时，，∴不等式的解集为；

②当时，，

∴不等式的解集为；

③当时，，∴不等式的解集为；

④当时，，∴不等式的解集为；

综上，当时，原不等式的解集为；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为.

考向四  二次不等式的恒成立问题

1、“，”为真命题的充分必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

“，”为真命题，对任意的恒成立，

由于函数在区间上单调递增，则，.

故选：A.

2、已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

∵，∴或，即或，∴．∴“”是“”的充分不必要条件．

故选：A.

3、在R上定义运算：x*y＝x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）*（x+a）＜1对任意实数x恒成立，则（　　）

A．﹣1＜a＜1    B．0＜a＜2    C．－    D．

【答案】C

【解析】

解：根据运算法则得，

化简得在上恒成立，

即△，，即，

解得，，

故选：．

4、“，” 为假命题，则实数的最大值为__________．

【答案】

【解析】

由“，”为假命题，可知，“，”为真命题，

恒成立，

由二次函数的性质可知，，

则实数，即的最大值为．

故答案为：.

5、若，使得不等式恒成立，则实数的取值范围是_____

【答案】或

6、不等式对恒成立，则的取值范围是______

【解答】解：令（a），，

由题意可得（a）在恒成立，结合一次函数的单调性可得：

即，

解不等式可得或，

故答案为：或．

7、设函数.

（1）当时，求关于的不等式的解集；

（2）若在上恒成立，求的取值范围.

【解析】（1）若，原不等式可化为，解得；

若，原不等式可化为，解得或；

若，原不等式可化为，其解得情况应由与1的大小关系确定，

当时，解得；

当时，解得；

当时，解得.

综上，当时，解集为；

当时，解集为或；

当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为.

（2）由得，

∵，∴，∴

∴在上恒成立，即在上恒成立，

令，则只需    又∵，∴

∴，当且仅当时等式成立.

∴的取值范围是.