人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示学案设计

【新教材】 6.3.1 平面向量基本定理

（人教A版）

1、了解平面向量基本定理；

2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量

解决实际问题的重要思想方法；

3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.

1.数学抽象：平面向量基底定理理解；

2.逻辑推理：用基底表示向量；

3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换.

重点：平面向量基本定理；

难点：平面向量基本定理的理解与应用.

一、    预习导入

阅读课本25-27页，填写。

1、定理探究：

平面向量基本定理：                                                         

注意：

(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的            ;

(2) 基底不惟一，关键是        ；

(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4) 基底给定时，分解形式     . 即λ1，λ2是被，，唯一确定的数量

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)任意两个向量都可以作为基底．           (　　)

(2)一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底．     (　　)

(3)零向量不可以作为基底中的向量．              (　　)

2．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是(　　)

A．e1，e2   B．e1＋e2,3e1＋3e2

C．e1,5e2   D．e1，e1＋e2

3．A，B，O是平面内不共线的三个定点，且＝a，＝b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则等于(　　)

A．a－b  B．2(b－a)  C．2(a－b)  D．b－a

4．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝________.

题型一  正确理解向量基底的概念

例1　设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：

①与；②与；③与；④与，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　　)

A．①②   B．①③

C．①④   D．③④

跟踪训练一

1、设e1，e2是平面内一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是(　　)

A．e1＋e2和e1－e2   B．3e1－2e2和4e2－6e1

C．e1＋2e2和e2＋2e1   D．e2和e2＋e1

题型二  用基底表示向量

例2　如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基底a，b表示，.

跟踪训练二

1、如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是DA，BC的中点，且＝k，设＝e1，＝e2，以e1，e2为基底表示向量，，.

题型三  平面向量基本定理的应用

例3　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．

跟踪训练三

1．在△ABC中，＝，＝，BE与CD交于点P，且＝a，＝b，用a，b表示.

1．已知e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是(　　)

A．e1，e1＋e2          B．e1－2e2，e2－2e1

C．e1－2e2，4e2－2e1   D．e1＋e2，e1－e2

2．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为(　　)

A．0，0     B．1，1       C．3，0      D．3，4

3．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，＝x＋y，且＝3，则(　　)

A．x＝，y＝   B．x＝，y＝

C．x＝，y＝   D．x＝，y＝

4．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝________．

5．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.

6．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.

(1)证明：a，b可以作为一组基底；

(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；

(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．

答案

小试牛刀

1. (1)× (2) √ (3) √

2．B.

3．B.

4. 3

自主探究

例1【答案】B

【解析】①与不共线；②＝－，则与共线；③与不共线；④＝－，则与共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．

跟踪训练一

1、【答案】B.

【解析】∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴两个向量共线，不能作为基底．

例2　【答案】＝a－b，＝a＋b.

【解析】 由题意知，＝＝＝a，

＝＝＝b.

所以＝＋＝－＝a－b，

＝＋＝a＋b.

跟踪训练二

1、【答案】＝ke2.＝e1＋(k－1)e2.＝e2.

【解析】法一：∵＝e2，＝k，∴＝k＝ke2.

∵＋＋＋＝0，

∴＝－－－＝－＋＋＝e1＋(k－1)e2.

又＋＋＋＝0，且＝－，＝，

∴＝－－－＝－＋＋＝e2.

法二：同法一得＝ke2，＝e1＋(k－1)e2.连接MB，MC，

由＝(＋)得＝(＋＋＋)＝(＋)＝e2.

例3　【答案】AP∶PM＝4，BP∶PN＝.

【解析】 设＝e1，＝e2，

则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.

∵A，P，M和B，P，N分别共线，

∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，

＝μ＝2μe1＋μe2.

故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.

而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，

得解得

∴＝，＝，

∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝.

跟踪训练三

1．【答案】＝ a＋b．

【解析】如图，取AE的三等分点M，使AM＝AE，连接DM，则DM//BE.

设AM＝t(t＞0)，则ME＝2t.

又AE＝AC，

∴AC＝12t，EC＝9t，

∴在△DMC中，＝＝，

∴CP＝CD，∴DP＝CD，

＝＋＝＋＝＋(＋)

＝＋＝＋

＝ a＋b．

当堂检测 

1-3.CDD

4. a－b

5.

6. 【答案】（1）见解析. （2）c＝2a＋b.  （3）λ，μ的值分别为3和1.

【解析】(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，

使a＝，

则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．

由e1，e2不共线，得

⇒

∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．

(2)设c＝ma＋(m，n∈R)，则

3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.

∴⇒

∴c＝2a＋b.

(3)由4e1－3e2＝，得

4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.

∴⇒

故所求λ，μ的值分别为3和1.