数学九年级下册第二十六章 反比例函数26.1 反比例函数26.1.2 反比例函数的图象和性质学案

这是一份数学九年级下册第二十六章 反比例函数26.1 反比例函数26.1.2 反比例函数的图象和性质学案，共26页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
26.2 反比例函数的图象和性质（2）（知识讲解）
【学习目标】
1. 能根据反比例函数图象求出其面积，或据面积求出解析式；．
2. 掌握并运用K值的几何意义解决问题；．
3. 充分利用数形结合思想解决问题。
【要点梳理】
反比例函数()中的比例系数的几何意义

过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.
【典型例题】
类型一、已知比例系数求特殊四边形面积
1． 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，在函数的图象上（点的横坐标大于点的横坐标），点的坐示为，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，．

（1）求的值．
（2）若为中点，求四边形的面积．
【答案】（1）8；（2）10．
【分析】
（1）将点的坐标为代入，可得结果；
（2）利用反比例函数的解析式可得点的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．
解：（1）将点的坐标为代入，
可得，
的值为8；
（2）的值为8，
函数的解析式为，
为中点，，
，
点的横坐标为4，将代入，
可得，
点的坐标为，
．
【点拨】本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义，运用数形结合思想是解答此题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，一次函数y＝mx＋5的图象与反比例函数y＝ (k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B(4，1)两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求△OAM的面积S；
(3)在y轴上求一点P，使PA＋PB最小．

【答案】（1）y=；y＝－x＋5（2）2（3）（0，）
【详解】
分析：（1）根据待定系数法分别求出反比例函数与一次函数解析式即可；
（2）根据反比例函数的性质，xy=k＜直接求出面积即可；
（3）作点A关于y轴的对称点N，则N（-1，4），连接BN交y轴于点P，点P即为所求．
解：（1）将B（4，1）代入y＝得：1＝，
∴k=4，
∴y＝，
将B（4，1）代入y=mx+5，
得：1=4m+5，
∴m=-1，
∴y=-x+5，
（2）在y＝中，令x=1，
解得y=4，
∴A（1，4），
∴S=×1×4=2，（6分）
（3）作点A关于y轴的对称点N，则N（-1，4），
连接BN交y轴于点P，点P即为所求．

设直线BN的关系式为y=kx+b，
由，得，
∴y＝−x+，
∴P（0，）
点拨：此题主要考查了待定系数法求一次函数与反比例函数解析式以及作对称点问题，根据已知得出对称点是解决问题的关键．
【变式2】.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数y＝（x＞0）的图象上（点B的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐标为(2，4)，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA，AB．
（1）求k的值．
（2）若点D为OC中点，求四边形OABC的面积．

【答案】（1）8；（2）10
【分析】
（1）将点A的坐标为（2，4）代入y=kx（x＞0），可得结果；
（2）利用反比例函数的解析式可得点B的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．
解：（1）将点A的坐标为（2，4）代入y＝（x＞0），
可得k＝xy＝2×4＝8，
∴k的值为8；
（2）∵k的值为8，
∴函数y＝的解析式为y＝．
∵D为OC中点，OD＝2，
∴OC＝4．
∴点B的横坐标为4．将x＝4代入y＝．
可得y＝2．
∴点B的坐标为（4，2）．
∴S四边形OABC＝S△AOD+S四边形ABCD＝＝10．

【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的特征和四边形的面积，运用数形结合思想是解答此题的关键．
类型二、已知面积求比例系数或解析式
2． 如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下列问题：

图象的另一支位于哪个象限？常数的取值范围是什么？
在图象上取一点，分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，四边形的面积为，求的值．
【答案】图象的另一分支在第四象限，； ．
【分析】
（1）根据函数图象的一个分支位于第二象限确定另一个分支的位置即可；
（2）根据反比例函数比例系数k的几何意义即可解答；
解：（1）图象的另一分支在第四象限．
∵反比例函数图象在第二、四象限，∴n+3＜0，n＜﹣3；
（2）设P（x，y），依题意：S=|x|•|y|=3．
∵图象在二、四象限，∴xy=﹣3，∴n+3=﹣3，∴n=﹣6．
【点拨】本题考查了反比例函数的图象、反比例函数的性质及反比例函数的比例系数k的几何意义，属于反比例函数的基础知识，应重点掌握．
举一反三：
【变式1】如图，的直角边OB在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过斜边OA的中点D,与直角边AB相交于点C.
①若点，求点C的坐标：
②若，求k的值.

【答案】①（4，）；②k=12
【分析】
①根据点D是OA的中点即可求出D点坐标，再将D的坐标代入解析式求出解析式，从而得到C的坐标；
②连接OC, 设A(a,b),先用代数式表示出三角形OAB,OBC,OCD的面积，再根据条件列出方程求k的值即可。
解：①∵D是OA的中点，点A的坐标为（4，6），
∴D（，），即（2，3）
∴k=2×3=6
∴解析式为
∵A的坐标为（4，6），AB⊥x轴
∴把x=4代入得y=
∴C的坐标为（4，）
②连接OC,

设A(a,b),则D(,)
可得k=，ab=4k
∴解析式为
∴B(a,0),C(a,)
∴


∴
解得：k=12
【点拨】本题考查了一次函数的性质，要正确理解参数k的几何意义，能用代数式表达三角形OCD的面积是解题的关键。
【变式2】.如图，在平面直角坐标系中，点为正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图像交于两点，.

求的值；
当时，求直线的解析式；
在的条件下，若轴上有一点，使得为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标.
【答案】（1）k=﹣20；（2）y=﹣x；（3）点N的坐标为（，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）．
【分析】
（1）由结合反比例函数k的几何意义可得+4=14，进一步即可求出结果；
（2）由题意可得MO=MQ，于是可设点Q（a，﹣a），再利用待定系数法解答即可；
（3）先求出点Q的坐标和OQ的长，然后分三种情况：①若OQ=ON，可直接写出点N的坐标；②若QO=QN，根据等腰三角形的性质解答；③若NO=NQ，根据两点间的距离解答．
解：（1）∵，S△POM=，S△QOM=，
∴+4=14，解得，
∵k＜0，∴k=﹣20；
（2）∵，轴，
∴，
∴MO=MQ，
设点Q（a，﹣a），直线OQ的解析式为y=mx，
把点Q的坐标代入得：﹣a=ma，解得：m=﹣1，
∴直线OQ的解析式为y=﹣x；
（3）∵点Q（a，﹣a）在上，
∴，解得（负值舍去），
∴点Q的坐标为，则，
若为等腰三角形，可分三种情况：
①若OQ=ON=，则点N的坐标是（，0）或（﹣，0）；
②若QO=QN，则NO=2OM=，∴点N的坐标是（，0）；
③若NO=NQ，设点N坐标为（n，0），则，解得，∴点N的坐标是（，0）；
综上，满足条件的点N的坐标为（，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）．
【点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质、勾股定理以及两点间的距离等知识，具有一定的综合性，熟练掌握相关知识是解题的关键．
类型三、反比例函数解析式
3． 已知是的反比例函数，并且当时，．
⑴求关于的函数解析式；
⑵当时，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）直接利用x=4代入求出答案．
【详解】
解：（1）y是x的反例函数，
所以，设，
当x=2时，y=6．
所以，k=xy=12，
所以，；
（2）当x=4时，=3．
【点拨】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确假设出解析式是解题关键．
举一反三：
【变式1】如图，反比例函数y1＝与一次函数y2＝mx+n相交于A（﹣1，2），B（4，a）两点，AE⊥y轴于点E，则：
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）若y1≤y2则直接写出x的取值范围；
（3）若M为反比例函数上第四象限内的一个动点，若满足S△ABM＝S△AOB，则求点M的坐标．

【答案】（1） ，；（2）x≤﹣1或0＜x≤4；（3）点M的坐标（2，﹣1）或（3+，）．
【分析】
（1）先将点A代入反比例函数解析式中即可求出反比例函数的解析式，然后根据反比例函数的解析式求出点B的坐标，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）根据图象及两个函数的交点即可得出x的取值范围；
（3）先求出一次函数与y轴的交点坐标，然后利用S△ABM＝S△AOB和平移的相关知识分两种情况：向上平移或向下平移两种情况，分别求出平移后的直线与反比例函数在第四象限的交点即可．
解：（1）把A（﹣1，2）代入反比例函数得，k＝﹣2
∴反比例函数的关系式为，
把B（4，a）代入得， ，
∴B（4，）
把A（﹣1，2），B（4，）代入一次函数得，
解得
∴一次函数的关系式为：
（2）当时，反比例函数的图象在一次函数图象的下方，
结合图象可知，当，自变量x的取值范围为：x≤﹣1或0＜x≤4．
（3）当时，
∴与y轴的交点坐标为（0，），如图：

∵S△ABM＝S△AOB
∴根据平行线间的距离处处相等，可将一次函数进行平移个单位，则平移后的直线与反比例函数在第四象限的交点即为所求的M点．
将向下平移个单位过O点，关系式为：，
解得 ，
∵M在第四象限，
∴M（2，﹣1），
将向上平移个单位后直线的关系式为：，
解得 ，
∵M在第四象限，
∴，
综上所述，点M的坐标（2，﹣1）或，
【点拨】本题主要考查反比例函数，一次函数与几何综合，掌握待定系数法及平移的相关知识和二元一次方程组的解法是解题的关键．
【变式2】.如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求的值．

【答案】（1）；（2）b的值为1或9．
【分析】
（1）先将点A的坐标代入一次函数的表达式可求出m的值，从而可得点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数的表达式即可得；
（2）先根据一次函数的图象平移规律得出平移后的一次函数的解析式，再与反比例函数的解析式联立，化简可得一个关于x的一元二次方程，然后利用方程的根的判别式求解即可得．
解：（1）由题意，将点代入一次函数得：

将点代入得：，解得
则反比例函数的表达式为；
（2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位得到的一次函数的解析式为
联立
整理得：
一次函数的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点
关于x的一元二次方程只有一个实数根
此方程的根的判别式
解得
则b的值为1或9．
【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、一次函数图象的平移、一元二次方程的根的判别式等知识点，较难的是题（2），将直线与双曲线的交点问题转化为一元二次方程的根的问题是解题关键．
类型四、反比例函数和一次函数综合
4． 如图，直线与双曲线（k为常数，k≠0）交于A，D两点，与x轴、y轴分别交于B，C两点，点A的坐标为（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）结合图象直接写出当时，x的取值范围．

【答案】（1）反比例函数的解析式为；（2）当时，x＜-2或0＜x＜1
【分析】
（1）将点A的坐标为（m，2）代入一次函数解析式中,即可求出m，从而得出点A的坐标，然后将点A的坐标代入反比例函数解析式中即可得出结论；
（2）结合图象即可得出结论．
解：（1）点A的坐标为（m，2）代入一次函数解析式中,得
2=m＋1
解得：m=1
∴点A的坐标为（1，2）
将点A的坐标代入反比例函数解析式中，得

解得：k=2
∴反比例函数的解析式为；
（2）联立
解得：或（此时符合点A的坐标，故舍去）
∴点D的坐标为（-2，-1）
由函数图象可知：在点D的右侧和y轴与点A之间，一次函数图象在反比例函数图象下方
∴当时，x＜-2或0＜x＜1．
【点拨】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题型，掌握利用待定系数法求反比例函数解析式和利用图象和函数值的大小关系，求自变量的取值范围是解题关键．
举一反三：
【变式1】如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值＞反比例函数的值的x的取值范围．

【答案】（1）反比例函数为；一次函数解析式为y＝﹣x﹣1；（2）x＜﹣2或0＜x＜1．
【分析】
（1）由A的坐标易求反比例函数解析式，从而求B点坐标，进而求一次函数的解析式；
（2）观察图象，找出一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，x的取值即可．
解：（1）把A（﹣2，1）代入y＝，
得m＝﹣2，
即反比例函数为y＝﹣，
将B（1，n）代入y＝﹣，解得n＝﹣2，
即B（1，﹣2），
把A（﹣2，1），B（1，﹣2）代入y＝kx+b，得

解得k＝﹣1，b＝﹣1，
所以y＝﹣x﹣1；
（2）由图象可知：当一次函数的值＞反比例函数的值时，x＜﹣2或0＜x＜1．

【点拨】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题，掌握利用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式和根据图象求自变量的取值范围是解决此题的关键．
【变式2】.已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．

【答案】（1）反比例函数解析式为y=﹣，一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；（2）6；（3）x＜﹣4或0＜x＜2．
【详解】
试题分析：（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算；
（3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集．
解：（1）把A（﹣4，2）代入，得m=2×（﹣4）=﹣8，所以反比例函数解析式为，把B（n，﹣4）代入，得﹣4n=﹣8，解得n=2，把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得： ，解得：，所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；
（2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2，即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6；
（3）由图可得，不等式的解集为：x＜﹣4或0＜x＜2．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求一次函数解析式．
类型五、反比例函数的几何综合
5． 如图，A（4，3）是反比例函数y=在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=的图象于点P．
（1）求反比例函数y=的表达式；
（2）求点B的坐标；
（3）求△OAP的面积．

【答案】（1）反比例函数解析式为y=；（2）点B的坐标为（9，3）；（3）△OAP的面积=5．
【分析】
（1）将点A的坐标代入解析式求解可得；
（2）利用勾股定理求得AB=OA=5，由AB∥x轴即可得点B的坐标；
（3）先根据点B坐标得出OB所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点P的坐标，再利用割补法求解可得．
解：（1）将点A（4，3）代入y=，得：k=12，
则反比例函数解析式为y=；
（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，

则OC=4、AC=3，
∴OA==5，
∵AB∥x轴，且AB=OA=5，
∴点B的坐标为（9，3）；
（3）∵点B坐标为（9，3），
∴OB所在直线解析式为y=x，
由可得点P坐标为（6，2），（负值舍去），
过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，
则点E坐标为（6，3），
∴AE=2、PE=1、PD=2，
则△OAP的面积=×（2+6）×3﹣×6×2﹣×2×1=5．
【点拨】本题考查了反比例函数与几何图形综合，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确添加辅助线是解题的关键.
举一反三：
【变式1】如图，已知菱形ABCD的对称中心是坐标原点O，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y=（k≠0）的图象与AD边交于E（﹣4，），F（m，2）两点．
（1）求k，m的值；
（2）写出函数y=图象在菱形ABCD内x的取值范围．

【答案】（1）k=-2，m=-1（2）﹣4＜x＜﹣1或1＜x＜4
【分析】
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）根据函数图象，写出反比例函数的图象在菱形内部的自变量的取值范围即可；
解：（1）∵点E（﹣4，）在y=上，∴k=﹣2，∴反比例函数的解析式为y=﹣．
∵F（m，2）在y=上，∴m=﹣1．
（2）函数y=图象在菱形ABCD内x的取值范围为：﹣4＜x＜﹣1或1＜x＜4．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的特征、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式2】.如图，中，，顶点，都在反比例函数的图象上，直线轴，垂足为，连结，，并延长交于点，当时，点恰为的中点，若，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的度数．

【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据勾股定理求得AD=OD=2，A(2，2)，代入函数关系式求解即可；
（2）先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CE=BE，∠AEC=2∠ECB，又由OA=AE可得∠AOE=∠AEO=2∠ECB，由平行线的性质可知∠ECB=∠EOD，所以∠EOD=∠AOD，代入求解即可．
解：（1）∵AD⊥x轴，∠AOD=45°，OA=，
∴AD=OD=2，
∴A(2，2)，
∵点A在反比例函数图象上，
∴k=2×2=4，
即反比例函数的解析式为．
(2)∵△ABC为直角三角形，点E为AB的中点，
∴AE=CE=EB，∠AEC=2∠ECB，
∵AB=2OA ，
∴AO=AE，
∴∠AOE=∠AEO=2∠ECB，
∵∠ACB=90°，AD⊥x轴，
∴BC//x轴，
∴∠ECB=∠EOD，
∴∠AOE=2∠EOD，
∵∠AOD=45°，
∴∠EOD=∠AOD=．
【点拨】本题考查了反比例函数的解析式、含30度角的直角三角形的性质、平行线的性质和等腰三角形的性质等知识点，根据题意找出角之间的关系是解题的关键．