高中数学4.2 平面向量及运算的坐标表示导学案及答案

这是一份高中数学4.2 平面向量及运算的坐标表示导学案及答案，共8页。

1．平面向量的坐标表示
如图在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基．对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作eq \(OP,\s\up8(→))＝a(通常称eq \(OP,\s\up8(→))为位置向量)．由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使eq \(OP,\s\up8(→))＝xi＋yj.因此，a＝xi＋yj.我们把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a可以表示为a＝(x，y)．
思考：1.若i，j分别是与x轴，y轴同方向的单位向量，则i，j的坐标分别是什么？
提示：在平面直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)．
2．相等向量的坐标相同吗？
提示：相等向量经过平移可以具有共同的始点O(O为坐标原点)，这时其终点相同，而终点的坐标即是这些向量的坐标，所以相同．
2．平面向量的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
3.中点坐标公式
若点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，线段AB的中点M的坐标为(x，y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2).))此公式为线段AB的中点坐标公式．
4．平面向量平行的坐标表示
(1)设a，b是非零向量，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0.若a∥b，则存在实数λ，使得a＝λb，用坐标表示为x1y2－x2y1＝0.
若y1≠0且y2≠0，则上式可变形为eq \f(x1,y1)＝eq \f(x2,y2).
(2)文字语言描述向量平行的坐标表示
定理1：若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例．
定理2：若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行．
1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b等于( )
A．(7,3) B．(7,7)
C．(1,7)D．(1,3)
[答案] A
2．若向量eq \(AB,\s\up8(→))＝(1,2)，eq \(BC,\s\up8(→))＝(3,4)，则eq \(AC,\s\up8(→))＝( )
A．(4,6)B．(－4，－6)
C．(－2，－2)D．(2,2)
A [eq \(AC,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→))＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．]
3．如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足c＝xa＋yb(x，y∈R)，则x＋y＝________.
eq \f(19,7) [建立如图所示的平面直角坐标系，设小方格的边长为1，
则可得a＝(1,2)，b＝(2，－3)，c＝(3,4)．
∵c＝xa＋yb，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＝x＋2y，,4＝2x－3y，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(17,7)，,y＝\f(2,7).))因此x＋y＝eq \f(19,7).]
4．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且eq \(CM,\s\up8(→))＝3eq \(CA,\s\up8(→))，eq \(CN,\s\up8(→))＝2eq \(CB,\s\up8(→)).求M，N的坐标和eq \(MN,\s\up8(→)).
[解] ∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
∴eq \(CA,\s\up8(→))＝(1,8)，eq \(CB,\s\up8(→))＝(6,3)．
∴eq \(CM,\s\up8(→))＝3eq \(CA,\s\up8(→))＝3(1,8)＝(3,24)，eq \(CN,\s\up8(→))＝2eq \(CB,\s\up8(→))＝2(6,3)＝(12,6)．
设M(x，y)，则eq \(CM,\s\up8(→))＝(x＋3，y＋4)．
∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3＝3，,y＋4＝24，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝20.)) ∴M(0,20)．
同理可得N(9,2)，∴eq \(MN,\s\up8(→))＝(9－0,2－20)＝(9，－18).
【例1】 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，eq \(OA,\s\up8(→))＝a，eq \(AB,\s\up8(→))＝b.四边形OABC为平行四边形．
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求向量eq \(BA,\s\up8(→))的坐标；
(3)求点B的坐标．
[解] (1)作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA·cs 45°＝4× eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)，AM＝OA·sin 45°＝4× eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2).
∴A(2eq \r(2)，2eq \r(2))，故a＝(2eq \r(2)，2eq \r(2))．
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°.
又∵OC＝AB＝3，∴Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，
∴eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \(OC,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，即b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2))).
(2)eq \(BA,\s\up8(→))＝－eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(3\r(3),2))).
(3)eq \(OB,\s\up8(→))＝eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(AB,\s\up8(→))＝(2eq \r(2)，2eq \r(2))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)－\f(3,2)，2\r(2)＋\f(3\r(3),2))).
在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标的定义求坐标.一般利用不等式思想求解，即把问题条件转化为关于参数的不等式组，再解不等式组就可以求得参数的取值范围.
eq \([跟进训练])
1.在直角坐标系xOy中，向量a，b的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，分别求出它们的坐标．
[解] 设点A(x，y)，B(x0，y0)，
∵|a|＝2，且∠AOx＝45°.
∴x＝2cs 45°＝eq \r(2)，且y＝2sin 45°＝eq \r(2).
又∵b＝3，∠xOB＝90°＋30°＝120.
∴x0＝3cs 120°＝－eq \f(3,2)，y0＝3sin 120°＝eq \f(3\r(3),2).
故a＝eq \(OA,\s\up8(→))＝(eq \r(2)，eq \r(2))，b＝eq \(OB,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2))).
【例2】 已知点A、B、C的坐标分别为A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)．求向量eq \(AB,\s\up8(→))＋2eq \(BC,\s\up8(→))－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up8(→))的坐标．
[思路点拨] 由A、B、C三点的坐标，求出eq \(AB,\s\up8(→))、eq \(BC,\s\up8(→))、eq \(AC,\s\up8(→))的坐标，再利用向量的加法，减法，数乘的坐标运算求解．
[解] 由A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)得，
eq \(AB,\s\up8(→))＝(－2,10)，eq \(BC,\s\up8(→))＝(－8,4)，eq \(AC,\s\up8(→))＝(－10,14)，
∴eq \(AB,\s\up8(→))＋2eq \(BC,\s\up8(→))－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up8(→))＝(－2,10)＋2(－8,4)－eq \f(1,2)(－10,14)＝(－2,10)＋(－16,8)－(－5,7)
＝(－18,18)－(－5,7)＝(－13,11)．
向量坐标运算的方法
1若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.
2若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.
3向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
eq \([跟进训练])
2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq \(AB,\s\up8(→))＝a，eq \(BC,\s\up8(→))＝b，eq \(CA,\s\up8(→))＝c.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值．
[解] 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝a＝(5，－5)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝－1.))
【例3】 已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，求实数x的值，并指明此时它们是同向还是反向？
[思路点拨] 计算a＋b及4b－2a，由共线求x的值，然后写出a，b并判断方向．
[解] a＝(1,1)，b＝(2，x)，
∴a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)．
又a＋b与4b－2a平行，故6(x＋1)－3(4x－2)＝0，
解得x＝2.
此时a＋b＝(3,3)，4b－2a＝(6,6)＝2(a＋b)，
∴a＋b与4b－2a的方向相同．
解决向量共线问题时，常常根据向量平行的坐标表示，将向量间的平行关系转化为坐标间的数量关系来求解.
eq \([跟进训练])
3．平面内三个给定向量a＝(1,3)，b＝(2，－1)，c＝(2,4)，若(a－kc)∥(2b－a)，求实数k.
[解] ∵a－kc＝(1－2k,3－4k)，2b－a＝(3，－5)，(a－kc)∥(2b－a)，
∴(－5)·(1－2k)－3(3－4k)＝0，
∴k＝eq \f(7,11).
1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．
2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)相等向量的坐标相等．( )
(2)在平面直角坐标系内，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量eq \(AB,\s\up8(→))＝(x1－x2，y1－y2)．( )
(3)与x轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为：i＝(1,0)，j＝(0,1)．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且eq \(BC,\s\up8(→))＝2eq \(AD,\s\up8(→))，则顶点D的坐标为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(7,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(1,2)))
C．(3,2)D．(1,3)
A [设D点坐标为(x，y)，则eq \(BC,\s\up8(→))＝(4,3)，eq \(AD,\s\up8(→))＝(x，y－2)，
由eq \(BC,\s\up8(→))＝2eq \(AD,\s\up8(→))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4＝2x，,3＝2y－2，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝\f(7,2)，))∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(7,2))).]
3．已知A(1,2)，B(4,5)．若eq \(AP,\s\up8(→))＝2eq \(PB,\s\up8(→))，则点P的坐标为________．
(3,4) [设P(x，y)，所以eq \(AP,\s\up8(→))＝(x－1，y－2)，eq \(PB,\s\up8(→))＝(4－x,5－y)，又eq \(AP,\s\up8(→))＝2eq \(PB,\s\up8(→))，所以(x－1，y－2)＝2(4－x,5－y)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝24－x，,y－2＝25－y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝4.))]
4．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，是否存在实数k，使得ka＋b与a－3b共线，且方向相反？
[解] 若存在实数k，则ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
若这两个向量共线，则有(k－3)×(－4)－(2k＋2)×10＝0.
解得k＝－eq \f(1,3).这时ka＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(10,3)，\f(4,3)))，
所以ka＋b＝－eq \f(1,3)(a－3b)．即两个向量恰好方向相反，
故题设的实数k存在，k＝－eq \f(1,3).
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．(重点)
2．掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．(重点)
1.通过向量的坐标表示的学习，培养数学抽象素养．
2．通过向量和、差及数乘向量的坐标运算法则的应用，培养数学运算素养.
数学公式
文字语言表述
向量加、
减法
a±b＝(x1±x2，y1±y2)
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差
向量数乘
λa＝(λx1，λy1)λ∈R
实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积
向量坐标
eq \(AB,\s\up8(→))＝(x2－x1，y2－y1)
一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标
平面向量的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
平行向量的坐标表示