数学九年级下册26.1.1 反比例函数导学案及答案

26.1 反比例函数（知识讲解）

【学习目标】

1. 理解反比例函数的概念和意义；
2. 能根据问题的反比例关系确定函数解析式．

【要点梳理】

要点一、反比例函数的定义

如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数.

一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.

特别说明：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.

　　（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.

（3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.

要点二、确定反比例函数的关系式

    确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.

　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：

　 （1）设所求的反比例函数为： ()；

（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；

（3）解方程求出待定系数的值；

（4）把求得的值代回所设的函数关系式 中.

【典型例题】

类型一、用反比例函数描述数量关系

1． 写出下列问题中的函数关系式，并指出其比例系数.

（1）当圆锥的体积是150cm³时，它的高（cm）与底面积（cm²）的函数关系式；

（2）功是常数时，力与物体在力的方向上通过的距离的函数关系式；

（3）某实验中学八（2）班同学为校运动会制作小红花1000朵，完成的天数与该班同学每天制作的数量之间的函数关系式；

（4）某商场推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑售价1.2万元，首期付款4千元后，分次付清，每次付款相同. 每次的付款数（元）与付款次数的函数关系式.

【答案】（1），比例系数为450；（2），比例系数为；（3），比例系数为1000；（4），比例系数为8000.

【分析】

（1）根据圆锥的体积公式解答即可；

（2）根据W=Fs解答即可；

（3）根据完成的天数乘以该班同学每天制作的数量=1000解答即可；

（4）根据付款次数×每次付款数=12000-4000解答即可.

【详解】

（1）∵hS=450，∴，∴比例系数为450.

（2）∵Fs=W，∴，∴比例系数为.

（3）∵xy=1000，∴，∴比例系数为1000.

（4）∵xy=12000-4000，∴，∴比例系数为8000.

【点拨】本题考查了列反比例函数解析式，根据题意列出解析式是解答本题的关键.

举一反三：

【变式】写出下列函数关系式，判断其是否是反比例函数，如果是，指出比例系数．

(1)功是50J时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系；

(2)如果密铺地面使用面积为xcm2的长方形地砖，铺得的面积为acm2(a＞0)，那么所需的地砖块数y与x之间的函数关系．

【答案】(1) F＝，是反比例函数，比例系数为50；（2）y＝，是反比例函数，比例系数为a.

【分析】（1）根据做功的关系w=Fs，可直接列函数的解析式；（2）根据长方形的面积×块数=密铺地面的面积可列式，然后判断即可.

解：(1)∵Fs＝50，

∴F＝，是反比例函数，比例系数为50；

(2)∵xy＝a，

∴y＝，是反比例函数，比例系数为a.

2． .已知，与成反比例，与成正比例，并且当时，；当时，．求：y关于x的函数解析式．

【答案】

【分析】首先根据题意，分别表示出y 1与x，y 2与x的函数关系式，再进一步表示出y与x的函数关系式；然后根据已知条件，得到方程组，即可求解．

解：设=，=（x+2），

∵，

∴y=+（x+2），

由时，；时，，得

，解得，

∴y关于x的函数解析式是．

【点拨】此题考查正比例函数的定义，反比例函数的定义，求函数解析式，熟记正比例函数及反比例函数的定义，设出函数解析式进行计算是解题的关键．

举一反三：

【变式】 已知，与成正比例，与成反比例，当时，；时，．求：关于的函数解析式

【答案】

【分析】

设，，得到，将x与y的两组对应值代入得到二元一次方程组，求出解集即可得到答案.

 解：设，，

则，

根据题意得：，

解得：，

则函数解析式是：.

【点拨】此题考查正比例函数的定义，反比例函数的定义，求出二元一次方程组的解，正确理解正比例函数与反比例函数的定义并正确计算是解题的关键.

类型二、反比例函数的判定

3．下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？

（1）      （2）       （3）     （4）xy=1     (5)

【答案】（1）是，；（2）是，，；（3）否；（4）是，（可化为）；（5）是，.

 【分析】此题应根据反比例函数的定义，解析式符合y=（k≠0）的形式为反比例函数．

解：(1)是，k=4；(2)是，y＝−，(3)否，(4)是，k=1，(可化为y=)；⑤是，k=.

【点拨】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般式y=（k≠0）．

【变式1】.下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例函数k是多少？

(1)  y＝；             (2) y＝；                 (3) y＝－；

(4)  y＝－3；           (5) y＝；               (6) y＝.

【答案】(1)不是反比例函数，(2)不是反比例函数(3)是反比例函数，比例函数k是－(4)不是反比例函数(5)反比例函数，比例函数k是＋1.(6)是反比例函数，比例函数k是－

【分析】利用反比例函数的定义：形如y＝( (k≠0)的函数，叫做反比例函数)判定即可．

解：(1)y＝不是反比例函数，          (2)y＝不是反比例函数，

(3)y＝－是反比例函数，比例函数k是－，

(4)y＝－3不是反比例函数，

(5)y＝是反比例函数，比例函数k是＋1.

(6)y＝是反比例函数，比例函数k是－.

【点拨】本题主要考查了反比例函数的定义，解题的关键是熟记反比例函数的定义．

【变式2】 水池中蓄水90m2，现用放水管以x（m3/h）的速度排水，经过y（h）排空，求y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？

【分析】根据题意写出函数表达式再判断它们的关系则可．

解：由题意，得 y=，

y是x的反比例函数．

【点拨】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式y＝（k≠0），也可转化为y=kx-1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件．

类型三、根据反比例函数定义求参数

3．.函数y=（m﹣1）是反比例函数

（1）求m的值

（2）判断点（，2）是否在这个函数的图象上．

【答案】(1) m=0；（2）点（，2）不在这个函数图象上．

【解析】根据反比例函数的定义得到即可求出得值.

把代入反比例函数求得的值，即可判断.

试题解析：由题意得：

解得

（2）∵反比例函数

当

∴点不在这个函数图象上．

举一反三：

【变式1】 当k为何值时是反比例函数？

【答案】当k＝2时，y＝(k2＋k)xk2－k－3是反比例函数

【分析】根据反比例函数的定义即可解答．

解：由得，

∴k＝2，

当k＝2时，是反比例函数．

【点拨】本题考查的是反比例函数的定义、解一元二次方程，熟知形如(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数是解答本题的关键．

【变式2】反比例函数的图象经过（—2，5）和（， ），求

（1）的值；

（2）判断点B（，）是否在这个函数图象上，并说明理由

【答案】（1）n=；（2）点B（，）不在这个反比例函数图象上

【分析】

（1）根据反比例函数图象的点满足xy=k（k≠0）可得k=-2×5=，由此即可求得n值；（2）因，即可判定点B（，）不在这个反比例函数图象上.

解：（1）∵反比例函数的图象经过（—2，5）和（， ），

∴k=-2×5=，

∴k=-10，n=；

（2）点B（，）不在这个反比例函数图象上，理由如下：

∵，

∴点B（，）不在这个反比例函数图象上.

【点拨】本题考查了反比例函数图象上的点的特征，熟知反比例函数图象的点满足xy=k（k≠0）是解决问题的关键.

【变式3】.k为何值时，y＝(k2＋k)是反比例函数．

【答案】k为2时

【分析】根据自变量的次数等于-1，且系数不等于0列式求解即可.

 解　∵函数y＝(k2＋k)是反比例函数，

∴

解得k＝2.

故k为2时，y＝(k2＋k)是反比例函数．

【点拨】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数.

类型四、求反比例函数的值或自变量取值范围

4．已知y是x的反比例函数，且当x=-4时，y=,

（1）求这个反比例函数关系式和自变量x的取值范围；

（2）求当x=6时函数y的值.

【答案】（1） （2）

分析：

（1）由反比例函数的这定义求k值，确定x的取值范围；（2）把x=6代入（1）中求得的反比例函数的解析式.

解：（1）设反比例函数关系式为，

则k=-4×=-2，

所以个反比例函数关系式是，自变量x的取值范围是x≠0.

（2）当x=6时，==-.

举一反三：

【变式1】已知y是x的反比例函数，下表列出了x与y的一些对应值．

(1)写出这个反比例函数的表达式；

(2)根据表达式完成上表．

【答案】（1）；（2）见解析

【分析】

（1）设反比例函数的表达式为y=，找出函数图象上一个点的坐标，然后代入求解即可；

（2）将x或y的值代入函数解析式求得对应的y或x的值即可．

 解：（1）设反比例函数的表达式为y=，

把代入得，

（2）将y=代入得：；

将代入得：y=；

将代入得：y=9；

将代入得：y=18，

将代入得：x=1；

将x=2代入得：，

将x=3代入得：．

【点拨】本题主要考查的是反比例函数的定义、函数图象上点的坐标与函数解析式之间的关系，求得函数的解析式是解题的关键．

【变式2】已知y与x的函数解析式是y＝，

（1）求当x＝4时，函数y的值；

（2）求当y＝﹣2时，函数自变量x的值．

【答案】（1）－3；（2）x＝5

【分析】

（1）把x＝4代入解析式，即可求得y的值；
（2）y＝−2代入解析式，即可求得自变量x的值．

 解：（1）当x＝4时，函数y＝；

（2）当y＝﹣2时，则﹣2＝，

解得x＝5．

【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．