2022届辽宁省沈阳市第一二〇中学高三上学期第四次质量监测数学试题含答案

沈阳市第120中学2021—2022学年度高三上第四次质量检测

科目：数学

满分：150分                 时间：120分钟

一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每个小题只有一项符合要求）

1．已知集合，，则（    ）

A．B．C．D．

2．已知m为实数，直线：，：，则“”是“”成立的（   ）

A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知向量共面，且均为单位向量，，则的取值范围是（    ）

 A．        B．C． D．

4．函数的图像如图所示，则的解析式可以为（    ）

A．B．C．D．

5．某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频．一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取2个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章相邻的学法有（    ）

A．36种 B．48种 C．72种 D．144种

6．已知直线上有三点，为外一点，又等差数列的前项和为，若，则（    ）

A．B．3 C．          D．

7．二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有（    ）

A．4项 B．7项 C．5项 D．6项

8．已知定义在（0，+∞）上的函数满足，则下列不等式一定正确的是（    ）

A．B．C． D．

二．多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。每小题有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

9．有“好事者”记录了高州某山地区八月1日至10日的最高温度，分别为：32，33，35，36，34，38，39，36，34，34（单位为），下列说法正确的有（    ）

A．众数为34B．中位数与50％分位数相等

C．80％分位数是37D．极差为6

10．将函数的图象向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，下面四个结论正确的是（    ）

A．函数在区间上为增函数

B．将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称

C．点是函数的图象的一个对称中心

D．函数在上的最大值为

11．已知椭圆C：的左右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（    ）

A．的最小值为B．当离心率为时，的最大值为

C．不存在点Q，使得D．离心率的取值范围为

12．为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为，托盘由边长为的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②.则下列结论正确的是（    ）

A．经过三个顶点的球的截面圆的面积为

B．异面直线与所成的角的余弦值为

C．多面体的体积为

D．球面上的点离球托底面的最小距离为

三．填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）

13.若复数，则___________.

14.已知，则_____________．

15.法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数满足如下条件：

（1）在闭区间上是连续不断的；（2）在区间上都有导数．

则在区间上至少存在一个数，使得，其中称为拉格朗日中值．则在区间上的拉格朗日中值________．

16．已知点，动点满足以为直径的圆与轴相切，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为___________.

四．解答题（本题共6题，共70分）

17.（本题满分10分）在①成等比数列，②，③这三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答本题.

问题：已知等差数列的公差为，前项和为，且满足___________.

（1）求；（2）若，且，求数列的前项和.

18．（本题满分12分）在中，角所对边分别为，，，，且为边上的中线，点在上，满足.

（1）求及线段的长；（2）求的面积.

19．（本题满分12分）如图，为圆的直径，点E，F在圆上，AB//EF，矩形ABCD和圆所在的平面互相垂直，已知．

（1）求证：平面平面；

（2）当的长为何值时，二面角的大小为120°．

20．（本题满分12分）已知点是一个动点，直线与直线垂直，垂足为点且位于第一象限，直线与直线垂直，垂足为点且位于第四象限，且四边形（为坐标原点）的面积为2.动点的轨迹记为.

（1）求的方程.

（2）设为直线上一点，过的直线与交于，两点，试问是否存在点，使得？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由.

21．（本题满分12分）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行､每一列､每一个粗线宫（）内的数字均含1﹣9，不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.

（1）赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度（秒）与训练天数（天）有关，经统计得到如表的数据：

现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度约为多少秒？

（2）小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率.参考数据（其中）

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.

22．（本题满分12分）已知函数．

（1）若对任意实数，都有恒成立，求实数a的取值范围；

（2）当时，若，求的最小值．

沈阳市第120中学2021—2022学年度高三上第四次质量检测

数学（答案）

一．单选题BABAC      DDA

二．多选题9．ABC10．AD11. ABC     12.BCD

三．填空题

13.14.15. 16．

四．解答题

17.（1）解：①：因为、、成等比数列，则，即，

因为，可得.②：，可得.

③：，可得，可得..….…2分

若选①②，则有，可得，则；

若选①③，则，则；

若选②③，则，可得，所以，.….…4分

（2）解：，且，则，.….…5分

所以，当时，则有

，

也满足，故对任意的，，.….….….…7分

则，

所以，.….…10分

18.（1）由正弦定理得，则，

又

.….…3分

，解得（负值舍去），即.….…5分

（2）由得为的角平分线，.….…6分

过作的垂线，垂足分别为，则

又

，得.….….….…9分

.

.….….….…12分

19.解：（1）：平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，又因为为圆的直径，所以，所以平面，因为平面

所以平面平面.….…4分

（2）设的中点分别为，以为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），设，则点D的坐标为，

，设平面DCF的法向量为)，则，即取，则，.….…8分

由（1）可知平面，平面的一个法向量为…10分

解得,所以线段…….…12分

20.解（1），则.….…3分

,由题意得的方程.….…5分

（2）设，，，设直线的方程为，即，

联立，得，.….…7分

则，

且，，.….…9分

.

假设存在点满足则，

整理得，.….…11分

但，所以假设不成立，故不存在满足题意的点..….…12分

21.（1）由题意，，.….…1分

令，设关于的线性回归方程为，则

，.….…3分

则..….…4分

∴，又，

∴关于的回归方程为，.….…5分

故时，.

∴经过100天训练后，每天解题的平均速度约为140秒..….…6分

（2）设比赛再继续进行局小明最终赢得比赛，则最后一局一定是小明获胜，

由题意知，最多再进行4局就有胜负..….…7分

当时，小明胜，∴；.….…8分

当时，小明胜，∴；.….…9分

当时，小明胜，∴..….…10分

∴小明最终赢得比赛的概率为..….…12分

22（1）解：恒成立                               .….…1分

设，则，.….…2分

设，

..….…3分

.….…5分                           

（2）解：当时，，

由，

所以，.….…7分

所以，.….…8分

令，则，即 ，.….…9分

令

令

所以时，， 单调递减，

时， ， 单调递增，

由于，

所以在上有唯一的零点 ，且满足 ，.….…11分

所以，

所以，当且仅当 时等号成立..….…12分