中考数学综合练习题61

这是一份中考数学综合练习题61，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
中考数学综合练习题61
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．（3分）下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）据报道，2016年10月17日7时30分28秒，神舟十一号载人飞船在甘肃酒泉发射升空，与天宫二号在距离地面393000米的太空轨道进行交会对接，而这也是未来我国空间站运行的轨道高度．393000用科学记数法表示为（　　）
A．39.3×104 B．3.93×105 C．3.93×106 D．0.393×106
3．（3分）4的平方根是（　　）
A．16 B．2 C．±2 D．
4．（3分）某种零件模型可以看成如图所示的几何体（空心圆柱），该几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．x2+x2=x4 B．x8÷x2=x4 C．x2•x3=x6 D．（﹣x）2﹣x2=0
6．（3分）将一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2为（　　）

A．115° B．120° C．135° D．145°
7．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如图所示，观察图象可得（　　）

A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
8．（3分）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（　　）
A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．0
9．（3分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）

A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570
10．（3分）如图①，在边长为4的正方形ABCD中，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿AB→BC的路径运动，到点C停止．过点P作PQ∥BD，PQ与边AD（或边CD）交于点Q，PQ的长度y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示．当点P运动2.5秒时，PQ的长是（　　）

A． B． C． D．
　
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．
11．（3分）分解因式：x2﹣2x+1=　　．
12．（3分）估计与0.5的大小关系是：　　0.5．（填“＞”、“=”、“＜”）
13．（3分）如果m是最大的负整数，n是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，那么代数式m2015+2016n+c2017的值为　　．
14．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C=　　°．

15．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是　　．
16．（3分）如图，一张三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．现将纸片折叠：使点A与点B重合，那么折痕长等于　　cm．

17．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，以点A为圆心、AC的长为半径画弧，交AB边于点D，则弧CD的长等于　　．（结果保留π）

18．（3分）下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为　　，第2017个图形的周长为　　．

　
三、解答题（一）：本大题共5小题，共26分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（4分）计算：﹣3tan30°+（π﹣4）0﹣（）﹣1．
20．（4分）解不等式组，并写出该不等式组的最大整数解．
21．（6分）如图，已知△ABC，请用圆规和直尺作出△ABC的一条中位线EF（不写作法，保留作图痕迹）．

22．（6分）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

23．（6分）在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于12，则刘凯获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；
（2）分别求出李燕和刘凯获胜的概率．

　
四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
24．（7分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的成绩作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表：
频数频率分布表
成绩x（分）
频数（人）
频率
50≤x＜60
10
0.05
60≤x＜70
30
0.15
70≤x＜80
40
n
80≤x＜90
m
0.35
90≤x≤100
50
0.25
根据所给信息，解答下列问题：
（1）m=　　，n=　　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）这200名学生成绩的中位数会落在　　分数段；
（4）若成绩在90分以上（包括90分）为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的3000名学生中成绩是“优”等的约有多少人？

25．（7分）已知一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于第一象限内的P（，8），Q（4，m）两点，与x轴交于A点．
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）写出点P关于原点的对称点P'的坐标；
（3）求∠P'AO的正弦值．

26．（8分）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

27．（8分）如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．
（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；
（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．

28．（10分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．
（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；
（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；
（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．

　
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．（3分）（2017•平凉）下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】R5：中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A图形不是中心对称图形；
B图形是中心对称图形；
C图形不是中心对称图形；
D图形不是中心对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
　
2．（3分）（2017•平凉）据报道，2016年10月17日7时30分28秒，神舟十一号载人飞船在甘肃酒泉发射升空，与天宫二号在距离地面393000米的太空轨道进行交会对接，而这也是未来我国空间站运行的轨道高度．393000用科学记数法表示为（　　）
A．39.3×104 B．3.93×105 C．3.93×106 D．0.393×106
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于393000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．
【解答】解：393000=3.93×105．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
　
3．（3分）（2017•平凉）4的平方根是（　　）
A．16 B．2 C．±2 D．
【考点】21：平方根．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±2）2=4，
∴4的平方根是±2，
故选C．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
　
4．（3分）（2017•平凉）某种零件模型可以看成如图所示的几何体（空心圆柱），该几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：空心圆柱由上向下看，看到的是一个圆环，并且大小圆都是实心的．
故选D．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．解答此题时要有一定的生活经验．
　
5．（3分）（2017•平凉）下列计算正确的是（　　）
A．x2+x2=x4 B．x8÷x2=x4 C．x2•x3=x6 D．（﹣x）2﹣x2=0
【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式=2x2，故A不正确；
（B）原式=x6，故B不正确；
（C）原式=x5，故C不正确；
（D）原式=x2﹣x2=0，故D正确；
故选（D）
【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
　
6．（3分）（2017•平凉）将一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2为（　　）

A．115° B．120° C．135° D．145°
【考点】JA：平行线的性质；IL：余角和补角．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠3．
【解答】解：如图，由三角形的外角性质得，∠3=90°+∠1=90°+45°=135°，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2=∠3=135°．
故选C．

【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
　
7．（3分）（2017•平凉）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如图所示，观察图象可得（　　）

A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．
【解答】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过一、三象限，
∴k＞0，
又该直线与y轴交于正半轴，
∴b＞0．
综上所述，k＞0，b＞0．
故选A．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0，b＞0时图象在一、二、三象限．
　
8．（3分）（2017•平凉）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（　　）
A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．0
【考点】K6：三角形三边关系．
【分析】先根据三角形的三边关系判断出a﹣b﹣c与c﹣b+a的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．
【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三条边长，
∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，
∴原式=a+b﹣c+（c﹣a﹣b）
=0．
故选D．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
　
9．（3分）（2017•平凉）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）

A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570
【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程．
【解答】解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）=570，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．
　
10．（3分）（2017•平凉）如图①，在边长为4的正方形ABCD中，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿AB→BC的路径运动，到点C停止．过点P作PQ∥BD，PQ与边AD（或边CD）交于点Q，PQ的长度y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示．当点P运动2.5秒时，PQ的长是（　　）

A． B． C． D．
【考点】E7：动点问题的函数图象．
【分析】根据运动速度乘以时间，可得PQ的长，根据线段的和差，可得CP的长，根据勾股定理，可得答案．
【解答】解：点P运动2.5秒时P点运动了5cm，
CP=8﹣5=3cm，
由勾股定理，得
PQ==3cm，
故选：B．
【点评】本题考查了动点函数图象，利用勾股定理是解题关键．
　
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．
11．（3分）（2017•平凉）分解因式：x2﹣2x+1=　（x﹣1）2　．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：x2﹣2x+1=（x﹣1）2．
【点评】本题考查了公式法分解因式，运用完全平方公式进行因式分解，熟记公式是解题的关键．
　
12．（3分）（2017•平凉）估计与0.5的大小关系是：　＞　0.5．（填“＞”、“=”、“＜”）
【考点】2A：实数大小比较．
【分析】首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小．
【解答】解：∵﹣0.5=﹣=，
∵﹣2＞0，
∴＞0．
答：＞0.5．
【点评】此题主要考查了两个实数的大小，其中比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．
　
13．（3分）（2017•平凉）如果m是最大的负整数，n是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，那么代数式m2015+2016n+c2017的值为　0　．
【考点】33：代数式求值．
【分析】根据题意求出m、n、c的值，然后代入原式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：m=﹣1，n=0，c=1
∴原式=（﹣1）2015+2016×0+12017=0，
故答案为：0
【点评】本题考查代数式求值，解题的关键根据题意求出m、n、c的值，本题属于基础题型．
　
14．（3分）（2017•平凉）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C=　58　°．

【考点】M5：圆周角定理．
【分析】由题意可知△OAB是等腰三角形，利用等腰三角形的性质求出∠AOB，再利用圆周角定理确定∠C．
【解答】解：如图，连接OB，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠OAB=32°，
∴∠OAB=∠OAB=32°，
∴∠AOB=116°，
∴∠C=58°．
故答案为58．

【点评】本题是利用圆周角定理解题的典型题目，题目难度不大，正确添加辅助线是解题关键，在解决和圆有关的题目时往往要添加圆的半径．
　
15．（3分）（2017•平凉）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是　k≤5且k≠1　．
【考点】AA：根的判别式．
【分析】根据一元二次方程有实数根可得k﹣1≠0，且b2﹣4ac=16﹣4（k﹣1）≥0，解之即可．
【解答】解：∵一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，
∴k﹣1≠0，且b2﹣4ac=16﹣4（k﹣1）≥0，
解得：k≤5且k≠1，
故答案为：k≤5且k≠1．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式和定义，熟练掌握根的判别式与方程的根之间的关系是解题的关键．
　
16．（3分）（2017•平凉）如图，一张三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．现将纸片折叠：使点A与点B重合，那么折痕长等于　　cm．

【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据折叠得：GH是线段AB的垂直平分线，得出AG的长，再利用两角对应相等证△ACB∽△AGH，利用比例式可求GH的长，即折痕的长．
【解答】解：如图，折痕为GH，
由勾股定理得：AB==10cm，
由折叠得：AG=BG=AB=×10=5cm，GH⊥AB，
∴∠AGH=90°，
∵∠A=∠A，∠AGH=∠C=90°，
∴△ACB∽△AGH，
∴=，
∴=，
∴GH=cm．
故答案为：．

【点评】本题考查了折叠的性质和相似三角形的性质和判定，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，本题的关键是明确折痕是所折线段的垂直平分线，利用三角形相似来解决．
　
17．（3分）（2017•平凉）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，以点A为圆心、AC的长为半径画弧，交AB边于点D，则弧CD的长等于　　．（结果保留π）

【考点】MN：弧长的计算；KO：含30度角的直角三角形．
【分析】先根据ACB=90°，AC=1，AB=2，得到∠ABC=30°，进而得出∠A=60°，再根据AC=1，即可得到弧CD的长．
【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=1，AB=2，
∴∠ABC=30°，
∴∠A=60°，
又∵AC=1，
∴弧CD的长为=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了弧长公式的运用，解题时注意弧长公式为：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．
　
18．（3分）（2017•平凉）下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为　8　，第2017个图形的周长为　6053　．

【考点】38：规律型：图形的变化类．
【分析】根据已知图形得出每增加一个小梯形其周长就增加3，据此可得答案．
【解答】解：∵第1个图形的周长为2+3=5，
第2个图形的周长为2+3×2=8，
第3个图形的周长为2+3×3=11，
…
∴第2017个图形的周长为2+3×2017=6053，
故答案为：8，6053．
【点评】本题主要考查图形的变化类，根据已知图形得出每增加一个小梯形其周长就增加3是解题的关键．
　
三、解答题（一）：本大题共5小题，共26分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（4分）（2017•平凉）计算：﹣3tan30°+（π﹣4）0﹣（）﹣1．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；73：二次根式的性质与化简；T5：特殊角的三角函数值．
【专题】11 ：计算题．
【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则计算．
【解答】解：﹣3tan30°+（π﹣4）0
=
=．
【点评】解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式等考点的运算．
　
20．（4分）（2017•平凉）解不等式组，并写出该不等式组的最大整数解．
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解；CB：解一元一次不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解≤1得：x≤3，
解1﹣x＜2得：x＞﹣1，
则不等式组的解集是：﹣1＜x≤3．
∴该不等式组的最大整数解为x=3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
　
21．（6分）（2017•平凉）如图，已知△ABC，请用圆规和直尺作出△ABC的一条中位线EF（不写作法，保留作图痕迹）．

【考点】N3：作图—复杂作图；KX：三角形中位线定理．
【分析】作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E，作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F．线段EF即为所求．
【解答】解：如图，△ABC的一条中位线EF如图所示，
方法：作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E，作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F．线段EF即为所求．

【点评】本题考查复杂作图、三角形的中位线的定义、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握基本作图，属于中考常考题型．
　
22．（6分）（2017•平凉）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

【考点】T8：解直角三角形的应用．
【分析】过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE=x，根据AE=DE，列出方程即可解决问题．
【解答】解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE=x，
在Rt△DEB中，，
∵∠DBC=65°，
∴DE=xtan65°．
又∵∠DAC=45°，
∴AE=DE．
∴132+x=xtan65°，
∴解得x≈115.8，
∴DE≈248（米）．
∴观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．

【点评】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
　
23．（6分）（2017•平凉）在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于12，则刘凯获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；
（2）分别求出李燕和刘凯获胜的概率．

【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】（1）根据题意列出表格，得出游戏中两数和的所有可能的结果数；
（2）根据（1）得出两数和共有的情况数和其中和小于12的情况、和大于12的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意列表如下：
甲乙
6
7
8
9
3
9
10
11
12
4
10
11
12
13
5
11
12
13
14
可见，两数和共有12种等可能性；

（2）由（1）可知，两数和共有12种等可能的情况，其中和小于12的情况有6种，和大于12的情况有3种，
∴李燕获胜的概率为=；
刘凯获胜的概率为=．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
　
四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
24．（7分）（2017•平凉）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的成绩作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表：
频数频率分布表
成绩x（分）
频数（人）
频率
50≤x＜60
10
0.05
60≤x＜70
30
0.15
70≤x＜80
40
n
80≤x＜90
m
0.35
90≤x≤100
50
0.25
根据所给信息，解答下列问题：
（1）m=　70　，n=　0.2　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）这200名学生成绩的中位数会落在　80≤x＜90　分数段；
（4）若成绩在90分以上（包括90分）为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的3000名学生中成绩是“优”等的约有多少人？

【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；W4：中位数．
【分析】（1）根据第一组的频数是10，频率是0.05，求得数据总数，再用数据总数乘以第四组频率可得m的值，用第三组频数除以数据总数可得n的值；
（2）根据（1）的计算结果即可补全频数分布直方图；
（3）根据中位数的定义，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数据（或中间两数据的平均数）即为中位数；
（4）利用总数3000乘以“优”等学生的所占的频率即可．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为10÷0.05=200，
则m=200×0.35=70，n=40÷200=0.2，
故答案为：70，0.2；

（2）频数分布直方图如图所示，


（3）200名学生成绩的中位数是第100、101个成绩的平均数，而第100、101个数均落在80≤x＜90，
∴这200名学生成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段，
故答案为：80≤x＜90；

（4）该校参加本次比赛的3000名学生中成绩“优”等的约有：3000×0.25=750（人）．
【点评】本题考查读频数（率）分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了中位数和利用样本估计总体．
　
25．（7分）（2017•平凉）已知一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于第一象限内的P（，8），Q（4，m）两点，与x轴交于A点．
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）写出点P关于原点的对称点P'的坐标；
（3）求∠P'AO的正弦值．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；KQ：勾股定理；T7：解直角三角形．
【分析】（1）根据P（，8），可得反比例函数解析式，根据P（，8），Q（4，1）两点可得一次函数解析式；
（2）根据中心对称的性质，可得点P关于原点的对称点P'的坐标；
（3）过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D，构造直角三角形，依据P'D以及AP'的长，即可得到∠P'AO的正弦值．
【解答】解：（1）∵点P在反比例函数的图象上，
∴把点P（，8）代入可得：k2=4，
∴反比例函数的表达式为，
∴Q （4，1）．
把P（，8），Q （4，1）分别代入y=k1x+b中，
得，
解得，
∴一次函数的表达式为y=﹣2x+9；
（2）点P关于原点的对称点P'的坐标为（，﹣8）；
（3）过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D．
∵P′（，﹣8），
∴OD=，P′D=8，
∵点A在y=﹣2x+9的图象上，
∴点A（，0），即OA=，
∴DA=5，
∴P′A=，
∴sin∠P′AD=，
∴sin∠P′AO=．

【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，中心对称以及解直角三角形，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．
　
26．（8分）（2017•平凉）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

【考点】LB：矩形的性质；L7：平行四边形的判定与性质；L8：菱形的性质．
【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
设BE=x，则 DE=x，AE=6﹣x，
在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，
∴x2=42+（6﹣x）2，
解得：x=，
∵BD==2，
∴OB=BD=，
∵BD⊥EF，
∴EO==，
∴EF=2EO=．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键．
　
27．（8分）（2017•平凉）如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．
（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；
（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．

【考点】MD：切线的判定；D5：坐标与图形性质．
【分析】（1）在Rt△ABN中，求出AN、AB即可解决问题；
（2）连接MC，NC．只要证明∠MCD=90°即可；
【解答】解：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2），
∴AN=4，
∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，
∴AB=2AN=8，
∴由勾股定理可知：NB==，
∴B（，2）．

（2）连接MC，NC
∵AN是⊙M的直径，
∴∠ACN=90°，
∴∠NCB=90°，
在Rt△NCB中，D为NB的中点，
∴CD=NB=ND，
∴∠CND=∠NCD，
∵MC=MN，
∴∠MCN=∠MNC，
∵∠MNC+∠CND=90°，
∴∠MCN+∠NCD=90°，
即MC⊥CD．
∴直线CD是⊙M的切线．

【点评】本题考查圆的切线的判定、坐标与图形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
　
28．（10分）（2017•平凉）如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．
（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；
（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；
（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．

【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）可设N（n，0），则可用n表示出△ABN的面积，由NM∥AC，可求得，则可用n表示出△AMN的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时n的值，即可求得N点的坐标；
（3）由N点坐标可求得M点为AB的中点，由直角三角形的性质可得OM=AB，在Rt△AOB和Rt△AOC中，可分别求得AB和AC的长，可求得AB与AC的关系，从而可得到OM和AC的数量关系．
【解答】解：
（1）将点B，点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得，解得，
∴二次函数的表达式为y=﹣x2+x+4；
（2）设点N的坐标为（n，0）（﹣2＜n＜8），
则BN=n+2，CN=8﹣n．
∵B（﹣2，0），C（8，0），
∴BC=10，
在y=﹣x2+x+4中令x=0，可解得y=4，
∴点A（0，4），OA=4，
∴S△ABN=BN•OA=（n+2）×4=2（n+2），
∵MN∥AC，
∴，
∴==，
∴，
∵﹣＜0，
∴当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大；

（3）当N（3，0）时，N为BC边中点，
∵MN∥AC，
∴M为AB边中点，
∴OM=AB，
∵AB===2，AC===4，
∴AB=AC，
∴OM=AC．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线分线段成比例、三角形的面积、二次函数的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中找到△AMN和△ABN的面积之间的关系是解题的关键，在（3）中确定出AB为OM和AC的中间“桥梁”是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．