2022届宁夏银川一中高三第四次月考数学理试卷含答案

银川一中2022届高三年级第四次月考

理 科 数 学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则

A． B． C． D．

2．已知复数满足，为虚数单位，则

A．  B．   C．   D．

3．已知，则“”是“指数函数在上为减函数”的

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

4．已知向量，满足，，且，

则，的夹角大小为

A．  B．  C．  D．

5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是

A．    B．    

C．    D．

6．已知数列的前n项和，，则k的值为

A．2 B． C．1 D．

7．将函数f（x）＝sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象关于直线

x＝π对称，则ω的最小值是

A． B．1 C． D．

8．如图，三行三列的方阵中有个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是

A．    B．    C．    D．

9．已知a＞0，b＞0，且2a+b＝ab，则a+2b的最小值为

A．8     B．9    C．10    D．11

10．已知定义在上的函数是奇函数且满足，，，数列满足，且，（其中为的前项和）．则

A．     B．    C．    D．

11．已知，满足，则与的大小关系为

A． B． 

C． D．不能确定

12．在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．

若，则的最大值为

A．3   B．   C.   D．2

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．已知角的终边经过点，则______．

14．若，满足约束条件，则的最小值为______．

15．已知向量，，，则实数k的值为______．

16．设点P在△ABC内且为△ABC的外心，∠BAC＝30°，

如图，若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为，x，y，

则x·y的最大值为________.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

 (一)必考题：共60分

17．(12分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC．

（1）求角C的大小；

（2）若cosA＝，求sin（2A﹣C）的值．

18．(12分)

已知等差数列{an}中，公差d＞0，S11＝77，且a2，a6﹣1，a11成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若Tn为数列的前n项和，且存在n∈N*，使得Tn﹣λan+1≥0成立，求实数λ的取值范围．

19．(12分)

已知数列，的各项均为正数．在等差数列中，，；在数列中，，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）求数列的前n项和为.

20．(12分)

甲、乙、丙三人，为了研究某地区高中男生的体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）是否存在较好的线性关系，他们随机调查了6位高中男生身高和体重的数据，得到如下表格：

根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程对应的直线的斜率为0.89．

（1）求y关于x的线性回归方程；

（2）从该地区大量高中男生中随机抽出10位男生，他们身高单

位：cm）的数据绘制成如图的茎叶图．

①估计体重超过60kg的频率p；

②视频率为概率，从该地区大量高中男生中随机选出2人，记这2人中体重超过60kg的人数为X，求X的分布列及其数学期望（用（1）中的回归方程估测这10位男生的体重）．

21．(12分)

设函数f（x）＝x2﹣a（x+alnx）（a≠0）．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当a＞0时，若f（x）的最小值为0，证明：＞ln（n+1）（n∈N*）．

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]

已知直线：（为参数）

（）当时，求直线的斜率;

（）若是圆：内部一点，与圆交于、两点，且，，成等比数列，求动点的轨迹方程．

23．[选修4—5：不等式选讲]

已知函数的最小值为．

（1）求的值；

（2）求的最小值．

银川一中2022届高三第四次月考数学(理科)（参考答案）

13．  14.    15.     16.

17．解：（Ⅰ）∵（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC，

∴（2a﹣b）a+（2b﹣a）b＝2c2，即a2+b2﹣c2＝ab，

∴cosC＝＝，

∵0＜C＜π，

∴C＝．

（Ⅱ）由cosA＝，可得sinA＝，

∴sin2A＝2sinAcosA＝，cos2A＝2cos2A﹣1＝，

∴sin（2A﹣C）＝sin2AcosC﹣cos2AsinC＝×﹣×＝．

18．解：（1）由题意可得即

又因为d＞0，所以所以an＝n+1．   ………………………………………

（2）∵，

∴＝．

∵存在n∈N*，使得Tn﹣λan﹣1≥0成立．

∴存在n∈N*，使得成立．

即存在n∈N*，使得成立．

∵（当且仅当n＝2时取等号）．

∴，即实数λ的取值范围是．…………………………

19．【解析】（Ⅰ）方法1：设数列的公差为d，由题意得：

解得，，故．

由可得：，即有或（舍）

从而有数列为首项为1，公比为的等比数列，即可得

方法2：及得，

设数列为的公差为d，则解得

故．

求数列的方法同上

（Ⅱ）

  ①

  ②

①②得

故．

20．

21．（1）解：函数f（x）＝x2﹣a（x+alnx）的定义域为（0，+∞），

f′（x）＝2x﹣a﹣＝，

①当a＜0时，当x∈（0，）时，f'（x）＜0，f（x）在（0，）上单调递减，

当x时，f'（x）＞0，f（x）在上单调递增；

②当a＞0时，当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，f（x）在（0，a）上单调递减，

当x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（a，+∞）上单调递增；

故当a＜0时，f（x）在（0，）上单调递减，在上单调递增；

当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增；

（2）证明：由（1）知，f（x）的最小值为f（a）＝﹣a2•lna＝0，解得a＝1，

于是当x＞0且x≠1时，f（x）＝x（x﹣1）﹣lnx＞f（1）＝0，

下面用数学归纳法证明++…+＞ln（n+1）（n∈N*），

①当n＝1时，＞ln（1+1）⇔e2＞2，不等式成立；

②假设n＝k（k∈N*）时，不等式成立，即++…+＞ln（k+1），

当n＝k+1时，++…++＞ln（k+1）+

＝ln（k+2）﹣ln+＝ln（k+2）+（（（k+2）﹣（k+1））﹣ln）

＝ln（k+2）+（﹣﹣ln）＞ln（k+2），不等式成立．

由①②得++…+＞ln（n+1）（n∈N*）．

22．解：（）当时，直线的斜率，

（）由题意，设、两点对应的参数分别为，，

把直线的方程代入圆的方程中，，

整理得：．

∴，

又∵，，成等比数列，

∴，

∴即，

∴动点的轨迹方程为．

23．解：（1），

所以，即．

（2）由（1）得．

可设函数，

易证得为偶函数，所以只需求解时的最小值．

当时，

，当且仅当时取得等号，

故的最小值为．