人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.1 圆的标准方程学案

2.3　圆及其方程

2.3.1　圆的标准方程

1．圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径．确定一个圆的条件：(1)圆心；(2)半径．

2．方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程．

3．设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：

思考：若点P(x0，y0)在圆C：(x－a)2＋(y－b)2上，需要满足(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，那么P在圆C内和圆C外又满足怎样的关系？

[提示]　若点P在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2．若点P在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定． (　　)

(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆． (　　)

(3)圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心坐标是(2,3)，半径是9． (　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

[提示]　(1)正确．确定圆的几何要素就是圆心和半径．

(2)错误．当m＝0时，不表示圆．

(3)错误．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心为(－2，－3)，半径为3．

2．(教材P101练习A①改编)圆心为O(－1,1)，半径为2的圆的方程为(　　)

A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2　 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝2

C．(x＋1)2＋(y－1)2＝4   D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4

C　[将O(－1,1)，r＝2代入圆的标准方程可得．]

3．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)

A．在圆外   B．在圆内

C．在圆上   D．不确定

A　[∵m2＋25＞24，∴点P在圆外．]

4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是        ．

x2＋(y－2)2＝1　[设圆心为(0，b)，则圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，又点(1,2)在圆上，所以(2－b)2＋1＝1，∴b＝2，故方程为x2＋(y－2)2＝1．]

【例1】　根据下列条件，求圆的标准方程．

(1)圆心在点C(－2,1)，且过点A(2，－2)；

(2)已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上．

[思路探究]　只要确定圆心坐标和半径即可求得圆的标准方程．

[解]　(1)所求圆的半径r＝|CA|＝

＝5．

又因为圆心为(－2,1)，所以所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝25．

(2)设此直径两端点分别为(a,0)，(0，b)，由于圆心坐标为(2，－3)，所以a＝4，b＝－6，所以圆的半径r＝＝，从而所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13．

确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.

1．求圆心在x轴上，半径为5且过点A(2，－3)的圆的标准方程．

[解]　设圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝25，因为点A(2，－3)在圆上，所以有(2－a)2＋(－3)2＝25，解得a＝－2或a＝6，所以所求圆的标准方程为(x＋2)2＋y2＝25或(x－6)2＋y2＝25．

【例2】　求下列各圆的标准方程．

(1)圆心在y＝0上且过两点A(1,4)，B(3,2)；

(2)圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)．

 [思路探究]　由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a，b，r三个参数．

[解]　(1)设圆心坐标为(a，b)，半径为r，

则所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．

∵圆心在y＝0上，故b＝0，

∴圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2．

又∵该圆过A(1,4)，B(3,2)两点，

∴

解得a＝－1，r2＝20．

∴所求圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20．

(2)设所求圆的标准方程为

(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

由条件知

解得

故所求圆的标准方程为 (x＋1)2＋(y＋2)2＝10．

待定系数法求圆的标准方程的一般步骤

设方程((x－a)2＋(y－b)2＝r2)→列方程组(由已知条件，建立关于a、b、r的方程组)→解方程组(解方程组，求出a、b、r)→得方程(将a、b、r代入所设方程，得所求圆的标准方程)．

2．求经过点A(10,5)，B(－4,7)，半径为10的圆的方程．

[解]　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝100，

将A、B两点代入得

①－②得7a－b－15＝0，即b＝7a－15　③

将③代入得：a2＋8－6a＝0，

∴或

故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝100或(x－4)2＋(y－13)2＝100．

【例3】　已知某圆拱桥，当水面距拱顶2米时，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？

[思路探究]　桥是圆拱桥，可通过建立适当的平面直角坐标系，求出圆拱桥所在圆的标准方程，然后根据圆的对称性求水面宽度．

[解]　以拱顶为坐标原点，以过拱顶且与圆拱相切的直线为x轴，以过拱顶的竖直直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，则O(0,0)，A(6，－2)．

设圆的标准方程为x2＋(y＋r)2＝r2(r＞0)．

将A(6，－2)的坐标代入方程得r＝10，

∴圆的标准方程为x2＋(y＋10)2＝100．

当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0＞0)．

将A′(x0，－3)代入圆的标准方程，求得x0＝，

∴水面下降1米，水面宽为2x0＝2≈14．28(米)．

解决圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面

3．已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，问一辆宽为2．7 m，高为3 m的货车能不能驶入？

[解]　以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，过圆心且垂直于直径AB的直线为y轴，建立直角坐标系(如图)，那么半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2．7代入圆方程，得y＝＝＜3，即在离中心线2．7米处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道．

[探究问题]

1．若P(x，y)为圆C：(x＋1)2＋y2＝上任意一点，请求出P(x，y)到原点的距离的最大值和最小值．

[提示]　原点到圆心C(－1,0)的距离d＝1，圆的半径为，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝．

2．若P(x，y)是圆C：(x－3)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．

[提示]　P(x，y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2，圆心C(3,0)，圆心C到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝2，所以点P到直线x－y＋1＝0的距离的最大值为2＋2，最小值为2－2．

【例4】　已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3．求的最大值和最小值．

[思路探究]　的几何意义是圆上的点与原点构成直线的斜率，根据直线与圆相切求得．

[解]　原方程表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆，设＝k，即y＝kx，

当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时＝，

解得k＝±．

故的最大值为，最小值为－．

1．在本例条件下，求y－x的最大值和最小值．

[解]　设y－x＝b，

即y＝x＋b，

当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，

即b＝－2±．

故y－x的最大值为－2＋，

最小值为－2－．

2．在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值．

[解]　x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，

(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4．

与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型

1形如u＝形式的最值问题，可转化为过点x，y和a，b的动直线斜率的最值问题.

2形如l＝ax＋byb≠0形式的最值问题，可转化为动直线y＝＋截距的最值问题.

3形如x－a2＋y－b2形式的最值问题，可转化为动点x，y到定点a，b的距离的平方的最值问题.

1．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝m．

当m＞0时，表示圆心为C(a，b)，半径为的圆；

当m＝0时，表示一个点C(a，b)；

当m＜0时，不表示任何图形．

2．确定圆的方程的方法及步骤

(1)直接代入法，根据已知条件求圆心坐标和半径．

直接写出圆的标准方程．

(2)待定系数法：第一步：设圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2．

第二步：根据条件列方程组求待定系数a，b，r．

第三步：代入所设方程中得到圆的标准方程．

3．在实际应用问题求解过程中，应灵活运用几何性质(如弦的垂直平分线过圆心、半弦长、弦心距、半径长构成的勾股关系)．

4．重点掌握的方法

(1)求标准方程的方法．

(2)求与圆相关的最值的方法．

1．圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圆心坐标(　　)

A．(2,1)　　　　　　　 B．(2，－1)

C．(－2,1)   D．(－2，－1)

B　[结合圆的标准形式可知，圆C的圆心坐标为(2，－1)．]

2．以(2 020,2 020)为圆心，2 021为半径的圆的标准方程为(　　)

A．(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 0212

B．(x＋2 020)2＋(y＋2 020)2＝2 0212

C．(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 021

D．(x＋2 020)2＋(y＋2 020)2＝2 021

A　[由圆的标准方程知(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 0212．]

3．点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，则a的取值范围为        ．

a＞1或a＜－　[因为(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，所以4a2＋(a－2)2＞5，解得a＞1或a＜－．]

4．点(1,1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是        ．

(x＋2)2＋y2＝10　[因为点(1,1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋1＝m．

∴m＝10，即圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10．]

5．已知圆M的圆心坐标为(3,4)，且A(－1,1)，B(1,0)，C(－2，3)三点一个在圆M内，一个在圆M上，一个在圆M外，求圆M的方程．

[解]　∵|MA|＝＝5，

|MB|＝＝2，

|MC|＝＝，

∴|MB|＜|MA|＜|MC|，

∴点B在圆M内，点A在圆M上，点C在圆M外，

∴圆的半径r＝|MA|＝5，

∴圆M的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25．