专题11 随机事件的概率与事件的相互独立性（重难点突破）-【教育机构专用】2022年春季高一数学辅导讲义(新教材人教A版2019)

专题11 随机事件的概率与事件的相互独立性

一、考情分析

二、考点梳理

考点一  概率与频率

(1)频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率.

(2)概率：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).

考点二   事件的关系与运算

考点三   概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率P(E)＝1.

(3)不可能事件的概率P(F)＝0.

(4)互斥事件概率的加法公式

①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).

②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).

【知识必备】

1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件

(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.

(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.

2.概率加法公式的推广

当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时， 要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).

三、题型分析

重难点题型突破一   随机事件的关系

例1．（2021·全国高一单元测试）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（    ）

A．至少有一个黑球与都是黑球

B．至少有一个黑球与至少有一个红球

C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球

D．至少有一个黑球与都是红球

【答案】C

【分析】

列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，逐项判断.

【详解】

A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，这两个事件不是互斥事件，故错误；

B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，故错误；

C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，故正确

D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，

这两个事件是对立事件，故错误；

故选：C

【变式训练1-1】．（2021·甘肃省永昌县第一高级中学高二期末（文））从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（    ）

A．所取的3个球中至少有一个白球 B．所取的3个球中恰有2个白球1个黑球

C．所取的3个球都是黑球 D．所取的3个球中恰有1个白球2个黑球

【答案】B

【分析】

根据互斥事件的定义即可判断．

【详解】

将事件的结果分为三类：白，白，黑；白，黑，黑；黑，黑，黑.

事件包含：白，黑，黑；黑，黑，黑.根据互斥事件的定义可知，

只有事件“所取的3个球中恰有2个白球1个黑球”与事件互斥．

故选：B．

【变式训练1-2】．（2021·北京丰台区·高二期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（    ）

A．互斥 B．相互对立 C．相互独立 D．相等

【答案】C

【分析】

根据互斥事件、对立事件和独立事件的定义即可判断.

【详解】

显然事件A和事件B不相等，故D错误，

由于事件A与事件B能同时发生，所以不为互斥事件，也不为对立事件，故AB错误；

因为事件A是否发生与事件B无关，事件B是否发生也与事件A无关，故事件A和事件B相互独立，故C正确.

故选：C.

重难点题型突破二   随机事件的频率与概率

例2．（2020·全国高三专题练习（文））根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为型，型，型，型.现有一血液为型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

由题意可知，能为型病人输血的有型和型，将对应的频率相加可得结果.

【详解】

由题意可知，能为型病人输血的有型和型，

因此，在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为.

故选：D.

【变式训练2-1】．．（2020·全国高三专题练习（理））甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用互斥事件概率的加法公式，即可求解甲不输的概率，得到答案.

【详解】

由题意，甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，

根据互斥事件的概率加法公式，可得甲不输的概率为.

故选：A.

【变式训练2-2】．．（2021·山东高三专题练习）某地有，，，四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是．同样也假定受，和感染的概率都是．在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据题意得出：因为直接受A感染的人至少是B，而C、D二人也有可能是由A感染的，，，中恰有两人直接受感染为事件．由此可计算出概率．

【详解】

设直接受A感染为事件B、C、D，

则事件B、C、D是相互独立的，

，，，

表明除了外，二人中恰有一人是由A感染的，

所以，

所以B、C、D中直接受A传染的人数为2的概率为，

故选：C.

【变式训练2-4】．．（2020·全国高一专题练习）某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球（每个球除颜色外都相同）的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球实验.其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇兑起来后，摸到红球次数为6000次.

（1）估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是__________；

（2）请你估计袋中红球接近__________个.

【答案】    15.   

【分析】

（1）先阅读题意，再求出从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的频率，再求出其概率即可；

（2）由从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率求出袋中红球的个数即可.

【详解】

解：（1）∵20×400＝8000，

∴摸到红球的概率为：＝0.75，

因为试验次数很大，大量试验时，频率接近于理论概率，

所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是；

（2）设袋中红球有x个，根据题意得：

＝0.75，解得x＝15，

经检验x＝15是原方程的解.

∴估计袋中红球接近15个.

故答案为：；15.

【点睛】

本题考查了频率与概率的概念，重点考查了阅读能力，属基础题.

【变式训练2-5】．（2020·全国高一课时练习）容量为200的样本的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在内的频数为______，数据落在内的概率约为______.

【答案】64.    0.32.   

【分析】

（1）根据矩形面积表示频率，再根据公式，计算频数；

（2）转化为求数据落在内的频率.

【详解】

由题图易知组距为4，故样本数据落在内的频率为，频数为，故数据落在内的概率约为0.32.

故答案为：64；0.32

【点睛】

本题考查频率分布直方图的简单应用，理解频率和概率，属于基础题型.

重难点题型突破三   互斥事件与对立事件的概率

例3．（2020·余干县新时代学校高二月考（理））围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是则从中任意取出2粒不全是黑子的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

直接利用对立事件的概率公式求解即可.

【详解】

设事件 “从围棋盒子中取出2粒都是黑子”为，则，

因为事件 “从围棋盒子中取出2粒都是黑子”与事件“从围棋盒子中取出2粒不全是黑子”是对立事件，

所以事件“从围棋盒子中取出2粒不全是黑子” 为，

因为，

所以，

故选：D.

【变式训练3-1】．（2021·江西上饶市·高二期末（文））已知随机事件A，B互为对立事件，且，则___________.

【答案】

【分析】

根据对立事件的概率关系可求.

【详解】

因为随机事件A，B互为对立事件，故，而故，

故，

故答案为：.

例4．从40张扑克牌(红桃､黑桃､方块､梅花，点数从1~10各1张)中，任取一张.

（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；

（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；

（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.

判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.

【答案】（1）是互斥事件，不是对立事件，理由见解析；（2）既是互斥事件，又是对立事件，理由见解析；（3）不是互斥事件，也不是对立事件，理由见解析.

【分析】

利用互斥事件和对立事件的定义分别判断即可

【详解】

解：（1）是互斥事件，不是对立事件.

理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件.

（2）既是互斥事件，又是对立事件.

理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件.

（3）不是互斥事件，也不是对立事件.

理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.

【变式训练4-1】．2019年中国猪肉市场由于受到国内外多种因素的影响，据有关权威机构公布的数字显示，从3月市场零售猪肉由原均价25元/公斤开始上涨，一直到10月最高零售均价超过70元/公斤，然后回落到一个高价区域范围内上下波动.在12月份的某一天，M市的物价主管部门派相关专业人员对全市零售猪肉的销售均价进行摸底，随机抽样调查了100家超市了解情况，得到这些超市在当天的猪肉零售均价x的频数分布表如表：

（1）请分别估计该市在当天的猪肉零售均价不低于54元/公斤的超市比例和零售均价小于50元公斤的超市比例；

（2）求该市在当天的猪肉零售均价的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01，且)

【答案】（1）零售价均不低于54元/公斤的超市比例为23%，零售价均小于50元/公斤的超市比例为4%；（2）平均数与标准差的估计值分别为53(元/公斤)与1.65(元/公斤).

【分析】

（1）直接由频率分布表可得百分比；

（2）由平均数与标准差的计算公式计算即可.

【详解】

（1）根据各超市的猪肉零售价的频数分布表，得所调查的100家超市在当天零售价均不低于54元/公斤的超市频率为，

零售价均小于50元/公斤的超市的频率为；

用样本频率分布估计总体分布，

得该市在当天的猪肉零售价均不低于54元/公斤的超市比例为23%，零售价均小于50元/公斤的超市比例为4%；

（2）依题意，(元/公斤).

，

则(元/公斤).

故该市在当天的猪肉零售均价的平均数与标准差的估计值分别为53(元/公斤)与1.65(元/公斤).

【变式训练4-2】．某商店为了吸引顾客，设计了两种摸球活动奖励方案．先制作一个不透明的盒子，里面放有形状大小完全相同的4个白球和2个红球．

方案一：不放回地从盒子中逐个摸球，消费金额每满300元摸一次，最终根据顾客摸到的红球个数发放奖金，如表格所示．

方案二：可放回地从盒子中逐个摸球，消费金额每满200元摸一次，每摸到一个红球奖励15元．

（1）若顾客甲消费的金额为600元，且选择了方案一，求甲获得奖金数为30元的概率；

（2）若顾客乙消费的金额为800元，但他可以在摸出第一个球后，根据所摸出球的颜色，再决定执行方案一或方案二继续摸球．请从奖金数期望最大的角度为顾客乙制定第一次摸球后的方案选择，并说明理由．

【答案】（1）；（2）见解析

【分析】

（1）获得30元的情况有两种：第一次抽红球、第二次抽白球；或者第一次抽白球、第二次抽红球.当然也可以理解为“从6个球里一次性抽2个球，一红一白的概率”.

（2）第一次摸出的可能是红球、也可能是白球，需要分类讨论；根据第一次摸出的球，还需要分别讨论方案一、方案二并计算各自的期望，选出最优方案.

【详解】

（1）根据题意，甲可以不放回地摸2次球，记甲获得奖金数为，

则．

（2）若乙第一次摸出的球为红球，

若选择方案一：乙还要摸球一次，乙摸出红球的概率是，白球的概率是，所以获得奖金数的期望为，

若选择方案二：乙还要摸球三次，根据题意，这三次乙摸到红球的个数服从二项分布，此时乙获得奖金数的期望为．

因此，选择方案一．

若乙第一次摸出的球为白球，

若选择方案一：乙还要摸球一次，乙获得奖金数的期望为，

若选择方案二：乙还要摸球三次，根据题意，这三次乙摸到红球的个数服从二项分布，此时乙获得奖金数的期望为．

因此，选择方案二．

综上，乙第一次摸出的球为红球时，选择方案一；乙第一次摸出的球为白球时，选择方案二.

【点睛】

二项分布：有放回抽样，每次抽取的概率是一样的，n次独立重复试验.

超几何分布：不放回抽样，每次抽取概率不一样.