2020-2021学年湖北省黄冈市某校初三（下）5月月考数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省黄冈市某校初三（下）5月月考数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 在实数35，0， 5, −π, 911, 38中，无理数有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个

2. 若数据36000用科学记数法表示为3.6×10n，则n的值是( )
A.5B.4C.3D.2

3. 下列运算正确的是( )
A.x2+x2=x4B.2a−1=2a−1
C.3a2⋅2a3=6a6D.x2y3=x6y3

4. 由5个相同的小正方体组成的几何体如图所示，该几何体的主视图是( )

A.B.
C.D.

5. 小明连续5天的体温数据如下（单位：​∘C）36.7，36.3，36.6，36.2，36.3，这组数据的极差是( )
A.0.4∘CB.0.5∘CC.36.3∘CD.36.6∘C

6. 如图，∠AOB=∠COD=90∘，∠1与∠2的关系是( )

A.互余B.互补C.相等D.无法确定

7. 如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD的长为半径画圆弧DE，得到扇形ADE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形ADE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是( )

A.2B.1C.22D.12

8. 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−3, 0)，其对称轴为直线x=−12，则下列结论：①abc>0；②3a+c>0；③当x<0时，y随x的增大而增大；④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根分别为x1=−13，x2=12；⑤b2−4ac4a<0. 其中正确的有( )

A.2个B.3个C.4个D.5个
二、填空题

分解因式：4a3b2−6a2b2=________．

如图是某中学九(3)班学生外出方式（乘车、步行、骑车）的频数（人数）分布直方图（部分）和扇形分布图，那么扇形图中步行所占的圆心角的度数是________．


如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=24∘，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD=________.


设x1，x2是方程x2+2x−2020=0的两个实数根，则1x1+1x2=______．

不等式组x−3(x−2)≥4,1+2x3>x−1的解集是________.

如图，轮船在A处观测到灯塔C位于北偏西70∘的方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50∘的方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测到灯塔C位于北偏西25∘的方向上，则灯塔C与码头B的距离是________海里．


我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是________天．


如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是________．

三、解答题

计算：4+(12)−1−2cs60∘+(2−π)0．

如图，矩形ABCD的对角线交于点O，E是矩形外的一点，其中AE//BD，BE//AC.求证：四边形AEBO是菱形．


在一个不透明的盒子中，放入2个红球，1个黄球和1个白球．这些球除颜色外都相同．
(1)第一次摸出一个球后放回盒子中，搅匀后第二次再摸出一个球，请用画树状图的方法求出两次都摸到红球的概率；

(2)直接写出“一次同时摸出两个红球”的概率．

如图，直线AC与函数y=kxx<0的图象相交于点A−1,6，与x轴交于点C，且∠ACO=45∘，点D是线段AC上一点．

(1)求k的值；

(2)将OD绕点O逆时针旋转90∘得到OD′，点D′恰好落在函数y=kxx<0的图象上，求点D的坐标．

如图，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的点，PD为⊙O的切线，切点为D，CD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点C，连接CO，AC，PC．

(1)求证：PC为⊙O的切线；

(2)若OE=2，sin∠CAB=11010，求⊙O的半径．

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30∘，点D是△ABC内一点，DB=DC，∠DCB=30∘，E是BD延长线上一点，AE=AB．

(1)求∠ADB的度数；

(2)线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由．

某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x1≤x≤90天的售价与销量的相关信息如下表：
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)问销售该商品第几天时，当天销售获得的利润最大，最大利润是多少？

(3)在前50天的销售过程中，为了给顾客发放福利，每售出一件商品就返还2a元(a<5)给顾客，且要求售价不低于80元，但是前50天的销售中，仍可以获得最大利润5832元，请求出a的值．(参考数据：2916=54)

如图，抛物线y=ax2−2ax+c(a≠0)交x轴于A，B两点，A点的坐标为(3, 0)，与y轴交于点C(0, 4)，以OC，OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点E在边OA（不包括O，A两点）上移动，过点E作平行于抛物线的对称轴l的直线分别交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点E的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；

(3)在(2)的条件下，连接PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P，C，F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省黄冈市某校初三(下)5月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
无理数的识别
【解析】
无理数是指无限循环小数，据此概念辨析即可.
【解答】
解：38=2，
无理数是指无限不循环小数，
则5，−π是无理数.
故选C．
2.
【答案】
B
【考点】
科学记数法--表示较大的数
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【解答】
解：36000=3.6×104，
∴ n=4．
故选B.
3.
【答案】
D
【考点】
幂的乘方与积的乘方
同底数幂的乘法
合并同类项
去括号与添括号
【解析】
利用运算法则逐项验证求解即可.
【解答】
解：A．x2+x2=2x2，故该选项错误；
B．2a−1=2a−2，故该选项错误；
C．3a2⋅2a3=6a5，故该选项错误；
D．x2y3=x6y3，故该选项正确.
故选D.
4.
【答案】
D
【考点】
简单组合体的三视图
【解析】
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】
解：从正面看易得主视图的形状如图所示.
故选D.
5.
【答案】
B
【考点】
极差
【解析】
用数值中的最大值减去最小值即可.
【解答】
解：数据中的最大值为36.7°C，最小值为36.2°C，
故极差为36.7−36.2=0.5°C.
故选B.
6.
【答案】
B
【考点】
余角和补角
【解析】
根据周角等于360∘列式计算即可得解．
【解答】
解：∵ ∠AOB=∠COD=90∘，
∴ ∠1+∠AOB+∠DOC+∠2=360∘，
即∠1+90∘+90∘+∠2=360∘，
∴ ∠1+∠2=180∘，
因此，∠1与∠2互补．
故选B．
7.
【答案】
D
【考点】
圆锥的计算
圆锥的展开图及侧面积
【解析】
根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．
【解答】
解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意可知：
AD=AE=4，∠DAE=45∘，
所以2πr=45×π×4180，
解得r=12．
所以该圆锥的底面圆的半径是12．
故选D．
8.
【答案】
C
【考点】
抛物线与x轴的交点
二次函数图象与系数的关系
根与系数的关系
【解析】
利用二次函数图象与系数的关系，结合图象依次对各结论进行判断．
【解答】
解：∵ 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−3, 0)，其对称轴为直线x=−12，
∴ 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−3, 0)和(2, 0)，且a=b.
由图象知：a<0，c>0，b<0，
∴ abc>0，
故结论①正确；
∵ 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−3, 0)，
∴ 9a−3b+c=0.
∵ a=b，
∴ c=−6a，
∴ 3a+c=−3a>0，
故结论②正确；
∵ 当x<−12时，y随x的增大而增大，
当−12故结论③错误；
∵ cx2+bx+a=0，c>0，
∴ cax2+bax+1=0.
∵ 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−3, 0)和(2, 0)，
∴ ax2+bx+c=0的两根是−3和2，
∴ ba=1，ca=−6，
∴ cax2+bax+1=0，即为：−6x2+x+1=0，
解得x1=−13，x2=12，
故结论④正确；
∵ 当x=−12时，y=4ac−b24a>0，
∴ b2−4ac4a<0，
故结论⑤正确，
综上所述，正确的结论有4个.
故选C.
二、填空题
【答案】
2a2b2(2a−3)
【考点】
因式分解-提公因式法
【解析】
直接找出公因式进而提取分解因式即可．
【解答】
解：4a3b2−6a2b2=2a2b2(2a−3)．
故答案为：2a2b2(2a−3)．
【答案】
72∘
【考点】
频数（率）分布直方图
扇形统计图
【解析】
根据频数（人数）分布直方图和扇形分布图中乘车的频数和百分数可得九（3）班学生总人数，进而求出x和y的值，即可求出步行的学生人数所占的圆心角．
【解答】
解：根据题意可知：20÷50%=40（人），
12÷40=0.3=30%，
∴ y=30，
∴ x=100−50−30=20，
∴ 20%×360∘=72∘．
∴ 扇形图中步行所占的圆心角是72∘．
故答案为：72∘．
【答案】
42∘
【考点】
线段垂直平分线的性质
作图—基本作图
等腰三角形的性质
三角形内角和定理
【解析】
根据∠CAD=∠CAB−∠DAB，求出∠CAB，∠DAB即可．
【解答】
解：∵∠C=90∘，∠B=24∘，
∴∠CAB=90∘−24∘=66∘.
由作图可知，MN垂直平分线段AB，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=24∘，
∴∠CAD=∠CAB−∠DAB=66∘−24∘=42∘.
故答案为：42∘.
【答案】
11010
【考点】
根与系数的关系
【解析】
根据根与系数的关系可得出x1+x2=−2,x1x2=−2020，将其代入1x1+1x2=x1+x2x1x2中即可求出结论．
【解答】
解：∵x1，x2是方程x2+2x−2020=0的两个实数根，
∵x1+x2=−2，x1x2=−2020，
∴ 1x1+1x2=x1+x2x1x2=−2−2020=11010.
故答案为：11010.
【答案】
x≤1
【考点】
解一元一次不等式组
【解析】
分别解两个一元一次不等式，再把它们的解集表示在数轴上，求其解集的共同部分，即是不等式组的解.
【解答】
解：x−3x−2≥4 ,① 1+2x3>x−1,②
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x<4，
将不等式①，②的解集表示在数轴上：
∴ 原不等式组的解集是x≤1.
故答案为：x≤1.
【答案】
106
【考点】
解直角三角形的应用-方向角问题
【解析】
作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中，利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中，利用三角函数即可求得BC的长．
【解答】
解：可知∠CBA=25∘+50∘=75∘．
作BD⊥AC于点D．
则∠CAB=180∘−70∘−50∘=60∘，
∴ ∠ABD=30∘，
∴ ∠CBD=75∘−30∘=45∘．
在直角△ABD中，BD=AB⋅sin∠CAB
=20×sin60∘=20×32=103，
在直角△BCD中，∠CBD=45∘，
则BC=2BD=103×2=106．
故答案为：106．
【答案】
69
【考点】
有理数的混合运算
【解析】
由于从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，所以从右到左的数分别为6，2×7和1×7×7，然后把它们相加即可．
【解答】
解：6+2×7+1×7×7
=6+14+49
=69(天)，
故孩子自出生后的天数是69天．
故答案为：69`.
【答案】
210−2
【考点】
翻折变换（折叠问题）
勾股定理
【解析】
当∠BFE=∠DEF，点B′在DE上时，此时B′D的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E=BE=2，即可求出B′D．
【解答】
解：如图所示：
当点E，B′，D在一条直线上时，此时B′D的值最小，
根据折叠的性质，△EBF≅△EB′F，EB′=EB，
∴ EB′⊥B′F，
∵ E是AB边的中点，AB=4，
∴ AE=EB=EB′=2，
∵ AD=6，
∴ DE=62+22=210，
∴ B′D=DE−EB′=210−2．
故答案为：210−2.
三、解答题
【答案】
解：原式=2+2−2×12+1
=2+2−1+1
=4．
【考点】
实数的运算
零指数幂、负整数指数幂
特殊角的三角函数值
二次根式的性质与化简
【解析】
本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】
解：原式=2+2−2×12+1
=2+2−1+1
=4．
【答案】
证明：∵ AE//BD，BE//AC，
∴ 四边形AEBO平行四边形．
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD，AO=CO，BO=DO．
∴ OA=OB，
∴ 四边形AEBO是菱形．
【考点】
菱形的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：∵ AE//BD，BE//AC，
∴ 四边形AEBO平行四边形．
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD，AO=CO，BO=DO．
∴ OA=OB，
∴ 四边形AEBO是菱形．
【答案】
解：(1)画树状图如下：
共有16个等可能的结果，
两次都摸到红球的结果有4个，
∴ 两次都摸到红球的概率为416=14.
(2)画树状图如下：
共有12个等可能的结果，
一次同时摸出两个红球的结果有2个，
∴ 一次同时摸出两个红球的概率为212=16.
【考点】
列表法与树状图法
【解析】
（1）画树状图，共有16个等可能的结果，两次都摸到红球的结果有4个，再由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12个等可能的结果，“一次同时摸出两个红球”的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】
解：(1)画树状图如下：
共有16个等可能的结果，
两次都摸到红球的结果有4个，
∴ 两次都摸到红球的概率为416=14.
(2)画树状图如下：
共有12个等可能的结果，
一次同时摸出两个红球的结果有2个，
∴ 一次同时摸出两个红球的概率为212=16.
【答案】
解：(1)将点A−1,6代入y=kx(x<0)中，
得6=k−1，
解得k=−6.
(2)过点D作DM⊥x轴于M，过点A作AN⊥x轴于N，过点D′作D′G⊥x轴于G.
设点D的纵坐标为a(a>0)，即DM=a，
∵ △ACN和△DCM都是等腰直角三角形，
∴ CN=AN=6，CM=DM=a，
∴ OM=CN−CM−ON=5−a，
∴ 点D的坐标为(5−a, a)，
∵ ∠D′GO=∠OMD=∠D′OD=90∘，
∴ ∠GD′O+∠D′OG=90∘，∠MOD+∠D′OG=90∘，
∴ ∠GD′O=∠MOD，
由旋转的性质可得D′O=OD，
∴ △GD′O≅△MOD，
∴ GD′=OM=5−a，OG=DM=a，
∴ D′的坐标为(−a, 5−a)，
由(1)知，反比例函数解析式为y=−6xx<0，
将D′的坐标代入，得5−a=−6−a，
解得：a1=2，a2=3，
∴ 点D的坐标为(3, 2)或(2, 3)．
【考点】
待定系数法求反比例函数解析式
反比例函数的性质
反比例函数与一次函数的综合
【解析】
（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式，即可得到答案；
（3）根据题意，设出点D的坐标，即可得到点D′的坐标，将其代入反比例函数的解析式求出答案即可．
【解答】
解：(1)将点A−1,6代入y=kx(x<0)中，
得6=k−1，
解得k=−6.
(2)过点D作DM⊥x轴于M，过点A作AN⊥x轴于N，过点D′作D′G⊥x轴于G.
设点D的纵坐标为a(a>0)，即DM=a，
∵ △ACN和△DCM都是等腰直角三角形，
∴ CN=AN=6，CM=DM=a，
∴ OM=CN−CM−ON=5−a，
∴ 点D的坐标为(5−a, a)，
∵ ∠D′GO=∠OMD=∠D′OD=90∘，
∴ ∠GD′O+∠D′OG=90∘，∠MOD+∠D′OG=90∘，
∴ ∠GD′O=∠MOD，
由旋转的性质可得D′O=OD，
∴ △GD′O≅△MOD，
∴ GD′=OM=5−a，OG=DM=a，
∴ D′的坐标为(−a, 5−a)，
由(1)知，反比例函数解析式为y=−6xx<0，
将D′的坐标代入，得5−a=−6−a，
解得：a1=2，a2=3，
∴ 点D的坐标为(3, 2)或(2, 3)．
【答案】
(1)证明：如图，连接OD，
∵ PD是⊙O的切线，
∴ ∠PDO=90∘，
∵ OD=OC，CD⊥AB于点E，
∴ CE=DE，∠POD=∠POC，
又∵ PO=PO，
∴ △POD≅PCO(SAS)，
∴ ∠PCO=∠PDO=90∘，
∴ OC⊥PC，
∴ PC为⊙O的切线.
(2)解：∵ sin∠CAB=11010，
∴ ECAC=1​10，
设CE=x，则AC=10x，
∴ AE=3x.
∵ OE=2，
∴ OA=OC=3x−2，
在Rt△COE中，由勾股定理得：(3x−2)2=x2+22，
解得x1=32，x2=0(不合题意舍去)，
∴ CE=32，
则OA=OC=3x−2=52，
即⊙O的半径为52.
【考点】
全等三角形的性质与判定
切线的判定
勾股定理
解一元二次方程-公式法
解直角三角形的应用
【解析】
.
.
【解答】
(1)证明：如图，连接OD，
∵ PD是⊙O的切线，
∴ ∠PDO=90∘，
∵ OD=OC，CD⊥AB于点E，
∴ CE=DE，∠POD=∠POC，
又∵ PO=PO，
∴ △POD≅PCO(SAS)，
∴ ∠PCO=∠PDO=90∘，
∴ OC⊥PC，
∴ PC为⊙O的切线.
(2)解：∵ sin∠CAB=11010，
∴ ECAC=1​10，
设CE=x，则AC=10x，
∴ AE=3x.
∵ OE=2，
∴ OA=OC=3x−2，
在Rt△COE中，由勾股定理得：(3x−2)2=x2+22，
解得x1=32，x2=0(不合题意舍去)，
∴ CE=32，
则OA=OC=3x−2=52，
即⊙O的半径为52.
【答案】
解：(1)∵ AB=AC，∠BAC=30∘，
∴ ∠ABC=∠ACB=12(180∘−30∘)=75∘，
∵ DB=DC，∠DCB=30∘，
∴ ∠DBC=∠DCB=30∘，
∴ ∠ABD=∠ABC−∠DBC=45∘，
在△ABD和△ACD中，
AB=AC，DB=DC，AD=AD，
∴ △ABD≅△ACD(SSS)，
∴ ∠BAD=∠CAD=12∠BAC=15∘，
∴ ∠ADE=∠ABD+∠BAD=60∘，
∴ ∠ADB=180∘−∠ADE=180∘−60∘=120∘.
(2)DE=AD+CD，
理由如下：
在线段DE上截取DM=AD，连接AM，
∵ ∠ADE=60∘，DM=AD，
∴ △ADM是等边三角形，
∴ ∠ADB=∠AME=120∘．
∵ AE=AB，
∴ ∠ABD=∠E，
在△ABD和△AEM中，
∠ABD=∠E，∠ADB=∠AME，AB=AE，
∴ △ABD≅△AEM(AAS)，
∴ BD=ME，
∵ BD=CD，
∴ CD=ME．
∵ DE=DM+ME，
∴ DE=AD+CD．
【考点】
全等三角形的性质与判定
三角形内角和定理
三角形的外角性质
等边三角形的性质
【解析】
（1）根据三角形内角和定理得到∠ABC=∠ACB=75∘，根据全等三角形的性质得到∠BAD=∠CAD=15∘，根据三角形的外角性质计算，得到答案；

（2）在线段DE上截取DM=AD，连接AM，得到△ADM是等边三角形，根据△ABD≅△AEM，得到BD=ME，结合图形证明结论
【解答】
解：(1)∵ AB=AC，∠BAC=30∘，
∴ ∠ABC=∠ACB=12(180∘−30∘)=75∘，
∵ DB=DC，∠DCB=30∘，
∴ ∠DBC=∠DCB=30∘，
∴ ∠ABD=∠ABC−∠DBC=45∘，
在△ABD和△ACD中，
AB=AC，DB=DC，AD=AD，
∴ △ABD≅△ACD(SSS)，
∴ ∠BAD=∠CAD=12∠BAC=15∘，
∴ ∠ADE=∠ABD+∠BAD=60∘，
∴ ∠ADB=180∘−∠ADE=180∘−60∘=120∘.
(2)DE=AD+CD，
理由如下：
在线段DE上截取DM=AD，连接AM，
∵ ∠ADE=60∘，DM=AD，
∴ △ADM是等边三角形，
∴ ∠ADB=∠AME=120∘．
∵ AE=AB，
∴ ∠ABD=∠E，
在△ABD和△AEM中，
∠ABD=∠E，∠ADB=∠AME，AB=AE，
∴ △ABD≅△AEM(AAS)，
∴ BD=ME，
∵ BD=CD，
∴ CD=ME．
∵ DE=DM+ME，
∴ DE=AD+CD．
【答案】
解：(1)当1≤x<50时，
y=200−2x(x+40−30)
=−2x2+180x+2000 ，
当50≤x≤90时，
y=200−2x90−30=−120x+12000 ，
综上所述，y=−2x2+180x+2000(1≤x<50),−120x+12000(50≤x≤90).
(2)当1≤x<50时，
y=−2x2+180x+2000，
=−2x−452+6050．
∵ a=−2<0，
∴二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，
当x=45时，y最大=6050，
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
当x=50时，y最大=6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元.
(3)根据题意得，
y=200−2x(x+40−30−2a)
=−2x2+(180+4a)x+2000−400a，
∵ x+40≥80，
则x≥40，即40≤x<50，
函数的对称轴x=45+a，
∴ 在40≤x<50内(a<5时)，
当x=45+a时，函数取得最大值，
即y=200−2x(x+40−30−2a)
=(200−90−2a)45+a+10−2a
=255−a55−a=5832，
∴ 55−a2=2916，
即55−a=±2916=±54，
解得：a=55−54=1(不合题意的值已舍去).
故a的值为1．
【考点】
由实际问题抽象出一元二次方程
由实际问题抽象出一元一次方程
二次函数的应用
一次函数的性质
【解析】
(1)根据单价乘以数量，可得利润，分段列出函数关系式可得答案；
(2)根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；
(3)在确定函数表达式的基础上，确定函数的对称轴，进而求解．
【解答】
解：(1)当1≤x<50时，
y=200−2x(x+40−30)
=−2x2+180x+2000 ，
当50≤x≤90时，
y=200−2x90−30=−120x+12000 ，
综上所述，y=−2x2+180x+2000(1≤x<50),−120x+12000(50≤x≤90).
(2)当1≤x<50时，
y=−2x2+180x+2000，
=−2x−452+6050．
∵ a=−2<0，
∴二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，
当x=45时，y最大=6050，
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
当x=50时，y最大=6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元.
(3)根据题意得，
y=200−2x(x+40−30−2a)
=−2x2+(180+4a)x+2000−400a，
∵ x+40≥80，
则x≥40，即40≤x<50，
函数的对称轴x=45+a，
∴ 在40≤x<50内(a<5时)，
当x=45+a时，函数取得最大值，
即y=200−2x(x+40−30−2a)
=(200−90−2a)45+a+10−2a
=255−a55−a=5832，
∴ 55−a2=2916，
即55−a=±2916=±54，
解得：a=55−54=1(不合题意的值已舍去).
故a的值为1．
【答案】
解：(1)∵ 抛物线y=ax2−2ax+c(a≠0)经过点A(3, 0)，点C(0, 4)，
∴ 9a−6a+c=0，c=4，解得a=−43，c=4，
∴ 抛物线的解析式为y=−43x2+83x+4.
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b.
∵ A(3, 0)，C(0, 4)，
∴ 3k+b=0,b=4,解得k=−43,b=4,
∴ 直线AC的解析式为y=−43x+4．
∵ 点M的横坐标为m，点M在AC上，
∴ M点的坐标为(m, −43m+4).
∵ 点P的横坐标为m，点P在抛物线y=−43x2+83x+4上，
∴ 点P的坐标为(m, −43m2+83m+4)，
∴ PM=PE−ME=(−43m2+83m+4)−(−43m+4)
=−43m2+4m ，
即PM=−43m2+4m(0(3)在(2)的条件下，连接PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P，C，F为顶点的三角形和△AEM相似．
理由如下：
由题意，可得AE=3−m，EM=−43m+4，CF=m.
若以P，C，F为顶点的三角形和△AEM相似，P点在CD上方，
则PF=−43m2+83m+4−4=−43m2+83m．
①若△PFC∼△AEM，则PF:AE=FC:EM，
即(−43m2+83m)：(3−m)=m：(−43m+4)，
∵ m≠0且m≠3，∴ m=2316；
②若△CFP∼△AEM，则CF:AE=PF:EM，
即m：(3−m)=(−43m2+83m)：(−43m+4)，
∵ m≠0且m≠3，∴ m=1．
综上所述，存在这样的点P使得以P，C，F为顶点的三角形与△AEM相似，此时m的值为2316或1．
【考点】
待定系数法求二次函数解析式
待定系数法求正比例函数解析式
二次函数综合题
相似三角形的性质与判定
【解析】
（1）将A(3, 0)，C(0, 4)代入y=ax2−2ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长；
（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值．
【解答】
解：(1)∵ 抛物线y=ax2−2ax+c(a≠0)经过点A(3, 0)，点C(0, 4)，
∴ 9a−6a+c=0，c=4，解得a=−43，c=4，
∴ 抛物线的解析式为y=−43x2+83x+4.
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b.
∵ A(3, 0)，C(0, 4)，
∴ 3k+b=0,b=4,解得k=−43,b=4,
∴ 直线AC的解析式为y=−43x+4．
∵ 点M的横坐标为m，点M在AC上，
∴ M点的坐标为(m, −43m+4).
∵ 点P的横坐标为m，点P在抛物线y=−43x2+83x+4上，
∴ 点P的坐标为(m, −43m2+83m+4)，
∴ PM=PE−ME=(−43m2+83m+4)−(−43m+4)
=−43m2+4m ，
即PM=−43m2+4m(0(3)在(2)的条件下，连接PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P，C，F为顶点的三角形和△AEM相似．
理由如下：
由题意，可得AE=3−m，EM=−43m+4，CF=m.
若以P，C，F为顶点的三角形和△AEM相似，P点在CD上方，
则PF=−43m2+83m+4−4=−43m2+83m．
①若△PFC∼△AEM，则PF:AE=FC:EM，
即(−43m2+83m)：(3−m)=m：(−43m+4)，
∵ m≠0且m≠3，∴ m=2316；
②若△CFP∼△AEM，则CF:AE=PF:EM，
即m：(3−m)=(−43m2+83m)：(−43m+4)，
∵ m≠0且m≠3，∴ m=1．
综上所述，存在这样的点P使得以P，C，F为顶点的三角形与△AEM相似，此时m的值为2316或1．时间x(天)
1≤x<50
50≤x≤90
售价(元/件)
x+40
90
每天销量(件)
200−2x