考点16二次函数的图象和性质（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北师大版）

考点16二次函数的图象和性质

【命题趋势】

二次函数的图象及性质主要考查：1.二次函数的增减性、顶点坐标、与对称抽的交点坐标、对称轴、自变量的取值范围、图象与系数a、b、c的关系，命基础题2、二次函数的解析式的确定，命中档题。

【常考知识】

二次函数的增减性、顶点坐标、与对称抽的交点坐标、对称轴、自变量的取值范围、图象与系数a、b、c的关系；二次函数的解析式的确定。

【夺分技巧】

1、确定二次函数对称轴的方法：①当已知二次函数的解析式时，对称轴为直线x=;②已知顶点坐标（h、k）时、对称轴为直线x=h;③已知纵坐标相同的两点（x1,y）,(x2,y)时，对称轴为直线x=。

2、平移的口诀记牢，且与坐标平移有区别：左加、右减、上加、下减。

3、比较两个二次函数的大小的大小：①直接代入自变量求值；②当自变量在对称轴同侧时，根据函数值随自变量的变化趋势判断；③当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及抛物线的开口方向，当a>0时，自变量越靠近对称轴的对应函数值越小；当a＜0时，自变量越靠近对称轴的对应函数值越大。

真题演练

一、单选题

1．（2021·广东·广州市第三中学三模）若点A(-1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在二次函数y=（x-2）2+3的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（    ）

A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3

【答案】B

【分析】

由已知确定函数的对称轴为x=2，然后根据A、B、C三点到对称轴的距离即可判断．

【详解】

解：y=（x-2）2+3的开口向上，对称轴为直线x=2，

∵A（-1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数y=（x-2）2+3的图象上，且B在对称轴上，A到对称轴的距离最远，

∴y2＜y3＜y1，

故选：B．

2．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）把抛物线：先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线．若点，都在抛物线上，且，则，的大小（   ）

A． B． C． D．无法确定

【答案】A

【分析】

根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律求得抛物线，根据二次函数的性质可以求得与的大小．

【详解】

解：∵，

∴把抛物线：先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线：，即，

∴抛物线的函数关系式为：，

∴抛物线的开口向上，对称轴为：直线，

∴当时，随的增大而减小，

∵点，都在抛物线上，且，

∴，

故选：A．

3．（2021·辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于A，两点，则下列说法正确的是（    ）

A． B．点A的坐标为

C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线

【答案】D

【分析】

根据二次函数的图象与性质即可依次判断．

【详解】

由图可得开口向上，故a＞0，A错误；

∵解析式为，故对称轴为直线x=-2，D正确

∵

∴A点坐标为（-3，0），故B错误；

由图可知当时，y随x的增大而减小，故C错误；

故选D．

4．（2021·全国·九年级课时练习）已知抛物线（）过，两点，则下列关系式一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

∵抛物线

关于轴对称点的坐标为．

又

．

故选：C．

5．（2021·全国·九年级单元测试）下列函数中，①；②；③；④．函数图像经过第四象限的有（  ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】

结合函数的图象与性质逐个分析即可；

【详解】

①是一次函数，经过一三象限，不符合题意；

②是一次函数，经过一二四象限，符合题意；

③是反比例函数，经过二四象限，符合题意；

④二次函数，经过一二三象限，不符合题意；

函数图像经过第四象限的有2个；

故选B．

6．（2021·广东·九年级专题练习）抛物线y=（x＋2）2＋1的对称轴是（   ）

A．直线x＝－1 B．直线x＝1 C．直线x＝2 D．直线x＝－2

【答案】D

【分析】

直接利用顶点式的特殊性可求对称轴．

【详解】

∵抛物线y=（x＋2）2＋1的顶点坐标是：（-2，1），

∴对称轴是：直线x=-2，

故选D．

7．（2021·上海普陀·一模）在下列对抛物线的描述中，正确的是（    ）

A．开口向上 B．顶点在轴上

C．对称轴是直线 D．与轴的交点是

【答案】B

【分析】

根据函数y=a（x-h）2的性质逐项排查即可．

【详解】

解：∵

∴该抛物线开口方向向下，顶点坐标（1，0），顶点在x轴上，对称轴为直线x=1，与y轴交点为（0，-1），

所以A、C、D选项错误，B选项正确，

故选B．

8．（2021·全国·九年级课时练习）如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：  ①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是（　　）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

【答案】D

【分析】

直接由判断①；把A点坐标代入抛物线y1=a（x+2）2-3求出a值判断②；由x=0求得y2，y1作差后判断③；由二次函数的对称性求出B，C的坐标，进一步验证2AB=3AC判断④．

【详解】

解：对于①，，∴无论x取何值，y2的值总是正数正确；

对于②，∵抛物线y1=a（x+2）2-3过点A（1，3），则3=a（1+2）2-3，解得，②错误；

对于③，，当x=0时，，③错误；

对于④，∵抛物线y1=a（x+2）2-3与交于点A（1，3），∴可求得B（-5，3），C（5，3），求得AB=6，AC=4，则2AB=3AC，④正确．

故选D．

9．（2021·福建省福州铜盘中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，设函数的图像与x轴有M个交点，函数的图像与x轴有N个交点，则（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】C

【分析】

先根据函数的图像与x轴有M个交点解得，再对a，b分情况讨论，求得答案.

【详解】

对于函数，当时，函数与x轴两交点为（－a，0）、（－b，0），

∵，所以有2个交点，故

对于函数

①，交点为，此时

②，交点为，此时

③，交点为，此时

综上所述，或

故选C.

10．（2021·广东徐闻·九年级阶段练习）关于二次函数y＝（x－1）2+2，下列说法正确的是（     ）

A．图像与y轴的交点坐标为（0，2） B．图像的对称轴在y轴的左侧

C．y的最大值为2 D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大

【答案】D

【分析】

二次函数的一般形式中的顶点式是：y=a（x-h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）．

【详解】

A. 当x=0，y=3，∴图象与y轴的交点坐标为：（0，3），故此选项错误；

B. 二次函数y＝（x－1）2+2图象的对称轴为x=1，在y轴的右侧，故此选项错误；

C.∵图象的开口向上，函数有最小值为2，故此选项错误；

D. ∵图象的开口向上，对称轴为x=1，∴当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，故此选项正确.

故选D.

二、填空题

11．（2021·安徽·九年级阶段练习）对于二次函数，图象的对称轴为____________，当自变量x满足时，函数值y的取值范围为，则a的取值范围为________．

【答案】直线       

【分析】

根据二次函数对称轴公式代入，可得到对称轴；利用配方法求出顶点坐标，令，可得到点A，B的坐标分别为，画出图形，观察图形，即可求解．

【详解】

解：∵二次函数，

∴对称轴为直线；

∵，

∴当 时，函数有最小值，最小值为 ，

当 时，有，

解得： ，

∴如图所示，点A，B的坐标分别为，

∴当时， ，

∵时，函数值y的取值范围为，

从图象中可得到时，．

故答案为：直线；．

12．（2021·全国·九年级专题练习）抛物线的顶点的横坐标为______．

【答案】0

【分析】

由抛物线顶点坐标公式即可求得．

【详解】

∵抛物线，

∴，

故答案为：0．

13．（2021·广西贵港·二模）下列关于二次函数（为常数）的结论：

①该函数的图象与函数的图象的对称轴相同；

②该函数的图象的顶点在函数的图象上；

③该函数的图象与轴有交点时，；

④点与点在该函数的图象上．

若，，则．

其中正确的结论是______________（填写序号）．

【答案】①②④

【分析】

利用二次函数的性质判断即可．

【详解】

解：①∵二次函数的对称轴为直线，

二次函数的对称轴为直线，故结论①正确

②∵，

∴顶点为，

∴该函数的图象的顶点在函数的图象上，故结论②正确．

③∵函数的图象与轴有交点，则，

∴或，故结论③错误．

④∵，∴

∵二次函数的对称轴为直线，

∴点离对称轴的距离大于点离对称轴的距离．

∵，且，

∴，故结论④正确．

故答案为①②④．

14．（2021·北京市师达中学九年级阶段练习）已知y是以x为自变量的二次函数，且当x=0时，y的最小值为-1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式_______．

【答案】y=x2-1．

【分析】

直接利用二次函数的性质得出其顶点坐标为（0，-1），然后写出一个满足题意的二次函数即可．

【详解】

解：∵y是以x为自变量的二次函数，且当x=0时，y的最小值为-1，
∴二次函数对称轴是y轴，且顶点坐标为：（0，-1），抛物线开口向上，
故满足上述条件的二次函数表达式可以为：y=x2-1．
故答案为：y=x2-1．

15．（2021·山东牟平·一模）小飞研究二次函数（为常数）性质时，有如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线上；②存在一个的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点与点在函数图象上，当，，则；④当时，随的增大而增大，则的取值范围为．其中正确结论的序号是______．

【答案】①②④

【分析】

根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对个结论作出判断即可．

【详解】

二次函数（为常数）

①∵顶点坐标为且当时，

∴这个函数图象的顶点始终在直线上

故结论①正确；

②假设存在一个的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形,

令，得，其中

解得：，

∵顶点坐标为，且顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形

∴

∴或

∴存在或，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形

故结论②正确；

③∵

∴

∵二次函数（为常数）的对称轴为直线

∴点离对称轴的距离小于点离对称轴的距离

∵，且

∴

  故结论③错误；

④当时，随的增大而增大，且

∴的取值范围为

故结论④正确．

故答案是：①②④

16．（2021·广东·东莞市东莞中学初中部一模）把抛物线向左平移2个单位，则平移后所得抛物线的解析式为_____．

【答案】或；

【分析】

根据题意直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．

【详解】

由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为：y=（x+2）2或，
故答案为或．

17．（2021·新疆巴音郭楞·一模）平面直角坐标系xOy中，若抛物线y=ax2上的两点A、B满足OA=OB，且tan∠OAB=，则称线段AB为该抛物线的通径．那么抛物线y=x2的通径长为______．

【答案】2

【分析】

根据题意可以设出点A的坐标，从而可以求得通径的长．

【详解】

设点A的坐标为（−2a，a），点A在x轴的负半轴，

则a＝×(−2a)2，

解得，a＝0（舍去）或a＝，

∴点A的横坐标是−1，点B的横坐标是1，

∴AB＝1−（−1）＝2，

故答案为2．

18．（2021·福建龙岩·一模）函数的最小值是_____．

【答案】

【分析】

先将已知式子调整成两点间的距离公式形式，然后就可以看出y表示的就是两条线段之和，根据“两点之间线段最短”即可求解．

【详解】

解：如图，平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，作直线AC∥y轴，作BC∥x轴交于点C，则点C坐标为，在Rt△ABC中，，

此公式表示已知平面直角坐标系两点坐标，即可求出这两点的距离．

∵，

∴y表示的几何含义为抛物线y＝x2上的一点P（x，x2）到点A（2，1）和点B（0，2）的距离之和，

即y＝AP+PB≥AB，如图，

∴当且仅当A、P、B三点共线时，y取得最小值=．

故答案为：．

19．（2021·黑龙江集贤·九年级期中）在﹣2，0，1，2这四个数中任取两数m，n，则二次函数y＝（x﹣m）2＋n的顶点在坐标轴上的概率为__．

【答案】

【分析】

画树状图展示所有12种等可能的结果数，根据二次函数的性质确定顶点在坐标轴上的结果数，然后利用概率公式求解．

【详解】

解：画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中二次函数y＝（x﹣m）2＋n的顶点在坐标轴上的结果数为6，

所以二次函数y＝（x﹣m）2＋n的顶点在坐标轴上的概率==，

故答案为：．

20．（2021·上海浦东新·一模）如果(2，)、(3，)是抛物线上两点，那么______．（填“>”或“<”）

【答案】＜

【分析】

根据自变量的值先求解二次函数值，再比较大小即可得到答案．

【详解】

解：当时，

当时，

＞，

故答案为：＜．