高中数学2.5.2 椭圆的几何性质学案

2.5.2　椭圆的几何性质

　椭圆的简单几何性质

思考1：椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么？

[提示]　最大距离：a＋c；最小距离：a－c．

思考2：椭圆方程＋＝1(a＞b＞0)中a，b，c的几何意义是什么？

[提示]　在方程＋＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义如图所示．即a，b，c正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a． (　　)

(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值a－c． (　　)

(3)椭圆上的离心率e越小，椭圆越圆． (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√

[提示]　(1)×　椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长等于2a．

(2)√　椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c，最小值为a－c．

(3)√　离心率e＝越小，c就越小，这时b就越接近于a，椭圆就越圆．

2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为(　　)

A．(－1,0)，(1,0)　　　　　B．(－6,0)，(6,0)

C．(－，0)，(，0)   D．(0，－)，(0，)

D　[x2＋＝1焦点在y轴上，长轴端点坐标为(0，－)，(0，)．]

3．椭圆x2＋4y2＝4的离心率为(　　)

A．　 　　B．　　　  C．　 　　D．

A　[化椭圆方程为标准形式得＋y2＝1，

所以a2＝4，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝3．

所以e＝＝．]

4．椭圆＋＝1的焦点坐标是        ，顶点坐标是        ．

(0，±)　(±3,0)，(0，±4)　[由方程＋＝1知焦点在y轴上，所以a2＝16，b2＝9，c2＝a2－b2＝7．

因此焦点坐标为(0，±)，顶点坐标为(±3,0)，(0，±4)．]

【例1】　求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．

[思路探究]　化为标准方程，确定焦点位置及a，b，c的值，再研究相应的几何性质．

[解]　把已知方程化成标准方程＋＝1，可知a＝5，b＝4，所以c＝3．因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，离心率e＝＝，两个焦点分别是F1(－3,0)和F2(3,0)，椭圆的四个顶点是A1(－5,0)，A2(5,0)，B1(0，－4)和B2(0,4)．

1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．

2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．

提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．

1．求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．

[解]　将椭圆方程变形为＋＝1，

∴a＝3，b＝2，∴c＝＝＝．

∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝2，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，

顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，离心率e＝＝．

【例2】　求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为；

(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－4)．

[解]　(1)将方程4x2＋9y2＝36化为＋＝1，

可得椭圆焦距为2c＝2．又因为离心率e＝，

即＝，所以a＝5，从而b2＝a2－c2＝25－5＝20．

若椭圆焦点在x轴上，则其标准方程为＋＝1；

若椭圆焦点在y轴上，则其标准方程为＋＝1．

(2)依题意2a＝2×2b，即a＝2b．

若椭圆焦点在x轴上，设其方程为＋＝1(a＞b＞0)，

则有解得

所以标准方程为＋＝1．

若椭圆焦点在y轴上，设其方程为＋＝1(a＞b＞0)，

则有解得

所以标准方程为＋＝1．

利用待定系数法求椭圆标准方程的基本步骤及注意事项

1用几何性质求椭圆的标准方程通常采用的方法是待定系数法.

2根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论.一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程.

3在求解a2、b2时常用方程组思想，通常由已知条件与关系式a2＝b2＋c2，e＝等构造方程组加以求解.

提醒：解答本例时容易忽视焦点的位置而漏解.

2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：  

(1)长轴长是10，离心率是；

(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6．

[解]　(1)设椭圆的方程为

＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)．

由已知得2a＝10，a＝5，e＝＝，∴c＝4．

∴b2＝a2－c2＝25－16＝9．

∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1．

(2)依题意可设椭圆方程为

＋＝1(a＞b＞0)．

如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，

且|OF|＝c，|A1A2|＝2b,2c＝6，

∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，

故所求椭圆的方程为＋＝1．

[探究问题]

1．求椭圆离心率的关键是什么？

[提示]　根据e＝，a2－b2＝c2，可知要求e，关键是找出a，b，c的等量关系．

2．a，b，c对椭圆形状有何影响？

[提示]

【例3】　已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．

[思路探究]　由题设求得A、B点坐标，根据△ABF2是正三角形得出a，b，c的关系，从而求出离心率．

[解]　设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．

依题意设A点坐标为，

则B点坐标为，

∴|AB|＝．

由△ABF2是正三角形得2c＝×，

即b2＝2ac，

又∵b2＝a2－c2，∴a2－c2－2ac＝0，

两边同除以a2得＋2－＝0，

解得e＝＝．

1．(变换条件)本例中将条件“过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一点，且AF1的中点B恰好在椭圆上，若△AF1F2为正三角形”．如何求椭圆的离心率？

[解]　设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)，

设A点坐标为(0，y0)(y0＞0)，

则B点坐标为，

∵B点在椭圆上，

∴＋＝1，

解得y＝4b2－，

由△AF1F2为正三角形得4b2－＝3c2，

即c4－8a2c2＋4a4＝0，

两边同除以a4得e4－8e2＋4＝0，

解得e＝－1．

2．(变换条件)“若△ABF2是正三角形”换成“椭圆的焦点在x轴上，且A点的纵坐标等于短半轴长的”，求椭圆的离心率．

[解]　设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，

由题意知A在椭圆上，

∴＋＝1，解得e＝．

求椭圆离心率的方法

(1)直接求出a和c，再求e＝，也可利用e＝求解．

(2)若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解．

1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式要先化成标准形式，再确定焦点的位置，找准a、b．

2．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．

3．求离心率e时，注意方程思想的运用．

1．椭圆＋＝1的离心率(　　)

A．　　　　　　　　 B．

C．   D．

A　[a2＝16，b2＝9，c2＝7，从而e＝＝．]

2．若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　)

A．＋＝1   B．＋＝1

C．＋＝1   D．＋＝1

A　[由已知得a＝9,2c＝×2a，∴c＝a＝3，b2＝a2－c2＝72．

又焦点在x轴上，∴椭圆方程为＋＝1．]

3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为(　　)

A．   B．2

C．   D．4

C　[椭圆x2＋my2＝1的标准形式为：x2＋＝1．

因为焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，所以＝4，所以m＝．]

4．若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是        ．

　[由题意有2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，

又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，

即5e2＋2e－3＝0，∴e＝或e＝－1(舍去)．]

5．已知椭圆的标准方程为＋＝1．

(1)求椭圆的长轴长和短轴长；

(2)求椭圆的离心率；

(3)求以此椭圆的长轴端点为短轴端点，并且经过点P(－4，1)的椭圆方程．

[解]　(1)椭圆的长轴长为2a＝6，短轴长为2b＝4．

(2)c＝＝，

所以椭圆的离心率e＝＝．

(3)若以椭圆的长轴端点为短轴端点，则b′＝3，可设椭圆方程为＋＝1，又椭圆过点P(－4,1)，

将点P(－4,1)代入得＋＝1，

解得a′2＝18．故所求椭圆方程为＋＝1．