数学九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试课后测评

这是一份数学九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试课后测评，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教版数学九年级下册第28章 锐角三角形测试卷
(考试时间：90分钟，赋分：100分)
姓名：________　　班级：________　　分数：________
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)
题　号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答　案










1.若∠A为锐角,且sin A＝32,则∠A的度数为
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，那么sinB的值是
A． B． C． D．
3.如图,△ABC在网格(小正方形的边长均为1)中,则cos∠ABC的值是(　　)
A.34 B.43 C.35 D.45

第3题图 第5题图 第6题图 第7题图
4.若一个三角形的三个内角的度数之比为1∶1∶2,则这个三角形的最小内角的正弦值为
A.1 B.22 C.33 D.32
5.如图,在△ABC中,∠C＝90°,AC＝12,AB的垂直平分线EF交AC于点D,连接BD.若cos ∠BDC＝57,则BC的长是
A.10 B.8 C.43 D.26
6.如图,甲、乙两艘货船同时从海岛B分别沿北偏西20°方向,北偏东40°方向驶出.若两艘货船的速度均为20海里/小时,2小时后,两艘货船A,C之间的距离为
A.60海里 B.40海里 C.30海里 D.20海里
7.[娄底中考]如图,撬钉子的工具是一个杠杆,动力臂L1＝L·cos α,阻力臂L2＝l·cos β,如果动力F的用力方向始终保持竖直向下,当阻力不变时,则杠杆向下运动时的动力变化情况是
A.越来越小 B.不变 C.越来越大 D.无法确定
8.如图,A是以BC为直径的半圆O外一点,AB,AC分别交半圆O于点D,E,连接DE,若tan ∠A＝43,则S△ADE∶S四边形BCED的值是
A.3∶4 B.3∶5 C.9∶16 D.9∶25

第8题图 第9题图 第10题图
9.如图,在边长为1的正方形网格中,点A,B,C,D,E均在格点上,连接AB,BC,CD,AE,线段AE的延长线交BC于点F,则tan∠AFB的值为
A.12 B.33 C.49 D.14
10.小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图,已知她的目高AB为1.5米,她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°,再往前走3米站在C处,看路灯顶端O的仰角为65°,则路灯顶端O到地面的距离约为(参考数据:sin35°≈0.6,cos35°≈0.8,tan35°≈0.7,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,tan 65°≈2.1)
A.5.4米 B.4.7米 C.3.9米 D.3.2米
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)
11.如图,网格中的每一个正方形的边长都是1,△ABC的每一个顶点都在网格的交点处,则sin A＝  　. 

第11题图 第13题图 第15题图 第16题图
12.在平面直角坐标系中,P是反比例函数y＝6x的图象在第一象限上的一点,且点P到坐标原点O的距离为13,则OP与x轴正半轴的夹角的正切值等于  　. 
13.如图,小石同学在A,B两点分别测得某建筑物上条幅两端C,D两点的仰角均为60°,若点O,A,B在同一直线上,A,B两点间距离为3米,则条幅的高CD为　 　米.(结果保留根号) 
14.已知α为锐角,下列结论:①sin α+cos α＝1;②如果α＞45°,那么sin α＞cos α;③如果cos α＞12,那么α＜60°;④(sinα－1)2＝1－sin α.其中正确的结论有　 　.(填上所有正确结论的序号) 
15.[咸宁中考]如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从小岛A出发，由西向东航行24 n mile到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是　 　n mile.(结果保留一位小数，≈1.73)
16.[深圳中考]如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan ∠ACB＝，＝，则＝____．
三、解答题(第21题12分，其余每题10分，共52分)
17.计算:(1)sin60°－1tan60°－2tan45°－3cos 30°+2sin 45°.
(2)[成都中考]2－2＋－2sin60°＋|－|；
(3)tan 30°tan 60°＋cos230°－sin2 45°tan 45°.
(4)tan245°＋－3cos230°＋－.







18.如图所示,某集团的项目组计划在山脚下点A与山顶点B之间修建一条索道,现利用无人机测算A,B两点间的距离.当无人机飞至山顶点B的正上方点C处时,测得山脚下点A的俯角约为45°,点C与点A的高度差为400 m,BC＝100 m,求山脚下点A到山顶点B之间的距离AB.






19.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,α,β均为锐角,且tan α＝12,tan β＝13,求α+β的度数.



20.如图,城市A发生了小型地震,地震发生后,城市B的甲救援队与城市C的乙救援队同时接到讯息,并同时乘直升机赶往城市A.城市C在城市B的正东方向,城市A位于城市B的北偏东60°方向上,位于城市C的北偏东29°方向上,已知城市A,B之间的距离为100 km.若甲救援队的飞行速度为90 km/h,乙救援队的飞行速度为60 km/h.问哪支救援队先到达城市A?请说明理由.(参考数据:sin 29°≈0.48,cos 29°≈0.87,tan 29°≈0.55,sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60,3≈1.73)







21.将一副三角尺如图拼接:含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合.已知AB＝23,P是AC上的一个动点.
(1)当点P运动到∠ABC的平分线上时,连接DP,求DP的长.
(2)当点P在运动过程中出现PD＝BC时,求此时∠PDA的度数.
(3)当点P运动到什么位置时,以D,P,B,Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上?求出此时▱DPBQ的面积.


参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)
题　号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答　案
C
C
D
B
D
B
A
C
A
B
1.若∠A为锐角,且sin A＝32,则∠A的度数为
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，那么sinB的值是
A． B． C． D．
3.如图,△ABC在网格(小正方形的边长均为1)中,则cos∠ABC的值是(　　)
A.34 B.43 C.35 D.45
【解析】　如图,过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D,则 AD=3,BD=4,根据勾股定理,得AB=5,∴cos∠ABC=BDAB=45.


第3题图 第5题图 第6题图 第7题图
4.若一个三角形的三个内角的度数之比为1∶1∶2,则这个三角形的最小内角的正弦值为
A.1 B.22 C.33 D.32
5.如图,在△ABC中,∠C＝90°,AC＝12,AB的垂直平分线EF交AC于点D,连接BD.若cos ∠BDC＝57,则BC的长是
A.10 B.8 C.43 D.26
6.如图,甲、乙两艘货船同时从海岛B分别沿北偏西20°方向,北偏东40°方向驶出.若两艘货船的速度均为20海里/小时,2小时后,两艘货船A,C之间的距离为
A.60海里 B.40海里 C.30海里 D.20海里
7.[娄底中考]如图,撬钉子的工具是一个杠杆,动力臂L1＝L·cos α,阻力臂L2＝l·cos β,如果动力F的用力方向始终保持竖直向下,当阻力不变时,则杠杆向下运动时的动力变化情况是
A.越来越小 B.不变 C.越来越大 D.无法确定
8.如图,A是以BC为直径的半圆O外一点,AB,AC分别交半圆O于点D,E,连接DE,若tan ∠A＝43,则S△ADE∶S四边形BCED的值是
A.3∶4 B.3∶5 C.9∶16 D.9∶25

第8题图 第9题图 第10题图
9.如图,在边长为1的正方形网格中,点A,B,C,D,E均在格点上,连接AB,BC,CD,AE,线段AE的延长线交BC于点F,则tan∠AFB的值为
A.12 B.33 C.49 D.14
提示:取点A右边一个单位的网格顶点为点M,连接MC和BM.易证四边形AMCE为平行四边形,∴AF∥MC,∴∠AFB＝∠BCM.易证△BMC为直角三角形,∠BMC＝90°,∴tan ∠AFB＝tan ∠BCM＝BMCM＝42+1282+22＝12.
10.小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图,已知她的目高AB为1.5米,她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°,再往前走3米站在C处,看路灯顶端O的仰角为65°,则路灯顶端O到地面的距离约为(参考数据:sin35°≈0.6,cos35°≈0.8,tan35°≈0.7,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,tan 65°≈2.1)
A.5.4米 B.4.7米 C.3.9米 D.3.2米
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)
11.如图,网格中的每一个正方形的边长都是1,△ABC的每一个顶点都在网格的交点处,则sin A＝ 35　. 

第11题图 第13题图 第15题图 第16题图
12.在平面直角坐标系中,P是反比例函数y＝6x的图象在第一象限上的一点,且点P到坐标原点O的距离为13,则OP与x轴正半轴的夹角的正切值等于 32或23　. 
13.如图,小石同学在A,B两点分别测得某建筑物上条幅两端C,D两点的仰角均为60°,若点O,A,B在同一直线上,A,B两点间距离为3米,则条幅的高CD为　33　米.(结果保留根号) 
14.已知α为锐角,下列结论:①sin α+cos α＝1;②如果α＞45°,那么sin α＞cos α;③如果cos α＞12,那么α＜60°;④(sinα－1)2＝1－sin α.其中正确的结论有　②③④　.(填上所有正确结论的序号) 
15.[咸宁中考]如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从小岛A出发，由西向东航行24 n mile到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是　20.8　n mile.(结果保留一位小数，≈1.73)
16.[深圳中考]如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan ∠ACB＝，＝，则＝____．
【答案】
三、解答题(第21题12分，其余每题10分，共52分)
17.计算:sin60°－1tan60°－2tan45°－3cos 30°+2sin 45°.
解:原式＝32－13－2×1－3×32+2×22＝12－32+1＝0.
(2)[成都中考]2－2＋－2sin60°＋|－|；
解：原式＝＋2－2×＋＝＋2－＋＝；
(3)tan 30°tan 60°＋cos230°－sin2 45°tan 45°.
原式＝×＋－×1＝1＋－＝.
(4)tan245°＋－3cos230°＋－.
解：原式＝×12＋－3×＋－1＝＋4－3×＋2－1＝3.
18.如图所示,某集团的项目组计划在山脚下点A与山顶点B之间修建一条索道,现利用无人机测算A,B两点间的距离.当无人机飞至山顶点B的正上方点C处时,测得山脚下点A的俯角约为45°,点C与点A的高度差为400 m,BC＝100 m,求山脚下点A到山顶点B之间的距离AB.

解:过点C作A所在的地平面垂线,垂足为D.
由题意,得∠ACD＝45°,CD＝400 m,BC＝100 m,
∴BD＝300 m,AD＝CD＝400 m,
∴在Rt△ABD中,AB＝AD2+BD2＝500 m.
答:山脚下点A到山顶点B之间的距离AB为500 m.
19.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,α,β均为锐角,且tan α＝12,tan β＝13,求α+β的度数.

解:过点C作CH⊥AB于点H.
∵tan α＝DBAD＝12,∴可设BD＝3a,AD＝6a.
∵tan β＝CDAD＝13,∴CD＝2a,
在Rt△ADB中,AB＝AD2+BD2＝35a.
∵S△ABC＝12BC·AD＝12AB·CH,
∴CH＝30a235a＝25a.
在Rt△CBH中,BH＝BC2－CH2＝5a,
∴AH＝25a,∴AH＝CH.
∵∠CHA＝90°∴α+β＝∠CAH＝45°.
20.如图,城市A发生了小型地震,地震发生后,城市B的甲救援队与城市C的乙救援队同时接到讯息,并同时乘直升机赶往城市A.城市C在城市B的正东方向,城市A位于城市B的北偏东60°方向上,位于城市C的北偏东29°方向上,已知城市A,B之间的距离为100 km.若甲救援队的飞行速度为90 km/h,乙救援队的飞行速度为60 km/h.问哪支救援队先到达城市A?请说明理由.(参考数据:sin 29°≈0.48,cos 29°≈0.87,tan 29°≈0.55,sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60,3≈1.73)

解:乙救援队先到达城市A.
理由:解法1:过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.
易知∠ABC＝30°,AD⊥BC,AB＝100 km,∴AD＝50 km.
∵∠CAD＝29°,∴AC＝ADcos29°≈57 km .
∵甲救援队到达城市A所用的时间为10090＝109(h),乙救援队到达城市A所用的时间约为5760＝1920(h),
∴乙救援队先到达城市A.
解法2:过点C作CD⊥AB,垂足为D.
设CD＝x km.∵∠ABC＝30°,CD⊥AB,
∴∠BCD＝60°,BD＝CDtan∠ABC＝3x km.
∵∠A＝180°－30°－90°－29°＝31°,
∴在Rt△ACD中,AD＝CDtanA≈53x km.
∵BD+AD＝AB,∴3x+53x＝100,
解得x＝1003+53,∴AC＝CDsinA＝1003+53·1sin31°≈57(km).
∵甲救援队到达城市A所用的时间为10090＝109(h),乙救援队到达城市A所用的时间约为5760＝1920(h),
∴乙救援队先到达城市A.
21.将一副三角尺如图拼接:含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合.已知AB＝23,P是AC上的一个动点.
(1)当点P运动到∠ABC的平分线上时,连接DP,求DP的长.
(2)当点P在运动过程中出现PD＝BC时,求此时∠PDA的度数.
(3)当点P运动到什么位置时,以D,P,B,Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上?求出此时▱DPBQ的面积.

解:在Rt△ABC中,AB＝23,∠BAC＝30°,
∴BC＝3,AC＝3.
(1)如图1,作DF⊥AC.∵Rt△ACD中,AD＝CD,
∴DF＝AF＝CF＝32.
∵BP平分∠ABC,∴∠PBC＝30°,∴CP＝BC·tan 30°＝1,
∴PF＝12,∴DP＝PF2+DF2＝102.
(2)当点P位置如图2所示时,根据(1)中结论,DF＝32,∠ADF＝45°.
又∵PD＝BC＝3,∴cos ∠PDF＝DFPD＝32,∴∠PDF＝30°,
∴∠PDA＝∠ADF－∠PDF＝15°.
当点P位置如图3所示时,同理得∠PDF＝30°,
∴∠PDA＝∠ADF+∠PDF＝75°.
故∠PDA的度数为15°或75°.
(3)当点P运动到边AC的中点(如图4),即CP＝32时,以D,P,B,Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上.
∵四边形DPBQ为平行四边形,∴BC∥DP.
∵∠ACB＝90°,∴∠DPC＝90°,即DP⊥AC.
又∵在Rt△ABC中,AB＝23,BC＝3,
∴根据勾股定理得AC＝3.
∵△ACD为等腰直角三角形,∴DP＝CP＝12AC＝32,
∵BC∥DP,∴PC是平行四边形DPBQ的高,
∴S▱DPBQ＝DP·CP＝94.