2020-2021学年湖北省黄冈市某校初三（下）6月月考数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省黄冈市某校初三（下）6月月考数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. −66的相反数是( )
A.−66B.66C.166D.−166

2. 冠状病毒最先是1937年从鸡身上分离出来的，病毒颗粒的平均直径为101nm，长度单位1nm=10−9m，用科学记数法表示该病毒直径是( )
×10−6m×10−6m
×10−7m×10−8m

3. 下列运算正确的是( )
A.x2⋅x3=x6B.2x32=2x6
C.x4+x2=x6D.2x⋅5x4=10x5

4. 下列几何体中，从左面看到的图形是圆的是( )
A.B.C.D.

5. 甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如表所示．如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加全国数学联赛，那么应选( )

A.甲B.乙C.丙D.丁

6. 通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（ ）
A.B.
C.D.

7. 如图所示，在扇形BAD中，点C在BD上，且∠BDC=30∘，AB=22，∠BAD=105∘，过点C作CE⊥AD，则图中阴影部分的面积为( )

A.π−2B.π−1C.2π−2D.2π+1

8. 如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为( )

A.B.
C.D.
二、填空题

把多项式9a3−ab2因式分解的结果是________．

某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得8分，答错或不答都扣4分，小红的得分要超过80分，她至少要答对________道．

某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为5:4:3，若用扇形图表示上述分布情况，则“来自甲地区的学生”对应扇形的圆心角的度数为________．

如图，如果∠1=∠3，∠2=64∘，那么∠4的度数为________．


设x1，x2是方程x2+mx−5=0的两个根，且x1+x2−x1x2=1，则m=________．

如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31∘，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为________米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31∘=0.515，cs31∘=0.857，tan31∘=0.601】


如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60∘，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是________．


如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，AC=43，BC的中点为D，将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG在旋转过程中，DG的最大值是________．

三、解答题

计算：(14)−1+|1−3|−27tan30∘．

如图，▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA，DC的延长线分别交于点E，F．

(1)求证：△AOE≅△COF；

(2)请连接EC，AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．

如图所示，已知反比例函数y1 = kx的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1, 4)和点B(m, −2).

(1)求这两个函数的表达式；

(2)观察图象，当x>0时，直接写出y1>y2时自变量x的取值范围；

(3)如果点C与点A关于x轴对称，求△ABC的面积．

有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和−2；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字−1，0和2．小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P的坐标为(x, y)．
(1)请用表格或树状图列出点P所有可能的坐标；

(2)求点P在一次函数y=x+1图象上的概率．

“中华紫薇园”景区今年“五一”期间开始营业，为方便游客在园区内游玩休息，决定向一家园艺公司采购一批户外休闲椅，经了解，公司出售两种型号休闲椅，如下表：
景区采购这批休闲椅共用去56000元，购得的椅子正好可让1300名游客同时使用．
(1)求景区采购了多少条长条椅，多少条弧形椅？

(2)景区现计划租用A、B两种型号的卡车共20辆将这批椅子运回景区，已知A型卡车每辆可同时装运4条长条椅和11条弧形椅，B型卡车每辆可同时装运12条长条椅和7条弧形椅．如何安排A、B两种卡车可一次性将这批休闲椅运回来？

(3)已知A型卡车每辆的运费为1200元，B型卡车每辆的运费为1050元，在(2)的条件下，若要使此次运费最少，应采取哪种方案？并求出最少的运费为多少元．

如图，AB是⊙O的直径．半径OD垂直弦AC于点E．F是BA延长线上一点，∠CDB=∠BFD．

(1)判断DF与⊙O的位置关系，并证明；

(2)若AB=10，AC=8，求DF的长．

某公司投资700万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行这两种产品加工．已知生产甲种产品每件还需成本费30元，生产乙种产品每件还需成本费20元．经市场调研发现：甲种产品的销售单价为x(元)，年销售量为y(万件)，当35≤x<50时，y与x之间的函数关系式为y=20−0.2x；当50≤x≤70时，y与x的函数关系式如图所示，乙种产品的销售单价，在25元(含)到45元(含)之间，且年销售量稳定在10万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元．

(1)当50≤x≤70时，求出甲种产品的年销售量y(万件)与x(元)之间的函数关系式．

(2)若公司第一年的年销售量利润(年销售利润=年销售收入−生产成本)为W(万元)，那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？

(3)第二年公司可重新对产品进行定价，在(2)的条件下，并要求甲种产品的销售单价x(元)在50≤x≤70范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利(总盈利=两年的年销售利润之和−投资成本)不低于85万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m(元)的范围．

如图所示，抛物线y=x2−2x−3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．

(1)求点C及顶点M的坐标；

(2)若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．

(3)若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．

(4)直线CM交x轴于点E，若点P是线段EC上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省黄冈市某校初三（下）6月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
相反数
【解析】
直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】
解：−66的相反数是−(−66)=66．
故选B.
2.
【答案】
C
【考点】
科学记数法--表示较小的数
【解析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】
解：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
101nm=101×10−9m=1.01×10−7m．
故选C.
3.
【答案】
D
【考点】
同底数幂的乘法
单项式乘单项式
幂的乘方与积的乘方
合并同类项
【解析】
分别运用同底数幂的乘法、积的乘方、单项式乘以单项式、同类项的合并计算，即可判断．
【解答】
解：A， x2⋅x3=x5≠x6 ，该选项不符合题意；
B，2x32=4x6≠2x6，该选项不符合题意；
C，x4与x2 不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
D，2x⋅5x4=10x5，该选项符合题意.
故选D．
4.
【答案】
D
【考点】
简单几何体的三视图
【解析】
分别得出各个选项中几何体的左视图，进行判断即可．
【解答】
解：A，几何体中的左视图为三角形，不是圆，故错误；
B，几何体的左视图为三角形，不是圆，故错误；
C，几何体的左视图为长方形，不是圆，故错误；
D，几何体的左视图为圆，故正确．
故选D．
5.
【答案】
B
【考点】
方差
算术平均数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由于乙的方差较小，成绩更稳定，成绩的平均数较大．
故应选乙．
故选B.
6.
【答案】
A
【考点】
线段垂直平分线的定义
作图—复杂作图
【解析】
作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．
【解答】
解：作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．
由此可知，选项A符合条件，
故选A.
7.
【答案】
A
【考点】
扇形面积的计算
等边三角形的性质与判定
三角形的面积
【解析】
阴影部分的面积为S扇形ACD−S△ACE，根据面积公式计算即可．
【解答】
解：∵∠BDC=30∘，
∴∠BAC=60∘，
∵AC=AB，
∴△ABC是等边三角形.
∵∠BAD=105∘，
∴∠CAE=105∘−60∘=45∘，
∵CE⊥AD，AC=AB=22，
∴AE=CE=2，
∴ S△ACE=2，
∴ S扇形ACD=45π×222360=π，
∴ 阴影部分的面积为S扇形ACD−S△ACE=π−2.
故选A．
8.
【答案】
A
【考点】
动点问题
函数的图象
【解析】
由题意可知，59g =5正方形−S三角形，当三角形没有完全进入正方形之前，阴影部分的面积是在减小的，当三角形继续向右移动时，阴影部分的面积是增大的，由此可知B、C选项是错误的，当t=2时，三角形完全进入正方形，当t=2时，三角形开始移出正方形，所以在2【解答】
解：由题意知运动过程中正方形与三角形不重合部分的面积为s先减小后增大，排除BC；
且等腰直角三角形的斜边长为2<2，
故中间一段时间s保持不变，故A符合题意.
故选A.
二、填空题
【答案】
a(3a+b)(3a−b)
【考点】
提公因式法与公式法的综合运用
【解析】
原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式=a(9a2−b2)=a(3a+b)(3a−b)，
故答案为：a(3a+b)(3a−b).
【答案】
14
【考点】
一元一次不等式的实际应用
【解析】
设她答对了x道题，根据得分超过80列不等式进行求解即可．
【解答】
解：设她对x道题，则答错或不答20−x道题，
依题意，得：8x−420−x>80，
解得：x>1313，
∵ x是整数，
∴ x≥14且x为整数，
∴ 她至少要答对14道题.
故答案为：14．
【答案】
150∘
【考点】
扇形统计图
【解析】
用甲地区所占百分比乘以360∘即可求得答案．
【解答】
解：“来自甲地区的学生”对应扇形的圆心角的度数为360∘×53+4+5=150∘.
故答案为：150∘.
【答案】
116∘
【考点】
平行线的判定与性质
【解析】
先根据∠1=∠3证明ABIICD，再求出∠2=∠5=64∘，最后根据邻补角的定义即可求解．
【解答】
解：如图，
∵ ∠1=∠3，
∴ AB//CD，
∴ ∠2=∠5=64∘.
∵ ∠5+∠4=180∘，
∴ ∠4=116∘.
故答案为：116∘.
【答案】
4
【考点】
根与系数的关系
【解析】
利用根与系数的关系可得出x1+x2＝−m，x1x2＝−5，结合x1+x2−x1x2＝1，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
【解答】
解：∵ x1，x2是方程x2+mx−5=0的两个根，
∴ x1+x2=−m，x1x2=−5．
∵ x1+x2−x1x2=1，即−m−(−5)=1.
∴ m=4．
故答案为：4.
【答案】
6.2
【考点】
解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【解析】
在Rt△ABC中，根据sin∠BAC=BCAB即可求解．
【解答】
解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90∘，
∴ BC=AB⋅sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米），
答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．
故答案为：6.2．
【答案】
33
【考点】
菱形的性质
锐角三角函数的定义
等边三角形的性质与判定
【解析】
首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出△AEF是等边三角形，再根据三角函数计算出AE=EF的值，再过A作AM⊥EF，再进一步利用三角函数计算出AM的值，即可算出三角形的面积．
【解答】
解：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ BC=CD，∠B=∠D=60∘，
∵ AE⊥BC，AF⊥CD，
∴ BC×AE=CD×AF，∠BAE=∠DAF=30∘，
∴ AE=AF，
∵ ∠B=60∘，
∴ ∠BAD=120∘，
∴ ∠EAF=120∘−30∘−30∘=60∘，
∴ △AEF是等边三角形，
∴ AE=EF，∠AEF=60∘，
∵ AB=4，
∴ AE=AB×sin60∘=23，
∴ EF=AE=23，
过A作AM⊥EF，
∴ AM=AE⋅sin60∘=3，
∴ △AEF的面积是：12EF⋅AM=12×23×3=33．
故答案为：33．
【答案】
6
【考点】
旋转的性质
锐角三角函数的定义
三角形三边关系
【解析】
解直角三角形求出AB、BC，再求出CD，连接CG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CG，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出D、C、G三点共线时DG有最大值，再代入数据进行计算即可得解．
【解答】
解：∵ ∠ACB=90∘，∠A=30∘，
∴ AB=AC÷cs30∘=43÷32=8，
BC=AC⋅tan30∘=43×33=4，
∵ BC的中点为D，
∴ CD=12BC=12×4=2，
连接CG，
∵ △ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，
∴ CG=12EF=12AB=12×8=4，
由三角形的三边关系得，CD+CG>DG，
∴ D、C、G三点共线时DG有最大值，
此时DG=CD+CG=2+4=6．
故答案为：6．
三、解答题
【答案】
解：(14)−1+|1−3|−27tan30∘
=4+3−1−33×33
=4+3−1−3
=3．
【考点】
特殊角的三角函数值
零指数幂、负整数指数幂
绝对值
【解析】
利用负整数指数幂法则，绝对值的化简，最简二次根及特殊角的三角形函数值进行计算．
【解答】
解：(14)−1+|1−3|−27tan30∘
=4+3−1−33×33
=4+3−1−3
=3．
【答案】
(1)证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=OC，AB // CD．
∴ ∠E=∠F．
∵ 在△AOE与△COF中，∠E=∠F，∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴ △AOE≅△COF(AAS).
(2)解：连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形，
理由如下：
由(1)可知△AOE≅△COF，
∴ OE=OF，
∵ AO=CO，
∴ 四边形AECF是平行四边形，
∵ EF=AC，
∴ 四边形AECF是矩形．
【考点】
平行四边形的性质
全等三角形的判定
全等三角形的性质
矩形的判定
【解析】
(1)根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明即可；
(2)请连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形，首先证明四边形AECF是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形即可证明．
【解答】
(1)证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=OC，AB // CD．
∴ ∠E=∠F．
∵ 在△AOE与△COF中，∠E=∠F，∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴ △AOE≅△COF(AAS).
(2)解：连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形，
理由如下：
由(1)可知△AOE≅△COF，
∴ OE=OF，
∵ AO=CO，
∴ 四边形AECF是平行四边形，
∵ EF=AC，
∴ 四边形AECF是矩形．
【答案】
解：(1)∵ 函数y = kx的图象过点A(1, 4)，即4 = k1，
∴ k=4，即y1 = 4x，
又∵ 点B(m, −2)在y1 = 4x上，
∴ m=−2，
∴ B(−2, −2)，
又∵ 一次函数y2=ax+b过A、B两点，
即− 2a + b =−2，a + b = 4，
解得a=2，b=2.
∴ y2=2x+2，
综上可得y1 = 4x，y2=2x+2.
(2)要使y1>y2，即函数y1的图象总在函数y2的图象上方，
∴ 0(3)过B作BD⊥AC于D，
由图形及题意可得：AC=4+4=8，BD=−2+1=3，
∴ S△ABC = 12AC⋅BD = 12 × 8×3=12．
【考点】
反比例函数与一次函数的综合
待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求反比例函数解析式
三角形的面积
【解析】
（1）由A在反比例函数图象上，把A的坐标代入反比例解析式，确定出k的值，从而得出反比例函数解析式，又B也在反比例函数图象上，把B的坐标代入确定出的反比例解析式即可确定出m的值，从而得到B的坐标，由A和B都在一次函数图象上，故把A和B都代入到一次函数解析式中，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，从而确定出一次函数解析式；
（2）根据图象结合交点坐标即可求得；
（3）由点C与点A关于x轴对称可得AC，AC边上的高为A，B两点横坐标绝对值的和，代入三角形的面积公式即可．
【解答】
解：(1)∵ 函数y = kx的图象过点A(1, 4)，即4 = k1，
∴ k=4，即y1 = 4x，
又∵ 点B(m, −2)在y1 = 4x上，
∴ m=−2，
∴ B(−2, −2)，
又∵ 一次函数y2=ax+b过A、B两点，
即− 2a + b =−2，a + b = 4，
解得a=2，b=2.
∴ y2=2x+2，
综上可得y1 = 4x，y2=2x+2.
(2)要使y1>y2，即函数y1的图象总在函数y2的图象上方，
∴ 0(3)过B作BD⊥AC于D，
由图形及题意可得：AC=4+4=8，BD=−2+1=3，
∴ S△ABC = 12AC⋅BD = 12 × 8×3=12．
【答案】
解：(1)画出树状图如图：
∴ P点可能的坐标为：(1, −1)，(1, 0)，(1, 2)，(−2, −1)，(−2, 0)，(−2, 2).
(2)由(1)知，所有可能的情况共6种，
其中(1, 2)，(−2, −1)在一次函数y=x+1图象上，
∴ P（点P在一次函数y=x+1的图象上）=26=13．
【考点】
一次函数图象上点的坐标特点
列表法与树状图法
概率公式
【解析】
（1）画出树状图，根据图形求出点P所有可能的坐标即可；
（2）只有(1, 2)，(−2, −1)这两点在一次函数y=x+1图象上，于是得到P（点P在一次函数y=x+1的图象上）=26=13．
【解答】
解：(1)画出树状图如图：
∴ P点可能的坐标为：(1, −1)，(1, 0)，(1, 2)，(−2, −1)，(−2, 0)，(−2, 2).
(2)由(1)知，所有可能的情况共6种，
其中(1, 2)，(−2, −1)在一次函数y=x+1图象上，
∴ P（点P在一次函数y=x+1的图象上）=26=13．
【答案】
解：(1)设景区采购长条椅x条，弧型椅y条，
由题意得， 3x + 5y = 1300,160x + 200y = 56000 ,
解得 x = 100, y = 200 ,
答：采购了100条长条椅，200条弧型椅.
(2)设租用A型卡车m辆，则租用B型卡车(20−m)辆，
由题意得4m + 12(20 − m)≥100, 11m + 7(20 − m)≥200,
解得15≤m≤17.5，
由题意可知，m为正整数，
所以，m只能取15、16、17，
故有三种租车方案可一次性将这批休闲椅运回来，可这样安排：
方案一：A型卡车15辆，B型卡车5辆，
方案二：A型卡车16辆，B型卡车4辆，
方案三：A型卡车17辆，B型卡车3辆.
(3)设租车总费用为W元，则W=1200m+1050(20−m)=150m+21000，
∵ 150>0，
∴ W随m的增大而增大，
又∵ 15≤m≤17.5，
∴ 当m=15时，W有最小值，W最小=150×15+21000=23250，
∴ 最省钱的租车方案是租用A型卡车15辆、B型卡车5辆，最低运费为23250元．
【考点】
二元一次方程组的应用——销售问题
一元一次不等式组的应用
由实际问题抽象出一元一次不等式组
一次函数的应用
一次函数的最值
【解析】
（1）设景区采购长条椅x条，弧型椅y条，然后根据游客人数和花费钱数两个等量关系列出方程组求解即可；
（2）设租用A型卡车m辆，则租用B种卡车(20−m)辆，根据两种型号卡车装运的休闲椅的数量不小于两种休闲椅的数量列出不等式组，求解即可，再根据车辆数是正整数写出设计方案；
（3）设租车总费用为W元，列出W的表达式，再根据一次函数的增减性求出最少费用．
【解答】
解：(1)设景区采购长条椅x条，弧型椅y条，
由题意得， 3x + 5y = 1300,160x + 200y = 56000 ,
解得 x = 100, y = 200 ,
答：采购了100条长条椅，200条弧型椅.
(2)设租用A型卡车m辆，则租用B型卡车(20−m)辆，
由题意得4m + 12(20 − m)≥100, 11m + 7(20 − m)≥200,
解得15≤m≤17.5，
由题意可知，m为正整数，
所以，m只能取15、16、17，
故有三种租车方案可一次性将这批休闲椅运回来，可这样安排：
方案一：A型卡车15辆，B型卡车5辆，
方案二：A型卡车16辆，B型卡车4辆，
方案三：A型卡车17辆，B型卡车3辆.
(3)设租车总费用为W元，则W=1200m+1050(20−m)=150m+21000，
∵ 150>0，
∴ W随m的增大而增大，
又∵ 15≤m≤17.5，
∴ 当m=15时，W有最小值，W最小=150×15+21000=23250，
∴ 最省钱的租车方案是租用A型卡车15辆、B型卡车5辆，最低运费为23250元．
【答案】
解：(1)DF与⊙O相切．
∵ ∠CDB=∠CAB，
又∵ ∠CDB=∠BFD，
∴ ∠CAB=∠BFD．
∴ AC // DF．
∵ 半径OD垂直于弦AC于点E，
∴ OD⊥DF．
∴ DF与⊙O相切．
(2)∵ 半径OD垂直于弦AC于点E，AC=8，
∴ AE=12AC=12×8=4．
∵ AB是⊙O的直径，
∴ OA=OD=12AB=12×10=5．
在Rt△AEO中，OE=OA2−AE2=52−42=3．
∵ AC // DF，
∴ △OAE∽△OFD．
∴ OEOD=AEDF．
∴ 35=4DF．
∴ DF=203．
【考点】
切线的判定
相似三角形的性质与判定
勾股定理
垂径定理
【解析】
（1）利用圆周角定理以及平行线的判定得出∠FDO=90∘，进而得出答案；
（2）利用垂径定理得出AE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出FD的长．
【解答】
解：(1)DF与⊙O相切．
∵ ∠CDB=∠CAB，
又∵ ∠CDB=∠BFD，
∴ ∠CAB=∠BFD．
∴ AC // DF．
∵ 半径OD垂直于弦AC于点E，
∴ OD⊥DF．
∴ DF与⊙O相切．
(2)∵ 半径OD垂直于弦AC于点E，AC=8，
∴ AE=12AC=12×8=4．
∵ AB是⊙O的直径，
∴ OA=OD=12AB=12×10=5．
在Rt△AEO中，OE=OA2−AE2=52−42=3．
∵ AC // DF，
∴ △OAE∽△OFD．
∴ OEOD=AEDF．
∴ 35=4DF．
∴ DF=203．
【答案】
解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
∵ 函数图象经过点(50, 10)，(70, 8)，
∴ 50k+b=10，70k+b=8.
解得k=−0.1，b=15.
∴ y=−0.1x+15.
故函数关系式为y=−0.1x+15.
(2)∵ 乙种产品的销售单价在25元(含)到45元(含)之间，
∴ 90−x≥25，90−x≤45.
解之得45≤x≤65，
①45≤x<50时，W=(x−30)(20−0.2x)+10(90−x−20)
=−0.2x2+16x+100
=−0.2(x2−80x+1600)+320+100
=−0.2(x−40)2+420，
∵ −0.2<0，
∴ x>40时，W随x的增大而减小，
∴ 当x=45时，W有最大值，Wmax=−0.2(45−40)2+420=415万元；
②50≤x≤65时，W=(x−30)(−0.1x+15)+10(90−x−20)
=−0.1x2+8x+250
=−0.1(x2−80x+1600)+160+250
=−0.1(x−40)2+410，
∵ −0.1<0，
∴ x>40时，W随x的增大而减小，
∴ 当x=50时，W有最大值，Wmax=−0.1(50−40)2+410=400万元．
综上所述，当x=45，即甲、乙两种产品定价均为45元时，第一年的年销售利润最大，最大年销售利润是415万元.
(3)题意得，W=−0.1x2+8x+250+415−700
=−0.1x2+8x−35，
令W=85，则−0.1x2+8x−35=85，
解得x1=20，x2=60．
又由题意知，50≤x≤65，
根据函数与x轴的交点可知50≤x≤60，
即50≤90−m≤60，
∴ 30≤m≤40．
故m的范围为30≤m≤40.
【考点】
待定系数法求一次函数解析式
二次函数的应用
【解析】
(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，然后把点(50，10)，(70，8)代入求出k，b的值即可得解.
(2)先根据两种产品的销售单价之和为90元，根据乙种产品的定价范围列出不等式组求出x的取值范围是45≤x≤65，然后分45≤x<50，50≤x≤65两种情况，根据销售利润等于两种产品的利润之和列出W与x的函数关系式，再利用二次函数的增减性确定出最大值，从而得解；
(3)用第一年的最大利润加上第二年的利润，然后根据总盈利不低于85万元列出不等式，整理后求解即可．
【解答】
解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
∵ 函数图象经过点(50, 10)，(70, 8)，
∴ 50k+b=10，70k+b=8.
解得k=−0.1，b=15.
∴ y=−0.1x+15.
故函数关系式为y=−0.1x+15.
(2)∵ 乙种产品的销售单价在25元(含)到45元(含)之间，
∴ 90−x≥25，90−x≤45.
解之得45≤x≤65，
①45≤x<50时，W=(x−30)(20−0.2x)+10(90−x−20)
=−0.2x2+16x+100
=−0.2(x2−80x+1600)+320+100
=−0.2(x−40)2+420，
∵ −0.2<0，
∴ x>40时，W随x的增大而减小，
∴ 当x=45时，W有最大值，Wmax=−0.2(45−40)2+420=415万元；
②50≤x≤65时，W=(x−30)(−0.1x+15)+10(90−x−20)
=−0.1x2+8x+250
=−0.1(x2−80x+1600)+160+250
=−0.1(x−40)2+410，
∵ −0.1<0，
∴ x>40时，W随x的增大而减小，
∴ 当x=50时，W有最大值，Wmax=−0.1(50−40)2+410=400万元．
综上所述，当x=45，即甲、乙两种产品定价均为45元时，第一年的年销售利润最大，最大年销售利润是415万元.
根据题意得，W＝−0.1x2+8x+250+415−700＝−0.1x2+8x−35，
令W＝85，则−0.1x2+8x−35＝85，解得x1＝20，x2＝60．
又由题意知，50≤x≤65，根据函数与x轴的交点可知50≤x≤60，
即50≤90−m≤60，
∴ 30≤m≤40．
【答案】
解：(1)令x=0，得y=−3，
故C点坐标为(0, −3)，
又∵ y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴ 抛物线的顶点M的坐标为(1, −4).
(2)过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，连接BN，CN，如图1所示：
令y=x2−2x−3=0，
解得：x=3或x=−1，
∴ B(3, 0)，A(−1, 0)，
设直线BC的解析式为：y=ax+b，
将C(0, −3)，B(3, 0)代入直线BC的解析式得：
−3=b，0=3a+b，
解得：a=1，b=−3，
∴ 直线BC的解析式为：y=x−3，
设N点坐标为(n, n2−2n−3)，故Q点坐标为(n, n−3)，其中0则S△BCN=S△NQC+S△NQB
=12⋅NQ⋅xB−xC，
且QN=(n−3)−(n2−2n−3)=−n2+3n，xB−xC=3，
故S△BCN=12⋅−n2+3n⋅3
=−32n2+92n
=−32n−322+278，其中0当n=32时，S△BCN有最大值为278，
此时点N的坐标为（32,−154）.
(3)设D点坐标为(1, t)，G点坐标为(m, m2−2m−3)，且B(3, 0)，C(0, −3)
分情况讨论：
①当DG为对角线时，则另一对角线是BC，由中点坐标公式可知：
线段DG的中点坐标为xD+xG2,yD+yG2，即1+m2,t+m2−2m−32，
线段BC的中点坐标为xB+xC2,yB+yC2，即3+02,0−32，
此时DG的中点与BC的中点为同一个点，
∴ 1+m2=32，t+m2−2m−32=−32，解得m=2，t=0，
经检验，此时四边形DCGB为平行四边形，此时G坐标为(2, −3)；
②当DB为对角线时，则另一对角线是GC，由中点坐标公式可知：
线段DB的中点坐标为xD+xB2,yD+yB2，即1+32,t+02，
线段GC的中点坐标为xG+xC2,yG+yC2，即m+02,m2−2m−3−32，
此时DB的中点与GC的中点为同一个点，
∴ 1+32=m+02，t+02=m2−2m−3−32，解得m=4，t=2，
经检验，此时四边形DCBG为平行四边形，此时G坐标为(4, 5)；
③当DC为对角线时，则另一对角线是GB，由中点坐标公式可知：
线段DC的中点坐标为xD+xC2,yD+yC2，即1+02,t−32，
线段GB的中点坐标为xG+xB2,yG+yB2，即m+32,m2−2m−3+02，
此时DC的中点与GB的中点为同一个点，
∴ 1+02=m+32，t−32=m2−2m−3+02，解得m=−2，t=8，
经检验，此时四边形DGCB为平行四边形，此时G坐标为(−2, 5).
综上所述，G点坐标存在，为(2, −3)或(4, 5)或(−2, 5).
(4)连接AC，OP，如图2所示：
设MC的解析式为：y=kx+m，
将C(0, −3)，M(1, −4)代入MC的解析式得：−3=m，−4=k+m，
解得：k=−1，m=−3，
∴ MC的解析式为：y=−x−3，令y=0，则x=−3，
∴ E点坐标为(−3, 0)，
∴ OE=OB=3，且OC⊥BE，
∴ CE=CB，
∴ ∠CBE=∠E，
设P(x, −x−3)，
又∵ P点在线段EM上，
∴ −3则EP=x+32+−x−32=2x+3，BC=32+32=32，
由题意知：△PEO相似于△ABC，
分情况讨论：
①△PEO∽△CBA，
∴ EOBA=EPBC，
∴ 34=2x+332，
解得x=−34，满足−3②△PEO∽△ABC，
∴ EOBC=EPBA，
∴ 332=2x+34，
解得x=−1，满足−3综上所述，P点的坐标为−34,−94或(−1, −2)．
【考点】
二次函数综合题
三角形的面积
【解析】
（1）令抛物线解析式中x=0即可求出C点坐标，写出抛物线顶点式，即可求出顶点M坐标；
（2）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，设N(n, n2−2n−3)，求出BC解析式，进而得到Q点坐标，最后根据S△BCN=S△NQC+S△NQB即可求解；
（3）设D点坐标为(1, t)，G点坐标为(m, m2−2m−3)，然后分成①DG是对角线；②DB是对角线；③DC是对角线时三种情况进行讨论即可求解；
（4）连接AC，由CE=CB可知∠EBC=∠E，求出MC的解析式，设P(x, −x−3)，然后根据△PEO相似△ABC，分成EOBA=EPBC和EOBC=EPBA讨论即可求解．
【解答】
解：(1)令x=0，得y=−3，
故C点坐标为(0, −3)，
又∵ y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴ 抛物线的顶点M的坐标为(1, −4).
(2)过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，连接BN，CN，如图1所示：
令y=x2−2x−3=0，
解得：x=3或x=−1，
∴ B(3, 0)，A(−1, 0)，
设直线BC的解析式为：y=ax+b，
将C(0, −3)，B(3, 0)代入直线BC的解析式得：
−3=b，0=3a+b，
解得：a=1，b=−3，
∴ 直线BC的解析式为：y=x−3，
设N点坐标为(n, n2−2n−3)，故Q点坐标为(n, n−3)，其中0则S△BCN=S△NQC+S△NQB
=12⋅NQ⋅xB−xC，
且QN=(n−3)−(n2−2n−3)=−n2+3n，xB−xC=3，
故S△BCN=12⋅−n2+3n⋅3
=−32n2+92n
=−32n−322+278，其中0当n=32时，S△BCN有最大值为278，
此时点N的坐标为（32,−154）.
(3)设D点坐标为(1, t)，G点坐标为(m, m2−2m−3)，且B(3, 0)，C(0, −3)
分情况讨论：
①当DG为对角线时，则另一对角线是BC，由中点坐标公式可知：
线段DG的中点坐标为xD+xG2,yD+yG2，即1+m2,t+m2−2m−32，
线段BC的中点坐标为xB+xC2,yB+yC2，即3+02,0−32，
此时DG的中点与BC的中点为同一个点，
∴ 1+m2=32，t+m2−2m−32=−32，解得m=2，t=0，
经检验，此时四边形DCGB为平行四边形，此时G坐标为(2, −3)；
②当DB为对角线时，则另一对角线是GC，由中点坐标公式可知：
线段DB的中点坐标为xD+xB2,yD+yB2，即1+32,t+02，
线段GC的中点坐标为xG+xC2,yG+yC2，即m+02,m2−2m−3−32，
此时DB的中点与GC的中点为同一个点，
∴ 1+32=m+02，t+02=m2−2m−3−32，解得m=4，t=2，
经检验，此时四边形DCBG为平行四边形，此时G坐标为(4, 5)；
③当DC为对角线时，则另一对角线是GB，由中点坐标公式可知：
线段DC的中点坐标为xD+xC2,yD+yC2，即1+02,t−32，
线段GB的中点坐标为xG+xB2,yG+yB2，即m+32,m2−2m−3+02，
此时DC的中点与GB的中点为同一个点，
∴ 1+02=m+32，t−32=m2−2m−3+02，解得m=−2，t=8，
经检验，此时四边形DGCB为平行四边形，此时G坐标为(−2, 5).
综上所述，G点坐标存在，为(2, −3)或(4, 5)或(−2, 5).
(4)连接AC，OP，如图2所示：
设MC的解析式为：y=kx+m，
将C(0, −3)，M(1, −4)代入MC的解析式得：−3=m，−4=k+m，
解得：k=−1，m=−3，
∴ MC的解析式为：y=−x−3，令y=0，则x=−3，
∴ E点坐标为(−3, 0)，
∴ OE=OB=3，且OC⊥BE，
∴ CE=CB，
∴ ∠CBE=∠E，
设P(x, −x−3)，
又∵ P点在线段EM上，
∴ −3则EP=x+32+−x−32=2x+3，BC=32+32=32，
由题意知：△PEO相似于△ABC，
分情况讨论：
①△PEO∽△CBA，
∴ EOBA=EPBC，
∴ 34=2x+332，
解得x=−34，满足−3②△PEO∽△ABC，
∴ EOBC=EPBA，
∴ 332=2x+34，
解得x=−1，满足−3综上所述，P点的坐标为−34,−94或(−1, −2)．可供使用人数（人/条）
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