2020-2021学年湖北省荆州市某校初三（下）5月月考数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省荆州市某校初三（下）5月月考数学试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 在0，−1，0.5，(−1)2四个数中，最小的数是（ ）
A.0B.−1C.0.5D.(−1)2

2. 如图，直线a // b，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若∠1=28∘，则∠2的度数是( )

A.62∘B.108∘C.118∘D.152∘

3. 如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC⌢的中点，AC与BD交于点E.若E是BD的中点，则AC的长是 （ ）

A.523B.33C.32D.42

4. 下列计算正确的是（ ）
A.2x+3y=5xyB.(−2x2)3=−6x6
C.3y2⋅(−y)=−3y2D.6y2÷2y=3y

5. 某体育用品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15双，其中各种尺码的鞋的销售量如表所示：
则这15双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为（ ）
A.24.5，24.5B.24.5，24C.24，24D.23.5，24

6. 菱形不具备的性质是( )
A.四条边都相等B.对角线一定相等
C.是轴对称图形D.是中心对称图形

7. 我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱：如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y元，可列方程（组）为（ ）
A.8x−3=y7x+4=yB.8x+3=y7x−4=y
C.x+38=x−47D.y−38=y+47

8. 如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是( )

A.210B.41C.52D.51

9. 如果关于x的不等式组 2x−a≥0，3x−b≤0的整数解仅有x=2、x=3，那么适合这个不等式组的整数a、b组成的有序数对(a, b)共有 （ ）
A.3个B.4个C.5个D.6个

10. 如图，直线y=−x与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点，过点B作BD // x轴，交y轴于点D，直线AD交反比例函数y=kx的图象于另一点C，则CBCA的值为( )

A.1:3B.1:22C.2:7D.3:10
二、填空题

北京时间6月5日21时07分，中国成功将风云二号H气象卫星送入预定的高度36000km的地球同步轨道，将36000km用科学记数法表示为________．

如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60∘，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60∘，则图中阴影部分的面积是________.


如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD 交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则 △OCD 的周长为________.


对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2−ab，例如，5※3=52−5×3=10．若(x+1)※(x−2)=6，则x的值为________．

如图，直线y=kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，则不等式x(kx+b)<0的解集为________．


如图，Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=3，AC=62，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为________．

三、解答题

计算：|−3|−10−10+2cs30∘+14−1．并求出结果的小数部分．

化简求值：a−1a−a−2a+1÷2a2−aa2+2a+1；其中a2−a−1=0．

如图，在6×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合．

(1)在图1中画格点线段EF，GH各一条，使点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，且EF=GH，EF不平行GH．

(2)在图2中画格点线段MN，PQ各一条，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且PQ=5MN．


今年5月份，我市某中学开展争做“五好小公民”征文比赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：
根据以上信息，解答以下问题：
(1)表中的x=________；

(2)扇形统计图中m=________，n=________，C等级对应的扇形的圆心角为________度；

(3)该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人作为学校“五好小公民”志愿者，已知这四人中有两名男生（用a1，a2表示）和两名女生（用b1，b2表示），请用列表或画树状图的方法求恰好选取的是a1和b1的概率．

为了探索函数y=x+1x(x>0)的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．
列表：
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：

(1)如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；

(2)已知点(x1,y1)，(x2,y2)在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
若0若1若x1⋅x2=1，则y1________y2（填”>”，“=”，“<”）．

(3)某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．
①请写出y与x的函数关系式；
②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内?

受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．

(1)直接写出当0≤x≤50和x>50时，y与x之间的函数关系式；

(2)若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w(元)最少？

(3)若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按(2)中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值．

在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE=DA，AE交边BC于点F，连接CE．

(1)特例发现：如图1，当AD=AF时，
①求证：BD=CF；
②推断：∠ACE=________​∘；

(2)探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；

(3)拓展运用：如图3，在(2)的条件下，当EFAF=13时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若CK=163，求DF的长．

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A，B两点，A点坐标为−2,0，与y轴交于点C0,4，直线y=−12x+m与抛物线交于B，D两点．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)求m的值和D点坐标；

(3)点P是直线BD上方抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交直线BD于点F，过点D作x轴的平行线，交PH于点N，当N是线段PF的三等分点时，求P点坐标；

(4)如图2，Q是x轴上一点，其坐标为−45,0，动点M从A出发，沿x轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M的运动时间为tt>0，连接AD，过M作MG⊥AD于点G，以MG所在直线为对称轴，线段AQ经轴对称变换后的图形为A′Q′，点M在运动过程中，线段A′Q′的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段A′Q′与抛物线有公共点时t的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省荆州市某校初三（下）5月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
有理数大小比较
【解析】
有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】
解：−1<0<0.5<(−1)2=1，
∴ 在0，−1，0.5，(−1)2四个数中，最小的数是−1．
故选B.
2.
【答案】
C
【考点】
平行线的性质
【解析】
依据AB // CD，即可得出∠2＝∠ABC＝∠1+∠CBE．
【解答】
解：如图，
∵ AB // CD，
∴ ∠2=∠ABC，
又∠ABC=∠1+∠CBE=28∘+90∘=118∘，
∴ ∠2=∠ABC=118∘.
故选C.
3.
【答案】
D
【考点】
勾股定理
全等三角形的性质与判定
三角形中位线定理
线段垂直平分线的性质
圆心角、弧、弦的关系
圆周角定理
【解析】
连接DO、DA、DC，设DO与AC交于点H，证明△DHE≅△BCEAAS，得到DH=CB，同时OH是三角形ABC中位线，设OH=x，则BC=2x=DH，故半径DO=3x，解出x最后在Rt△ACB中由勾股定理即可求解.
【解答】
解：连接DO、DA、DC、OC，设DO与AC交于点H，如图所示，
∵ D是AC⌢的中点，
∴ DA=DC ，
∴ D在线段AC的垂直平分线上，
∵ OC=OA，
∴ O在线段AC的垂直平分线上，
∴ OD是线段AC的垂直平分线，
∴ DO⊥AC，∠DHC=90∘，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠BCA=90∘，
∴ ∠DHE=∠BCE=90∘，
∵ E是BD的中点，
∴ DE=BE，
又∠DEH=∠BEC，
∴ △DHE≅△BCEAAS，
∴ DH=BC，
又∵ O是AB中点，H是AC中点，
∴ HO是△ABC的中位线，
设OH=x，则BC=DH=2x，
则OD=3x=3，
∴ x=1，
∴ BC=2x=2，
在Rt△ABC中，AC=AB2−BC2=62−22=42．
故选D．
4.
【答案】
D
【考点】
合并同类项
幂的乘方与积的乘方
单项式乘单项式
单项式除以单项式
【解析】
本题考查整式的运算法则．
【解答】
解：A，2x和3y不是同类项，不能合并，故A错误；
B，(−2x2)3=−8x6，故B错误；
C，3y2⋅(−y)=−3y3，故C错误；
D，6y2÷2y=3y，故D正确.
故选D．
5.
【答案】
A
【考点】
中位数
众数
【解析】
根据众数和中位数的定义进行求解即可得．
【解答】
解：这组数据中，24.5出现了6次，出现的次数最多，所以众数为24.5，
这组数据一共有15个数，按从小到大排序后第8个数是24.5，所以中位数为24.5．
故选A．
6.
【答案】
B
【考点】
菱形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据菱形的性质逐项进行判断即可得答案.
菱形的四条边相等；
菱形是轴对称图形，对角线所在直线即为对称轴；
菱形是中心对称图形，对角线交点即为对称中心；
菱形对角线垂直但不一定相等.
故选B．
7.
【答案】
A
【考点】
由实际问题抽象出二元一次方程组
【解析】
设有x人，物品的价格为y元，根据所花总钱数不变列出方程即可．
【解答】
解：设有x人，物品的价格为y元，
根据题意，可列方程：8x−3=y，7x+4=y．
故选A．
8.
【答案】
B
【考点】
规律型：数字的变化类
【解析】
由图形可知，第n行最后一个数为1+2+3+⋯+n=n(n+1)2，据此可得答案．
【解答】
解：∵ 1=1，2=4，22=8，3=9，
∴ 数阵的数由小到大依次为1， 2， 3，4，
5，6，7，8, 9, 10，⋯，
∴ 其被开方数依次加1递增，而三角形数阵的第1行有1个数，
第2行有2个数，第3行有3个数，第四行有4个数，⋯，
故第9行有9个数，
∴ 第9行的最后一个数的被开方数为
1+2+3+4+⋯+ 9=1+9×92=45，
即第9行的最后一个数为45，
∴ 第9行从左至右第5个数也是从右到左第5个数，
即第9行从左至右第5个数为45−4=41.
故选B.
9.
【答案】
D
【考点】
一元一次不等式组的整数解
解一元一次不等式组
【解析】
求出不等式组的解集，根据已知求出1【解答】
解：解不等式2x−a≥0，得：x≥a2，
解不等式3x−b≤0，得：x≤b3，
∵ 不等式组的整数解仅有x=2、x=3，
则1< a2≤2、3 ≤ b3<4，
解得：2当a=3时，b=9、10、11；
当a=4时，b=9、10、11；
∴ 适合这个不等式组的整数a、b组成的有序数对(a, b)共有6个.
故选D.
10.
【答案】
A
【考点】
反比例函数与一次函数的综合
两点间距离公式
【解析】
联立直线AB与反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，由BD // x轴可得出点D的坐标，由点A、D的坐标利用待定系数法可求出直线AD的解析式，联立直线AD与反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点C的坐标，再结合两点间的距离公式即可求出CBCA的值．
【解答】
解：联立直线AB及反比例函数解析式成方程组，y=−x，y=kx，
解得：x1=−−k，y1=−k，x2=−k，y2=−−k，
点B的坐标为−−k,−k，点A的坐标为−k,−−k，
∵ BD//x轴，
∴ 点D的坐标为0,−k，
设直线AD的解析式为y=mx+n，
将A(−k, −−k)、D(0, −k)代入y=mx+n，
−km+n=−−k，n=−k，，解得：m=−2，n=−k，
∴ 直线AD的解析式为y=−2x+−k．
联立直线AD及反比例函数解析式成方程组，
y=−2x+−k，y=kx，
解得：x1=−−k2，y1=2−k，x2=−k，y2=−−k，
∴ 点C的坐标为(−−k2, 2−k)．
∴ CBCA=−−k−−−k22+−k−2−k2−k−−−k22+−−k−2−k2=13．
故选A．
二、填空题
【答案】
3.6×104km
【考点】
科学记数法--表示较大的数
【解析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．
【解答】
解：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
36000km=3.6×104km．
故答案为：3.6×104km．
【答案】
2π3−3
【考点】
菱形的性质
扇形面积的计算
全等三角形的性质与判定
三角形的面积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，连接BD．
∵ 四边形ABCD是菱形，∠A=60∘，
∴ ∠ADC=120∘，AB=AD，
∴ ∠1=∠2=60∘，
∴ △DAB是等边三角形，
∵ AB=2，
∴ △ABD的高为3，
∵ 扇形BEF 的半径为2，圆心角为 60∘，
∴ ∠4+∠5=60∘，
又∠3+∠5=60∘，
∴ ∠3=∠4，
设AD，BE相交于点G，BF，DC相交于点H，
在△ABG和△DBH中，∠A=∠2，AB=BD,∠3=∠4,
∴ △ABG≅△DBHASA，
∴ 四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，
∴ 图中阴影部分的面积是：
S扇形EBF−S△ABD=60×π×22360−12×2×3
=2π3−3．
故答案为：2π3−3．
【答案】
14
【考点】
平行四边形的性质
【解析】
利用平行四边形的性质得出结论
【解答】
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC=8，BD=10，AB=5，
∴OA=OC=4，OB=OD=5，AB=CD=5，
∴C△OCD=CD+OC+OD=14.
故答案为：14.
【答案】
1
【考点】
定义新符号
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】
解：由题意得，(x+1)2−(x+1)(x−2)=6，
整理得，3x+3=6，
解得，x=1.
故答案为：1.
【答案】
−3【考点】
一次函数与一元一次不等式
【解析】
先把不等式xkx+b<0化为x>0kx+b<0或x<0kx+b>0，然后利用函数图象分别解两个不等式组即可得解．
【解答】
解：不等式xkx+b<0化为x>0，kx+b<0或x<0，kx+b>0，
利用函数图象得x>0，kx+b<0无解，
x<0，kx+b>0的解集为−3所以不等式xkx+b<0的解集为−3故答案为：−3【答案】
163
【考点】
轴对称——最短路线问题
勾股定理
相似三角形的性质与判定
【解析】
如图，作A关于BC的对称点A′，连接AA′，交BC于F，过A′作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD=A′D，此时AD+DE的值最小，就是A′E的长，根据相似三角形对应边的比可得结论．
【解答】
解：作A关于BC的对称点A′，连接AA′，交BC于F，过A′作A′E⊥AC于E，交BC于D，
则AD=A′D，此时DA+DE的值最小，就是A′E的长.
在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=3，AC=62，
∴ BC=32+622=9，
S△ABC=12AB⋅AC=12BC⋅AF，
∴ 3×62=9×AF，
∴ AF=22，
∴ AA′=2AF=42．
∵ ∠A′FD=∠DEC=90∘，∠A′DF=∠CDE，
∴ ∠A′=∠C．
∵ ∠AEA′=∠BAC=90∘，
∴ △AEA′∽△BAC．
∴ AA′A′E=BCAC，
∴ 42A′E=962，
∴ A′E=163．
即DA+DE的最小值是163．
故答案为：163.
三、解答题
【答案】
解：原式=3−1+2×32+4
=6+62.
∵ 4<6<9，
∴ 2<6<3.
∴ 1<62<32，
∴ 7<6+62<7.5，
∴ 小数部分：6+62−7=62−1.
【考点】
特殊角的三角函数值
零指数幂、负整数指数幂
实数的运算
绝对值
估算无理数的大小
【解析】
暂无
【解答】
解：原式=3−1+2×32+4
=6+62.
∵ 4<6<9，
∴ 2<6<3.
∴ 1<62<32，
∴ 7<6+62<7.5，
∴ 小数部分：6+62−7=62−1.
【答案】
解：原式=a+1a−1−aa−2aa+1⋅a+12a2a−1
=2a−1aa+1⋅a+12a2a−1=a+1a2，
∵ a2−a−1=0，
∴ a2=a+1.
∴ 原式=a+1a+1=1.
【考点】
分式的化简求值
【解析】
解：原式=a+1a−1−aa−2aa+1⋅a+12a2a−1
=2a−1aa+1⋅a+12a2a−1=a+1a2，
∵ a2−a−1=0，
∴ a2=a+1.
∴ 原式=a+1a+1=1.
【解答】
解：原式=a+1a−1−aa−2aa+1⋅a+12a2a−1
=2a−1aa+1⋅a+12a2a−1=a+1a2，
∵ a2−a−1=0，
∴ a2=a+1.
∴ 原式=a+1a+1=1.
【答案】
解：(1)画法不唯一，如图1，线段EF和线段GH即为所求.
(2)画法不唯一，如图2，线段MN和线段PQ即为所求．
【考点】
作图—应用与设计作图
勾股定理
【解析】
（1）根据点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，且EF＝GH，EF不平行GH，画出线段即可；
（2）根据使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且PQ＝MN．画出线段即可．
【解答】
解：(1)画法不唯一，如图1，线段EF和线段GH即为所求.
(2)画法不唯一，如图2，线段MN和线段PQ即为所求．
【答案】
14
10,40,144
(3)列表如下：
由表可知共有12种等可能结果，其中恰好选取的是a1和b1的有2种结果，
∴ 恰好选取的是a1和b1的概率为212=16．
【考点】
频数（率）分布表
扇形统计图
用样本估计总体
列表法与树状图法
【解析】
（1）根据D等级人数及其所占百分比可得总人数，用总人数减去其他三个等级的人数即可得出x的值；
（2）用A、C等级的人数分别除以总人数求得A、C的百分比即可得m、m的值，再用360∘乘以C等级的百分比可得其度数；
（3）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选取的是a1和b1的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】
解：(1)被调查的学生总人数为6÷15%=40人，
∴ x=40−4+16+6=14.
故答案为：14.
(2)m%=440×100%=10% ，
n%=1640×100%=40%，
∴ m=10，n=40，
C等级对应的扇形的圆心角为360∘×40%=144∘.
故答案为：10；40；144.
(3)列表如下：
由表可知共有12种等可能结果，其中恰好选取的是a1和b1的有2种结果，
∴ 恰好选取的是a1和b1的概率为212=16．
【答案】
解：(1)函数图象如图所示.
>,<,=
(3)①由题意，
y=1×1+2x+1x×0.5=x+1x+1(x>0).
②x+1x+1≤3.5，
∴ x+1x≤2.5，
根据图象或表格可知，当2≤y≤2.5时，12≤x≤2，
因此，若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长应控制在12≤x≤2范围内.
【考点】
函数的图象
函数关系式
【解析】
（1）用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可；
（2）观察函数图象可以看出有最低点，即函数有最小值，结合表格提供的信息即可解决问题；
（3）①根据底面面积可求出底面另一条边长，进而可求出水池的侧面积，分别表示出底面和侧面的造价，从而可表示出）与x
的函数关系式；
②根据函数关系式结合表格可得出x的控制范围．
【解答】
解：(1)函数图象如图所示.
(2)根据图象和表格可知，
当0y2；
当1当x1⋅x2=1，则y1=y2.
故答案为：>；<；=.
(3)①由题意，
y=1×1+2x+1x×0.5=x+1x+1(x>0).
②x+1x+1≤3.5，
∴ x+1x≤2.5，
根据图象或表格可知，当2≤y≤2.5时，12≤x≤2，
因此，若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长应控制在12≤x≤2范围内.
【答案】
解：(1)当0≤x≤50时，设y=kx，
根据题意得50k=1500，
解得k=30，
∴ y=30x；
当x>50时，设y=kx+b，
根据题意得，
50k+b=1500，70k+b=1980，解得 k=24，b=300，
∴ y=24x+300．
∴ y=30x(0≤x≤50)，24x+300(x>50).
(2)设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果(100−a)千克，
∴ 40≤a≤60，
当40≤a≤50时，
w1=30a+25(100−a)=5a+2500．
当a=40时，wmin=2700元，
当50w2=24a+300+25(100−a)=−a+2800．
当a=60时，wmin=2740元，
∵ 2740>2700，
∴ 当a=40时，总费用最少，最少总费用为2700元．
此时乙种水果100−40=60（千克）．
答：购进甲种水果为40千克，购进乙种水果60千克，才能使经销商付款总金额w(元)最少．
(3)由题意可设甲种水果为25a千克，乙种水果为35a千克，
当0≤25a≤50时，即0≤a≤125，
40−30×25a+36−25×35a≥1650，
解得a≥825053>125，
与0≤a≤125矛盾，故舍去；
当25a>50时，即a>125，
则甲种水果的进货总成本是30×50+(25a−50)×24=9.6a+300元，
25a×40−9.6a+300+35a×36−25≥1650，
解得a≥150，
∴ a的最小值为150.
【考点】
待定系数法求正比例函数解析式
待定系数法求一次函数解析式
一次函数的最值
根据实际问题列一次函数关系式
由实际问题抽象出一元一次不等式
【解析】
(1)由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．
(2)设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果(100−a)千克，根据实际意义可以确定a的范围，结合付款总金额(元)与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少．
(3)根据(2)的结论列不等式解答即可．
(3)由题意得：(40−30)×25a+(36−25)×35a≥1650，
解得x≥155553，
∵ a为正整数，
∴ a≥156，
∴ a的最小值为156．
【解答】
解：(1)当0≤x≤50时，设y=kx，
根据题意得50k=1500，
解得k=30，
∴ y=30x；
当x>50时，设y=kx+b，
根据题意得，
50k+b=1500，70k+b=1980，解得 k=24，b=300，
∴ y=24x+300．
∴ y=30x(0≤x≤50)，24x+300(x>50).
(2)设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果(100−a)千克，
∴ 40≤a≤60，
当40≤a≤50时，
w1=30a+25(100−a)=5a+2500．
当a=40时，wmin=2700元，
当50w2=24a+300+25(100−a)=−a+2800．
当a=60时，wmin=2740元，
∵ 2740>2700，
∴ 当a=40时，总费用最少，最少总费用为2700元．
此时乙种水果100−40=60（千克）．
答：购进甲种水果为40千克，购进乙种水果60千克，才能使经销商付款总金额w(元)最少．
(3)由题意可设甲种水果为25a千克，乙种水果为35a千克，
当0≤25a≤50时，即0≤a≤125，
40−30×25a+36−25×35a≥1650，
解得a≥825053>125，
与0≤a≤125矛盾，故舍去；
当25a>50时，即a>125，
则甲种水果的进货总成本是30×50+(25a−50)×24=9.6a+300元，
25a×40−9.6a+300+35a×36−25≥1650，
解得a≥150，
∴ a的最小值为150.
【答案】
解：(1)①证明：如图1中，
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠ACF，
∵ AD=AF，
∴ ∠ADF=∠AFD，
∴ ∠ADB=∠AFC，
∴ △ABD≅△ACF(AAS)，
∴ BD=CF．
②结论：∠ACE=90∘．
理由：如图1中，∵ DA=DE，∠ADE=90∘，AB=AC，∠BAC=90∘，
∴ ∠ACD=∠AED=45∘，
∴ A，D，E，C四点共圆，
∴ ∠ADE+∠ACE=180∘，
∴ ∠ACE=90∘．
故答案为：90．
(2)结论：∠ACE=90∘．
理由：如图2中，
∵ DA=DE，∠ADE=90∘，AB=AC，∠BAC=90∘，
∴ ∠ACD=∠AED=45∘，
∴ A，D，E，C四点共圆，
∴ ∠ADE+∠ACE=180∘，
∴ ∠ACE=90∘．
(3)如图3中，连接EK．
∵ ∠BAC+∠ACE=180∘，
∴ AB // CE，
∴ ECAB=EFAF=13，
设EC=a，则AB=AC=3a，AK=3a−163，
∵ DA=DE，DK⊥AE，
∴ AP=PE，
∴ AK=KE=3a−163，
∵ EK2=CK2+EC2，
∴ (3a−163)2=(163)2+a2，
解得a=4或0(舍弃)，
∴ EC=4，AB=AC=12，
∴ AE=AC2+EC2=122+42=410，
∴ DP=PA=PE=12AE=210，EF=14AE=10，
∴ PF=EF=10，
∵ ∠DPF=90∘，
∴ DF=DP2+PF2=(210)2+(10)2=52.
【考点】
全等三角形的性质与判定
四点共圆
三角形综合题
勾股定理
平行线分线段成比例
等腰三角形的性质：三线合一
【解析】
(1)①证明△ABD≅△ACF(AAS)可得结论；②利用四点共圆的性质解决问题即可．
(2)结论不变．利用四点共圆证明即可．
(3)如图3中，连接EK．首先证明AB=AC=3EC，设EC=a，则AB=AC=3a，在Rt△KCE中，利用勾股定理求出a，再求出DP，PF即可解决问题．
【解答】
解：(1)①证明：如图1中，
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠ACF，
∵ AD=AF，
∴ ∠ADF=∠AFD，
∴ ∠ADB=∠AFC，
∴ △ABD≅△ACF(AAS)，
∴ BD=CF．
②结论：∠ACE=90∘．
理由：如图1中，∵ DA=DE，∠ADE=90∘，AB=AC，∠BAC=90∘，
∴ ∠ACD=∠AED=45∘，
∴ A，D，E，C四点共圆，
∴ ∠ADE+∠ACE=180∘，
∴ ∠ACE=90∘．
故答案为：90．
(2)结论：∠ACE=90∘．
理由：如图2中，
∵ DA=DE，∠ADE=90∘，AB=AC，∠BAC=90∘，
∴ ∠ACD=∠AED=45∘，
∴ A，D，E，C四点共圆，
∴ ∠ADE+∠ACE=180∘，
∴ ∠ACE=90∘．
(3)如图3中，连接EK．
∵ ∠BAC+∠ACE=180∘，
∴ AB // CE，
∴ ECAB=EFAF=13，
设EC=a，则AB=AC=3a，AK=3a−163，
∵ DA=DE，DK⊥AE，
∴ AP=PE，
∴ AK=KE=3a−163，
∵ EK2=CK2+EC2，
∴ (3a−163)2=(163)2+a2，
解得a=4或0(舍弃)，
∴ EC=4，AB=AC=12，
∴ AE=AC2+EC2=122+42=410，
∴ DP=PA=PE=12AE=210，EF=14AE=10，
∴ PF=EF=10，
∵ ∠DPF=90∘，
∴ DF=DP2+PF2=(210)2+(10)2=52.
【答案】
解：(1)由题意知，A−2,0，C0,4，
结合抛物线的函数表达式y=−12x2+bx+c可得，
−12×4−2b+c=0，c=4，
解得b=1，c=4，
所以抛物线的函数表达式为y=−12x2+x+4.
(2)因为点B在x轴上，
所以令y=0，即−12x2+x+4=0，
解得x1=−2，x2=4，
则A−2,0，B4,0.
因为点B过直线y=−12x+m，
把B4,0代入y=−12x+m，
有−12×4+m=0，解得m=2，
所以直线BD的解析式为y=−12x+2，
联立y=−12x2+x+4，y=−12x+2，
解得x=4，y=0 或x=−1，y=52，
所以D(−1, 52)．
(3)设Pa,−12a2+a+4，−1则Na,52，Fa,−12a+2，
所以PN=−12a2+a+4−52=−12a2+a+32，
NF=52−−12a+2=12a+12，
因为N是线段PF的三等分点，
所以PN=2NF或NF=2PN，
所以−12a2+a+32=a+1或12a+12=−a2+2a+3，
解得a=±1或−1或52，
因为−1所以a=1或52，
所以P1,92或52,278.
(4)因为D−1,52，A−2,0，
所以设直线AD的解析式为y=kx+b，
将D−1,52，A−2,0代入，有
−k+b=52，−2k+b=0，
解得 k=52，b=5，
所以直线AD解析式为y=52x+5.
因为GM⊥AD，
所以kGM=−25，
设直线GM的解析式为y=−25x+p，
由轴对称的性质可知，QQ′//AD，
则kQQ′=kAD=52，
设直线QQ′的解析式为y=52x+q，
将Q(−45,0)代入，有52×(−45)+q=0，
解得q=2，
所以直线QQ′解析式为y=52x+2.
设直线QQ′与抛物线交于N点，且N点位于第一象限，如图所示，
当Q′点与N点重合时，t取最大值，
联立直线QQ′与抛物线的方程，有
y=52x+2，y=−12x2+x+4，
解得x=1，y=92，或x=−4，y=−8，
因为N点位于第一象限，所以N1,92，
设H为NQ的中点，
因为N1,92，Q−45,0，
所以H110,94，
又因为H点在直线G′M′上，
所以将H110,94代入直线G′M′的解析式y=−25x+p，
有94=−25×110+p，
解得p=229100，
所以直线G′M′的解析式为y=−25x+229100，
令y=0，有−25x+229100=0，
解得x=22940，
故AM′=22940+2=30940，
因为动点M从A出发，沿x轴正方向以每秒5个单位的速度运动，
所以t=30940÷5=309200.
当点A′与D重合时，t取最小值，
A(−2,0)，D(−1,52)，
AD中点坐标为(−32,54)，
将(−32,54)代入直线GM的解析式y=−25x+p，
有54=−25×(−32)+p，解得p=1320，
所以直线GM的解析式为y=−25x+1320，
令y=0，有−25x+1320=0，解得x=138，
可得M138,0，
AM=138+2=298，
因为动点M从A出发，沿x轴正方向以每秒5个单位的速度运动，
所以t=298÷5=2940，
综上，满足条件的t的值为2940≤t≤309200.
【考点】
待定系数法求二次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式
二次函数与一次函数的综合
动点问题
二次函数综合题
【解析】
(1)根据A，C两点坐标，代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求解．
(2)通过(1)中的二次函数解析式求出B点坐标，代入一次函数x+m即可求出m的值，联立二次函数与一次函数可求出D点坐标．
(3)设出P点坐标，通过P点坐标表示出N，F坐标，再分类讨论PN=2NF，NF=2PN，即可求出P点.

【解答】
解：(1)由题意知，A−2,0，C0,4，
结合抛物线的函数表达式y=−12x2+bx+c可得，
−12×4−2b+c=0，c=4，
解得b=1，c=4，
所以抛物线的函数表达式为y=−12x2+x+4.
(2)因为点B在x轴上，
所以令y=0，即−12x2+x+4=0，
解得x1=−2，x2=4，
则A−2,0，B4,0.
因为点B过直线y=−12x+m，
把B4,0代入y=−12x+m，
有−12×4+m=0，解得m=2，
所以直线BD的解析式为y=−12x+2，
联立y=−12x2+x+4，y=−12x+2，
解得x=4，y=0 或x=−1，y=52，
所以D(−1, 52)．
(3)设Pa,−12a2+a+4，−1则Na,52，Fa,−12a+2，
所以PN=−12a2+a+4−52=−12a2+a+32，
NF=52−−12a+2=12a+12，
因为N是线段PF的三等分点，
所以PN=2NF或NF=2PN，
所以−12a2+a+32=a+1或12a+12=−a2+2a+3，
解得a=±1或−1或52，
因为−1所以a=1或52，
所以P1,92或52,278.
(4)因为D−1,52，A−2,0，
所以设直线AD的解析式为y=kx+b，
将D−1,52，A−2,0代入，有
−k+b=52，−2k+b=0，
解得 k=52，b=5，
所以直线AD解析式为y=52x+5.
因为GM⊥AD，
所以kGM=−25，
设直线GM的解析式为y=−25x+p，
由轴对称的性质可知，QQ′//AD，
则kQQ′=kAD=52，
设直线QQ′的解析式为y=52x+q，
将Q(−45,0)代入，有52×(−45)+q=0，
解得q=2，
所以直线QQ′解析式为y=52x+2.
设直线QQ′与抛物线交于N点，且N点位于第一象限，如图所示，
当Q′点与N点重合时，t取最大值，
联立直线QQ′与抛物线的方程，有
y=52x+2，y=−12x2+x+4，
解得x=1，y=92，或x=−4，y=−8，
因为N点位于第一象限，所以N1,92，
设H为NQ的中点，
因为N1,92，Q−45,0，
所以H110,94，
又因为H点在直线G′M′上，
所以将H110,94代入直线G′M′的解析式y=−25x+p，
有94=−25×110+p，
解得p=229100，
所以直线G′M′的解析式为y=−25x+229100，
令y=0，有−25x+229100=0，
解得x=22940，
故AM′=22940+2=30940，
因为动点M从A出发，沿x轴正方向以每秒5个单位的速度运动，
所以t=30940÷5=309200.
当点A′与D重合时，t取最小值，
A(−2,0)，D(−1,52)，
AD中点坐标为(−32,54)，
将(−32,54)代入直线GM的解析式y=−25x+p，
有54=−25×(−32)+p，解得p=1320，
所以直线GM的解析式为y=−25x+1320，
令y=0，有−25x+1320=0，解得x=138，
可得M138,0，
AM=138+2=298，
因为动点M从A出发，沿x轴正方向以每秒5个单位的速度运动，
所以t=298÷5=2940，
综上，满足条件的t的值为2940≤t≤309200.鞋的尺码/cm
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
1
3
3
6
2
等级
成绩(s)
频数（人数）
A
904
B
80x
C
7016
D
s≤70
6

a1
a2
b1
b2
a1

a2，a1
b1，a1
b2，a1
a2
a1，a2

b1，a2
b2，a2
b1
a1，b1
a2，b1

b2，b1
b2
a1，b2
a2，b2
b1，b2


a1
a2
b1
b2
a1

a2，a1
b1，a1
b2，a1
a2
a1，a2

b1，a2
b2，a2
b1
a1，b1
a2，b1

b2，b1
b2
a1，b2
a2，b2
b1，b2