人教版七年级下册8.2 消元---解二元一次方程组一课一练

这是一份人教版七年级下册8.2 消元---解二元一次方程组一课一练，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
8.2 加减消元——解二元一次方程组（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．已知方程组和有相同的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．下列四对数中，是方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
3．已知关于，的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的一个解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变；④若，则以上四种说法中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知，则用含的代数式表示为（　　）
A． B． C． D．
5．已知，是方程组的解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．关于的二元一次方程组的解满足，则k的值是（ ）
A．2 B． C． D．3
7．若方程组的解是，那么的解为（ ）
A． B． C． D．
8．方程组的解的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．在关于，的二元一次方程组的下列说法中，错误的是（）
A．当时，方程的两根互为相反数 B．当且仅当时解得为的倍
C．，满足关系式 D．不存在自然数使得，均为正整数
10．按如图的运算程序，能使输出结果为3的x、y的值是(　　)

A． B． C． D．


二、填空题
11．二元一次方程组的解为 _____．
12．已知x、y满足方程组，则的值为__________．
13．已知关于x的方程＝1+中，a、b、k为常数，若无论k为何值，方程的解总是x＝1，则a+b的值为 ___．
14．用表示不大于的最大整数，例如：，，；用表示大于的最小整数，例如：，，．已知，满足方程组，则的取值范围是________．
15．若满足方程，则xy的值为_________．
16．若方程组 的解是 ，则方程组 的解为__________________
17．关于、的方程组的解也是方程的解，则的值为______．
18．方程组的解有______组．
19．若关于、的方程组（其中、为常数）的解为，则方程组的解为______．
20．数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于的方程组的正确解与乙求关于的方程组的正确的解相同。则的值为_____.

三、解答题
21．解方程组：
（1） （2）
（3） （4）
（5）




22． 已知：，不解方程组求值：①x＋y；②2x＋y．


23． 已知方程组 与 有相同的解，则的值？



24．阅读下列材料：
小明同学遇到下列问题：解方程组小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．原方程组化为，解的，把代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，得解得所以，原方程组的解为．
请你参考小明同学的做法解方程组：
（1） ； （2）．






25．在解方程组时，由于小明看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小华看错了方程②中的b，得到方程组的解为x＝2，y＝1．
（1）求a、b的值；
（2）求方程组的正确解．









26．对于一个两位正整数t＝（1≤x≤9，0≤y≤9且x、y为正整数），我们把十位上的数与个位上的数的平方和叫做t的“平方和数”，把十位上的数与个位上的数的平方差叫做t的“平方差数”，例如：对数字62来说，62＋22＝40，62－22＝32，所以40和32就分别是62的“平方和数”与“平方差数”，
（1）75的“平方和数”是 ，23的“平方差数”是 ；
（2）若一个数的“平方和数”为10，它的“平方差数”为8，求这个数．
（3）将数t十位上的数与个位上的数交换得到数t'，若t与t的“平方和数”之和等于t'与t'的“平方差数”之和，求t．






27．题目：满足方程组的x与y的值的和是2，求k的值．
按照常规方法，顺着题目思路解关于x，y的二元一次方程组，分别求出xy的值（含有字母k），再由x＋y＝2，构造关于k的方程求解，从而得出k值．
（1）某数学兴趣小组对本题的解法又进行了探究利用整体思想，对于方程组中每个方程变形得到“x＋y”这个整体，或者对方程组的两个方程进行加减变形得到“x＋y”整体值，从而求出k值请你运用这种整体思想的方法，完成题目的解答过程．
（2）小勇同学的解答是：观察方程①，令3x＝k，5y＝1
解得y＝，3x＋y＝2，∴x＝
∴k＝3×＝
把x＝，y＝代入方程②得k＝﹣
所以k的值为或﹣．
请诊断分析并评价“小勇同学的解答”．
28．解关于x，y的方程组 时，甲正确地解出 ，乙因为把c抄错了，误解为 ，求2a+b-c的平方根．








参考答案
1．C
【分析】联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，代入原式计算即可求出值．
解：根据题意，则
，
由①×2+②得：11x=11，
解得：x=1，
把x=1代入①得：5+y=3，
解得：y=2；
把x=1，y=2代入，则，
解得：，
∴．
故选：C．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
2．D
【分析】利用加减消元法解方程组即可得答案．
解：
①-②得：，
去分母得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解是，
故选：D．
【点拨】本题考查解二元一次方程组，二元一次方程组的常用方法有：加减消元法和代入消元法，熟练掌握并灵活运用适当的解法是解题关键．
3．D
【分析】利用二元一次方程的解及方程组的解定义判断即可．
解：①当时，方程组的解为：，
也是方程的一个解，符合题意；
②关于，的方程组的解为：，
当时，，符合题意；
③不论取什么实数，的值始终不变，符合题意；
④当时，方程组的解为：，
则，符合题意．
所以以上四种说法中正确的有4个．
故选：D．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
4．A
【分析】消去t，确定出x与y的关系式即可．
解：，
①×2+②得：2x+y=9，即y=-2x+9，
故选：A．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
5．B
【分析】根据加减消元法直接解方程组再代入计算即可．
解：，
用①+②得：3x=15，
解得x=5
把x=5代入①得：y=2，
即，
∴x-y=3；
故答案为：B．
【点拨】本题考查的是解二元一次方程组-加减消元法，掌握加减消元的方法是关键．
6．B
【分析】解方程组，用含的式子表示，然后将方程组的解代入即可．
解：，
①－②得：，
∵，
∴，
解得：，
故选：B．
【点拨】本题考查了二元一次方程组解，和二元一次方程组的解的应用，运用整体法得出，可以是本题变得简便．
7．B
【分析】将转换为，即可得出，，求解即可．
解：∵，
∴，
∴，
∵的解是，
∴，，
∴，
∴的解为，
故选：B．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
8．A
【分析】分类讨论x与y的正负，利用绝对值的代数意义化简，求出方程组的解，即可做出判断．
解：根据x、y的正负分4种情况讨论：
①当x＞0，y＞0时，方程组变形得：，无解；
②当x＞0，y＜0时，方程组变形得：，
解得x＝3，y＝2＞0，
则方程组无解；
③当x＜0，y＞0时，方程组变形得：，
此时方程组的解为；
④当x＜0，y＜0时，方程组变形得：，无解，
综上所述，方程组的解个数是1．
故选：A．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，利用了分类讨论的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．D
【分析】A．当a＝2时，方程组变形得到结果，即可判断；
B．将x=2y代入方程，解出a即可判断；
C．用含a是代数式表示x和y，再将x、y代入x−5y进行计算即可判断；
D．用含a是代数式表示x和y，当a＝16时，x＝11，y＝1，即可判断．
解：A、当a＝2时，方程组为
，
①＋②×2得：7x＝7，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝−1，
则x＋y＝1−1＝0，
即方程的两根互为相反数，
∴A选项不符合题意；
B． 当x=2y时，原方程组可变为：



解得：
∴当且仅当时解得为的倍；
∴B选项不符合题意．
C．，
①＋②×2得：7x＝5a−3，
解得：x＝，y＝，
∵x−5y＝，正确，
∴C选项不符合题意；
D、由C可知：x＝，y＝，
要使x为自然数，可得5a−3＝7，14，21，…；同理a−9＝7，14，21，…，
当a＝16时，x＝11，y＝1，
所以存在自然数a，使得x，y均为正整数，
∴D选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解、二元一次方程的解、解二元一次方程组，解决本题的关键是掌握二元一次方程的相关知识．
10．C
【分析】根据题意列出关于x、y的方程，再把各选项代入进行验证即可．
解：由题意得，2x-y=3，
A、当x=2，y=4时，左边=4-4=0≠右边，故本选项错误；
B、当x=6，y=12时，左边=12-12=0≠右边，故本选项错误；
C、当x=-5，y=-13时，左边=-10+13=3=右边，故本选项正确；
D、当x=-3，y=-2时，左边=-6-2=-8≠右边，故本选项错误．
故选：C．
【点拨】本题考查的是解二元一次方程，熟知解二元一次方程的一般步骤是解答此题的关键．
11．
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可得到答案．
解：，
用①+②得：，解得，
把代入①中得：，解得，
∴方程组的解为．
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握加减消元法．
12．1
【分析】利用整体思想直接用方程①-②即可得结果．
解：，
①-②得，4x+4y=4，
x+y=1，
故答案为：1．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解决本题的关键是掌握整体思想．
13．
【分析】将代入方程，然后令的系数为0，得到关于的二元一次方程组，求解即可．
解：将代入方程＝1+得

由题意可得：，解得
则
故答案为：
【点拨】此题考查了一元一次方程解的含义以及二元一次方程组的求解，解题的关键是理解题意，掌握二元一次方程组的求解．
14．-1≤x＜0
【分析】先解二元一次方程组求出，然后根据表示不大于的最大整数进行求解即可.
解：
把① -②得：，解得，
把代入②中解得
∵表示不大于的最大整数，
∴，
故答案为：.
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组和新定义的运算，解题的关键在于能够准确读懂题意.
15．4
【分析】利用完全平方公式与绝对值的非负性，建立二元一次方程组，求解出，代入即可．
解：，
根据完全平方公式与绝对值的非负性得，
，
①②得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
将代入，
故答案是：4．
【点拨】本题考查了完全平方公式与绝对值的非负性，解二元一次方程组，解题的关键是根据完全平方公式与绝对值的非负性建立等式．
16．x=5.3，y=0.3
【分析】通过观察两个方程组之间的关系，可得到，即可求解．
解：方程组 的解是 ，
中，，
解得，
方程组的解为，
故答案为：x=5.3，y=0.3．
【点拨】本题考查二元一次方程组的解，要比较两个方程组的结构相似处，得出是解题的关键．
17．3
【分析】将m看做已知数，求出方程组的解得到x与y的值，将求出x与y的值代入方程中，得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．
解：解方程组，得，
把代入得：，
解得：，
故答案为：3．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
18．4
【分析】先假设x＞y，根据x，y的符号分三种情况，分别求解；再假设y＞x，分三种情况，分别求解即可．
解：根据x，y的情况分类讨论．
若x＞y＞0，则：，
解得：；
若x＞0＞y，则：，
解得：，
∵x＞0，故舍去；
若0＞x＞y，则：
，
解得：；
若y＞x＞0，则：
，
解得：；
若y＞0＞x，则：
，
解得：，
∵x＜0，故舍去；
若0＞y＞x，则：
，
解得：．
综上，该方程组的解有4组．
【点拨】此题主要考查学生的分类讨论思想，学会分类讨论很关键，要根据x，y的情况分六种讨论，要不重不漏的全部分析出来．
19．
【分析】由原方程组的解及两方程组的特点知，x+y、x-y分别相当于原方程组中的x、y，据此列出方程组，解之可得．
解：由题意知，，
①+②，得：2x=4，x=2，
①-②，得：2y=2，y=1，
所以方程组的解为，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是得出两方程组的特点并据此得出关于x、y的方程组．
20．2
【解析】
【分析】重新组合方程组，首先得到关于x，y的方程组，求得x，y的值后，得到关于a、b的方程组，解这个方程组得到a、b的值，最后求出a20018+（-b）20018的值．
解：由题意可得，这两个方程组的解相同，则
，
解得：，
把代入得：；
∴原式=120018+(−×10)20018=1+1=2．
故答案为：2
【点拨】本题要求同学们熟悉二元一次方程组的解法，解题时要根据方程组的特点进行有针对性的计算．
21．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
【分析】（1）根据将①整体代入②即可求出x，再将x=2代入①即可求y；
（2）先去分母，把方程组整理为一般形式，再利用①+②消去常数项得到x与y的关系，然后利用代入法求x或y；
（3）先把原方程组整理为一般形式，再利用代入消元法解方程组即可；
（4）先把原方程组整理为整数系数方程组，再利用加减消元法求解即可；
（5）先把方程组去分母整理为一般形式，再利用代入法解方程组即可．
解：（1）
将①代入②得：，解得：，
将代入①得：，解得：，
∴原方程组解为；
（2），
对方程组去分母，整理得：

由①+②得，即，
把代入①得：，
解得，
∴原方程组解为；
（3）
对方程组去分母，整理得：
，
将①式代入②得：
解得，
代入①得：，
∴原方程组解为；
（4）
把方程组化为整数系数方程得：
，
由①×2-②得：，
解得：，
把代入①得，
解得：
∴原方程组解为；
（5）
即：
对方程组去分母，整理得：

由②得：③，
把代入①得：，
解得：，
代入③得，
∴原方程组解为；
【点拨】本题考查了解二元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把解方程组的问题转化为解一元一次方程的问题，如果方程组不是一般形式就利用等式性质整理变形为一般形式．
22．①；②
【分析】由①②得：即可求出；
由①②即可求解．
解：，
由①②得：，
，
故；

由①②得：
，

综上所述：．
【点拨】本题考差了二元一次方程组的减法，求代数式的值，解题的关键是掌握加减消元法，利用整体的思想来解答．
23．256.
【解析】
【分析】由题意，先解由5x+y=3与x－2y=5组成的方程组，再把解得的方程组的解代入另外的两个方程，即可求出m、n的值，最后把m、n的值代入中计算即可.
解：解方程组，得，
把代入方程mx+5y=4，得m－10=4，解得m=14，
把代入方程5x+ny=1，得5－2n=1，解得n=2，
所以.
【点拨】此题主要考查了二元一次方程组的解和二元一次方程组的解法,解题时正确理解题意：两个方程组有相同的解是解题的关键.
24．（1）；（2）
【分析】认真理解题目中给定的整体代换思路，按照所给的方法求出方程组的解即可．
解：（1）令，，
原方程组化为，
解得：，
，
解得：．
原方程组的解为．

（2）令，，
原方程组可化为：，
解得：，
，
经检验，是原方程的解．
原方程组的解为．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，整体代换是解题的关键．
25．（1），；（2） ，
【分析】（1）根据方程组的解的定义，应满足方程②，x＝2，y＝1应满足方程①，将它们分别代入方程②①，就可得到关于a，b的二元一次方程组，解得a，b的值；
（2）将a，b代入原方程组，求解即可．
解：（1）将代入②得，解得：
将x＝2，y＝1代入①得，解得： ，
∴，；
（2）方程组为：，
①+②得： ，
，
解得： ，
将代入①得： ，
，
解得： ，
∴方程组的解为 ．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解（1）的关键，能求出a、b的值是解（2）的关键．
26．（1）74，-5；（2）这个数为31；（3）
【分析】（1）根据“平方和数”和“平方差数”的定义求解即可；
（2）设这个两位正整数为，则有，由此求解即可；
（3）由，则，的“平方和数”，的“平方差数”，再由t与t的“平方和数”之和等于与的“平方差数”之和，得到，由此求解即可．
解：（1）∵，，
∴75的“平方和数”是74，23的“平方差数”是-9，
故答案为：74，-9；
（2）设这个两位正整数为，
由题意得：，
∴，
∵，，
∴，
∴这个数为31；
（3）∵，
∴，
∴的“平方和数”，的“平方差数”，
∵t与t的“平方和数”之和等于与的“平方差数”之和，
∴，
∴，
∴，
∵，都是正整数，
∴必须是3的倍数，即必须是3的倍数，
∴当时，，此时；
当时，不符合题意；
当时，不符合题意；
∴综上所述，．
【点拨】本题主要考查了新定义下的运算，算术平方根，解二元一次方程组，解题的关键在于能够正确读懂题意．
27．（1）；（2）“小勇同学的解答”错误，诊断分析和评价见解析
【分析】（1）由两种方法分别得出2=5-5k，求解即可；
（2）从二元一次方程的解和二元一次方程组的解的概念进行诊断分析，再从创新的角度进行评价即可．
解：（1）方法一：②×2得：4x+6y=6-4k③，
由③-①得：x+y=5-5k，
∵x+y=2，
∴2=5-5k，
解得：k=，
方法二：由①-②得：x+2y=3k-2③，
由②-③得：x+y=5-5k，
∵x+y=2，
∴2=5-5k，
解得：k=；
（2）“小勇同学的解答”错误，理由如下：
∵令3x=k，5y=1，求出的x、y的值只是方程①的一个解，而方程①有无数个解，根据方程组的解的概念，仅有方程①或方程②的某一个解中的x、y求出的k值不一定适合方程组中的另一个方程；只有当方程①、②取公共解时，k和x、y之间对应的数量关系才能成立，这时，求得的k=才是正确答案；
另一方面，小勇的解答虽然错误，但他的思维给我们有创新的感觉，也让我们巩固加深了对方程组解的概念的连接，同时启发我们平时在学习中，要善于多角度去探索问题，寻求新颖的解题方法．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的解、一元一次方程的解法以及整体思想的应用等知识；熟练掌握二元一次方程组的解法，由整体思想得出2=5-5k是解题的关键．
28．2a+b-c的平方根是±2．
【分析】把代入方程求出c的值，把，分别代入方程求出a和b的值，然后可求出求2a+b-c的平方根．
解：把代入方程，得：
，
解得：．
把，分别代入方程，得：
，
解得，
∴，
∴2a+b-c=4，
∴2a+b-c的平方根是±2．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．