宁夏银川市一中2022届高三第四次月考理数试卷含答案（2）

银川一中2022届高三第四次月考数学(理科)（参考答案）

13．  14.    15.     16.

17．解：（Ⅰ）∵（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC，

∴（2a﹣b）a+（2b﹣a）b＝2c2，即a2+b2﹣c2＝ab，

∴cosC＝＝，

∵0＜C＜π，

∴C＝．

（Ⅱ）由cosA＝，可得sinA＝，

∴sin2A＝2sinAcosA＝，cos2A＝2cos2A﹣1＝，

∴sin（2A﹣C）＝sin2AcosC﹣cos2AsinC＝×﹣×＝．

18．解：（1）由题意可得即

又因为d＞0，所以所以an＝n+1．   ………………………………………

（2）∵，

∴＝．

∵存在n∈N*，使得Tn﹣λan﹣1≥0成立．

∴存在n∈N*，使得成立．

即存在n∈N*，使得成立．

∵（当且仅当n＝2时取等号）．

∴，即实数λ的取值范围是．…………………………

19．【解析】（Ⅰ）方法1：设数列的公差为d，由题意得：

解得，，故．

由可得：，即有或（舍）

从而有数列为首项为1，公比为的等比数列，即可得

方法2：及得，

设数列为的公差为d，则解得

故．

求数列的方法同上

（Ⅱ）

  ①

  ②

①②得

故．

20．

21．（1）解：函数f（x）＝x2﹣a（x+alnx）的定义域为（0，+∞），

f′（x）＝2x﹣a﹣＝，

①当a＜0时，当x∈（0，）时，f'（x）＜0，f（x）在（0，）上单调递减，

当x时，f'（x）＞0，f（x）在上单调递增；

②当a＞0时，当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，f（x）在（0，a）上单调递减，

当x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（a，+∞）上单调递增；

故当a＜0时，f（x）在（0，）上单调递减，在上单调递增；

当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增；

（2）证明：由（1）知，f（x）的最小值为f（a）＝﹣a2•lna＝0，解得a＝1，

于是当x＞0且x≠1时，f（x）＝x（x﹣1）﹣lnx＞f（1）＝0，

下面用数学归纳法证明++…+＞ln（n+1）（n∈N*），

①当n＝1时，＞ln（1+1）⇔e2＞2，不等式成立；

②假设n＝k（k∈N*）时，不等式成立，即++…+＞ln（k+1），

当n＝k+1时，++…++＞ln（k+1）+

＝ln（k+2）﹣ln+＝ln（k+2）+（（（k+2）﹣（k+1））﹣ln）

＝ln（k+2）+（﹣﹣ln）＞ln（k+2），不等式成立．

由①②得++…+＞ln（n+1）（n∈N*）．

22．解：（）当时，直线的斜率，

（）由题意，设、两点对应的参数分别为，，

把直线的方程代入圆的方程中，，

整理得：．

∴，

又∵，，成等比数列，

∴，

∴即，

∴动点的轨迹方程为．

23．解：（1），

所以，即．

（2）由（1）得．

可设函数，

易证得为偶函数，所以只需求解时的最小值．

当时，

，当且仅当时取得等号，

故的最小值为．