2022届江西省宜春市上高二中高三上学期第五次月考试题数学(理)
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2022届江西省宜春市上高二中高三上学期第五次月考试题
理科数学试卷
命题人 审题人:
一、选择题(每题5分,共60分)
1.已知集合M,N是实数集R的子集,若N={1,2},且M∩∁RN=∅,则符合条件的集合M的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.命题“若a2+b2=0,则a=0且b=0”的否定是( )
A.若a2+b2≠0,则a≠0且b≠0
B.若a2+b2=0,则a≠0且b≠0
C.若a2+b2≠0,则a≠0或b≠0
D.若a2+b2=0,则a≠0或b≠0
3.函数f(x)=的图象大致是( )
A. B.
C. D.
4.在中,,,,M为BC中点,O为的内心,且,则( )
A. B. C. D.1
5. 已知实数,满足,,则下列正确的结论是( )
A. B.
C. D.
6.已知数列{an}的通项公式是an=f(),其中f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,Sn为数列{an}的前n项和,则S2021的值为( )
A.﹣1 B.0
C. D.
7.已知i为虚数单位,则复数z=1+2i+3i2+⋯+2020i2019+2021i2020的虚部为( )
A.﹣1011 B.﹣1010 C.1010 D.1011
8.某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为,面积为的扇形,则该圆锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
9. 在数1和3之间插入n个实数,使得这n+2个数构成等差数列,将这n+2个数的和记为bn,则数列的前78项和为( )
A. 3 B. log378 C. 5 D. log38
10.如图,A,B,C是半径为1的圆周上的点,且,
,则图中阴影区域的面积为( )
A. B.
C. D.
11. 已知函数与直线在第一象限的交点横坐标从小到大依次分别为,则( )
A. B. 0 C. 1 D.
12.已知函数,,若对于任意的,存在唯一的,使得,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题(每题5分,共20分)
13.已知=(1,2),=(0,﹣1),则在方向上的投影为 .
14. 等比数列前n项和为,若,,则________.
15. 已知实数,满足,则的取值范围是_______.
16.已知函数,若关于x的不等式在R上恒成立,则实数a的取值范围是________ .
三、解答题(共70分)
17.( 本小题10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(φ为参数),直线l的参数方程为(t为参数,0≤α<π)。
(I)若曲线C与y轴负半轴的交点在直线l上,求α;
(II)若tanα=,求曲线C上与直线l距离最大的点的坐标。
18.( 本小题12分)已知函数f(x)=|x+1|+|2x-5|-7。
(I)在如图所示的网格中画出y=f(x)的图象;
(II)若当x<1时,f(x)>f(x+a)恒成立,求a的取值范围。
19. (本小题12分)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 ,
(1)求角B的大小;
(2)已知点D满足,且,若,,求AC.
20.(本小题12分)已知等比数列{an}满足条件a2+a4=3(a1+a3),a2n=3an2,n∈N*,数列{bn}满足b1=1,bn﹣bn﹣1=2n﹣1(n≥2,n∈N*)
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若数列{cn}满足,n∈N*,求{cn}的前n项和Tn.
21.(本小题12分)在如图所示的几何体中,EA⊥平面ABCD,四边形ABCD为等腰梯形,AD∥BC,AD=BC,AD=1,∠ABC=60°,EF∥AC,EF=AC.
(1)证明:AB⊥CF;
(2)当二面角B﹣EF﹣D的余弦值为时,求线段CF的长.
22. (本小题12分)已知函数在点处的切线方程为.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)设是函数的两个零点,求证:.
2022届高三年级第五次月考理科数学试卷答题卡
一、选择题(每小题5分,共60分)
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
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二、填空题(本大题共4个小题,每小题5,共20分)
13、 14、
15、 16、
三、解答题(共70分)
17.(10分)
18. (12分)
19. (12分)
20.(12分)
21. (12分)
22. (12分)
2022届高三年级第五次月考理科数学试卷答案
DDBAB DBCAA DB
13. ﹣2 14. 15. 16.
17.
18.
19. 解(1)因为A,B,C是三角形ABC的内角,所以,
由,得,
即,
化简得,解得或(舍),
因为,所以.
(2)因为,所以,
在中,,所以,
又,所以,,,
所以,所以.
20. 解:(1)设{an}的通项公式为,n∈N*,
由已知a2+a4=3(a1+a3),,得q=3,
由已知,即,解得q=3a1,a1=1,
所以 {an}的通项公式为.
因为b1=1,bn﹣bn﹣1=2n﹣1(n≥2,n∈N*),
累加可得.
(2)当n=1时,,c1=1,
当n≥2时,①,
②,
由①﹣②得到,,n≥2,
综上,,n∈N*.③,
④,
由③﹣④得到,
所以.
21. 【解答】证明:(1)由题意,EA⊥平面ABCD,又AB⊂平面ABCD,
∴AB⊥AE,
过点A作AH⊥BC于点H,在Rt△ABH中,
∵∠ABH=60°,BH=,∴AB=1,
在△ABC中,AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=,
∴AB2+AC2=BC2,则AB⊥AC,
又AC∩AE=A,∴AB⊥平面ACE,
而CF⊂平面ACE,∴AB⊥CF;
解:(2)以A为坐标原点,分别以AB、AC、AE所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,
设AE=a(a>0),则B(1,0,0),E(0,0,a),F(0,,a),D(,,0),
∴,,,,
设平面BEF的一个法向量为,
由,取x=a,得;
设平面DEF的一个法向量为,
由,取z1=﹣1,得.
|cos<>|=||=||=,
整理得4a4﹣5a2+1=0,解得a=1或a=.
∵二面角B﹣EF﹣D为锐二面角,经检验a=舍去,∴a=1.
作FM⊥AC于M,则M为AC的中点,
∴CF=.
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