考点15反比例函数的综合题（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北师大版）

考点15反比例函数的综合题

【命题趋势】

反比例函数的综合题：1.反比例函数与一次函数主要考查：①判断一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象；②利用函数图象确定自变量的取值范围；③与一次函数结合求解析式、点的坐标、三角形面积等。命基础题。2、反比例函数与几何图形综合主要考察：①反比例函数中系数k的几何意义；②求反比例函数中k的的值；③求几何图形面积；④求点的坐标。命中档题。

【常考知识】

判断一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象；利用函数图象确定自变量的取值范围；与一次函数结合求解析式、点的坐标、三角形面积等；反比例函数中系数k的几何意义；求反比例函数中k的的值；求几何图形面积；求点的坐标。

【夺分技巧】

①判断一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象就是看两函数中同一字母的符号是否一致。

②已知两解析式求交点坐标，若是正比例函数与反比例函数图象相交，则交点坐标必关于原点对称；若是一次函数与反比例函数图象相交，常采用联解的策略，即先消去y再解一元二次方程，求出点的坐标。

③反比例函数与一次函数图象的交点与第三个点构成图形的面积常用分割法，将目标图形转化为坐标轴上的三角形，再用坐标求面积。

真题演练

一、单选题

1．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）如图，直线与x轴交于点B，与双曲线(x>0)交于点A，过点B作x轴的垂线，与双曲线交于点C．且AB=AC，则k的值为（    ）

A．8 B．12 C．10 D．16

【答案】D

【分析】

作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=CD，再利用一次函数解析式确定B(4，0)，则可设C(4，)，利用A点的纵坐标为得到A(8，)，然后把A(8，)代入得，从而解关于k的方程即可得到k的值．

【详解】

解：作AD⊥BC于D，如图，

∵AB=AC，

∴BD=CD，

当y=0时，，解得x=4，则B(4，0)，

设C(4，)，则A(8，)，

把A(8，)代入得，

∴k=16．

故选：D．

2．（2021·广东·珠海市九洲中学三模）如图所示的是反比例函数和一次函数的图象，则下列结论正确的是（    ）

A．反比例函数的解析式是 B．当时，

C．一次函数的解析式为 D．若，则

【答案】D

【分析】

根据点(1，5)在反比例函数图象上，可求得反比例函数的解析式，可对A选项作出判断；根据已求得的反比例函数关系式可求得当x=6时对应的函数值，从而可对B选项作出判断；由前面的计算，用待定系数法可求得一次函数的解析式，从而可对C选项作出判断；观察图象可对D选项作出判断．

【详解】

∵点(1，5)在反比例函数图象上

∴

即k=5

∴反比例函数的解析式是

故A错误；

在中，当x=6时，

故选B错误；

∵直线过点(1，5)和

∴

解得：

∴一次函数的解析式为

故选项C错误；

观察图象知，当1<x<6时，反比例函数的图象位于一次函数的图象的下方，即

故选项D正确；

故选：D．

3．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，，点C为边AB上一点，且．如果函数的图象经过点B和点C，那么用下列坐标表示的点，在直线BC上的是（    ）

A．（-2019，674） B．（-2020，675）

C．（2021，-669） D．（2022，-670）

【答案】D

【分析】

根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出B、C点的坐标，再写出BC解析式，再判断点在BC上．

【详解】

解：作，，

，

，

设，

，

或（舍去），

，

，

．

，

，，

，

，

，

，

图象经过点，

，

，

设的解析式为，

，

解得，

，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

故选：D．

4．（2021·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过，两点，反比例函数的图象经过点，则的值为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【分析】

由题意得，即可得出，由反比例函数的图象经过点，即可得到，变形为，即可求得．

【详解】

解：∵正比例函数的图象经过，两点，则，

∴，

又函数的图象经过点，

∴，

∴，

∴，

故选：A．

5．（2021·山西洪洞·二模）函数y1，y2与自变量x的部分对应值如表所示：

下列结论：①y1是x的反比例函数；②y2是x的一次函数；③当x＜0时，y1，y2都随x的增大而增大；④y1＞y2时，x＜﹣4．其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②

【答案】D

【分析】

根据反比例函数的定义、反比例函数和一次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确．

【详解】

解：由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为8，所以y是x的反比例函数，因此①是正确的；

x每增加2，y增加2均值变化，所以y是x的一次函数，因此②是正确的：

当x＜0时，y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，因此③是错误的；

当x＝﹣4或x＝2时，y1＝y2，y1＞y2时，x＜﹣4或0＜x＜2，因此④是错误的，

故选：D．

6．（2021·湖南邵阳·九年级期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

根据每个函数图象分析出对应的参数范围，再综合对比即可．

【详解】

A、由一次函数图象知，，，由反比例函数图象知，，可能成立，符合题意；

B、由一次函数图象知，，，由反比例函数图象知，，不可能成立，不符合题意；

C、由一次函数图象知，，，由反比例函数图象知，，不可能成立，不符合题意；

D、由一次函数图象知，，，由反比例函数图象知，，不可能成立，不符合题意；

故选：A．

7．（2021·江西·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，且，则下列结论中，不正确的是（    ）

A．，两点关于直线对称 

B．当取某特定的值时，是等边三角形

C．当，两点重合时， 

D．当的值为时，b的值为

【答案】C

【分析】

根据反比例函数的图象关于直线对称即可对A作出判断；根据A选项可知，所以当时， 是等边三角形，即可对B选项作出判断；当，两点重合时，可得，此时，即可对选项C作出判断；当的值为时，可求得点A的坐标，将其代入一次函数即可对选项D作出判断．

【详解】

解：∵反比例函数的图象关于直线对称，直线由直线平移所得，∴，两点关于对称，A正确；

由A选项可知，当时，，即是等边三角形，B正确；

当，两点重合时，可得，与轴正半轴的夹角为45°，可得，C错误；

当的值为时，可求得点A的坐标为，将代入，可得，D正确．

故选：C．

8．（2021·安徽包河·一模）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交，其中一个交点坐标为，当时，下列结论正确的是（    ）

A．或 B．或

C． D．或

【答案】B

【分析】

根据正比例函数和反比例函数的性质判断即可；

【详解】

∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，

∴两个函数图象的另一个交点为，

∴当或时，；

故答案选B．

9．（2021·河南·三模）如图，直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，若S△AOB＝S△BOC＝1，则k＝（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】

作CD⊥x轴于D，设OB=a（a＞0）．由S△AOB=S△BOC，根据三角形的面积公式得出AB=BC．根据相似三角形性质即可表示出点C的坐标，把点C坐标代入反比例函数即可求得k．

【详解】

如图，作CD⊥x轴于D，设OB＝a（a＞0）．

∵S△AOB＝S△BOC，

∴AB＝BC．

∵△AOB的面积为1，

∴OA•OB＝1，

∴OA＝，

∵CD∥OB，AB＝BC，

∴OD＝OA＝，CD＝2OB＝2a，

∴C（，2a），

∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，

∴k＝×2a＝4．

故选D．

10．（2021·全国·九年级专题练习）若反比例函数的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点都在一次函数y=-x+m的图象上，则m的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据题意可知反比例函数的图象上的点关于y轴的对称的点在函数上，由此可知反比例函数的图象与一次函数y=-x+m的图象有两个不同的交点，继而可得关于x的一元二次方程，再根据根的判别式即可求得答案.

【详解】

∵反比例函数上有两个不同的点关于y轴对称的点在一次函数y=-x+m图象上，

∴反比例函数与一次函数y=-x+m有两个不同的交点，

联立得，消去y得：，

整理得：，

∵有两个不同的交点

∴有两个不相等的实数根，

∴△=m2-8＞0，

∴或，

故选C.

二、填空题

11．（2021·福建·厦门双十中学思明分校二模）如图，函数（k为常数，k＞0）的图象与过原点O的直线相交于A、B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴、y轴于点C、D两点，连接BM分别交x轴、y轴于点E、F．若，则＝______．

【答案】

【分析】

过A作AG⊥y轴于G，MH⊥y轴于H，过B作BN⊥y轴于N，由点A，B关于原点对称，可得OA=OB，AG=BN，可证，可求，可得，由，可求即可

【详解】

解：过A作AG⊥y轴于G，MH⊥y轴于H，过B作BN⊥y轴于N，如下图：

∵

∴

由题意可得：点A，B关于原点对称，

∴OA=OB，AG=BN，

∵BN⊥y轴，MH⊥y轴，AG⊥y轴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴

故答案为：．

12．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）反比例函数与正比例函数图象的一个交点为第三象限内一点．则不等式的解集为____________．

【答案】或

【分析】

根据反比例函数和正比例函数的性质可得，另一个交点坐标为，且，，画出函数图像的草图，根据函数图像即可求解．

【详解】

解：反比例函数与正比例函数图象的一个交点为，在第三象限

可得，，且另一交点坐标为，

两个函数图像，如下图：

由图像可得不等式的解集为或

13．（2021·福建省同安第一中学一模）如图，函数（为常数，）的图象与过原点O的直线相交于A、B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴、y轴于C、D两点，连接BM分别交x轴、y轴于点E、F．若，则 ________．

【答案】

【分析】

过A作AG⊥y轴于G，MH⊥y轴于H，过B作BN⊥y轴于N，由点A，B关于原点对称，可得OA=OB，AG=BN，可证，可求，可得，由，可求即可

【详解】

解：过A作AG⊥y轴于G，MH⊥y轴于H，过B作BN⊥y轴于N，如下图：

∵

∴

由题意可得：点A，B关于原点对称，

∴OA=OB，AG=BN，

∵BN⊥y轴，MH⊥y轴，AG⊥y轴

∴

∴，

∴，

∴，

∴，

∴

故答案为2．

14．（2021·广东·北大附中深圳南山分校三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点E（6，﹣2）都在反比例函数的图象上，如果∠AOE＝45°，那么直线OA的表达式是_____．

【答案】

【分析】

将OE顺时针旋转90°，得到OD，连接DE，交OA于F，即可求得D的坐标，进而求得F的坐标，先求得反比例函数的解析式，然后求得直线DE的解析式，进而求得直线OA的解析式．

【详解】

解：如图，将OE顺时针旋转90°，得到OD，连接DE，交OA于F，作DM⊥y轴于M，作EN⊥x轴于N，由旋转可知，∠DOE=∠MON，OD=OE，

∴∠DOM=∠EON，

∴△DOM≌△EON，

∴OM=ON，DM=EN，

∵点E（6，﹣2），

∴D（﹣2，﹣6），

∵∠AOE＝45°，

∴∠AOD＝45°，

∵OD＝OE，

∴OA⊥DE，DF＝EF，

∴F（2，﹣4），

设直线OA的解析式为y＝mx，

把F的坐标代入得，﹣4＝2m，解得m＝﹣2，

∴直线OA的解析式为y＝﹣2x，

故答案为y＝﹣2x．

15．（2021·北京顺义·一模）写出一个反比例函数表达式，使它的图象与直线有公共点，这个函数的表达式为_______．

【答案】（符合且k≠0即可）

【分析】

设这个反比例函数表达式为：（k≠0），联立两函数整理为一元二次方程，根据函数有交点可得，从而求得k的取值范围，写出符合条件的一个即可（注意k≠0）．

【详解】

解：设这个反比例函数表达式为：（k≠0）与联立得：

，整理得：，

当时，方程有解，此时两函数图象有公共解，

解得且k≠0，

故这个函数的表达式为：（符合且k≠0即可）．

16．（2021·陕西·模拟预测）若直线和双曲线交于两点，那么__________．

【答案】36

【分析】

点A、B是一次函数和反比例函数的交点，把两个函数解析式进行联立，求出A、B的横纵坐标，即 的代数式，代入求解即可．

【详解】

由题意得：

则 ，即

，此时

．

原式=

故答案为：36．

17．（2021·江苏宝应·八年级期末）将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则（a﹣1）（b+2）＝_____．

【答案】-3

【分析】

由于一次函数y＝kx−2−k（k＞0）的图象过定点P（1，−2），而点P（1，−2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，因此将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx−2−k（k＞0）相交于两点，在平移之前是关于原点对称的，表示出这两点坐标，根据中心对称两点坐标之间的关系求出答案．

【详解】

解：一次函数y＝kx﹣2﹣k（k＞0）的图象过定点P（1，﹣2），而点P（1，﹣2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，

因此将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，在没平移前是关于原点对称的，

平移前，这两个点的坐标为为（a﹣1，），（，b+2），

∴a﹣1＝﹣，

∴（a﹣1）（b+2）＝﹣3，

故答案为：﹣3．

三、解答题

18．（2021·广东·佛山市华英学校一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的纵坐标为．

（1）求这两个函数的表达式；

（2）点为反比例函数图象上的一点，且点在点的上方，当时，求点的坐标．

【答案】（1）一次函数的解析式为y1=x+1，反比例函数的解析式为y2=；（2）C点的坐标为（-1+，1+）．

【分析】

（1）把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k2的值，把点B的纵坐标代入求得横坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；

（2）根据题意点C就是直线y=x+1向上平移1个单位后与反比例函数的交点，求得平移后的直线解析式，与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得C的坐标．

【详解】

解：（1）把点A（1，2）代入反比例函数y2=得，k2=1×2=2，

∴反比例函数的解析式为y2=，

将y=-1代入y2=得，-1=，交点x=-2，

∴B（-2，-1），

将A、B的坐标代入y1=k1x+b得，

解得，

∴一次函数的解析式为y1=x+1；

（2）∵y1=x+1，

∴直线与y轴的交点为（0，1），

∵点C为反比例函数图象上的一点，且点C在点A的上方，S△CAB=S△AOB，

∴点C就是直线y=x+1向上平移1个单位后与反比例函数的交点，

将直线y=x+1向上平移1个单位后得到y=x+2，

解得或（舍） ，

∴C点的坐标为（-1+，1+）．

19．（2021·青海西宁·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A，轴于点B，延长AB至点C，连接．若，．

（1）求的长和反比例函数的解析式；

（2）将绕点旋转90°，请直接写出旋转后点A的对应点A'的坐标．

【答案】（1），；（2）或

【分析】

（1）由三角函数值，即可求出OB=2，然后求出点A的坐标，即可求出反比例函数的解析式；

（2）根据题意，可分为：顺时针旋转90度和逆时针旋转90度，两种情况进行分析，即可得到答案．

【详解】

解：（1） ∵轴于点B

∴

在中，，

∴，

∴点A的横坐标为2

又∵点A在正比例函数的图象上

∴，

∴

把代入，得

∴，

∴反比例函数的解析式是 ；

（2）根据题意，

∵点A为（2，1），

∵将绕点旋转90°，

则分为：顺时针旋转90度和逆时针旋转90度，如图：

∴或．

20．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）（1）已知反比例函数的图象和正比例函数图象都经过点，求两个函数的表达式；

（2）若（）的解是，求的值．

【答案】（1），；（2）-18

【分析】

（1）根据待定系数法求得即可；

（2）由题意可知反比例函数与直线在第三象限的交点的横坐标为，代入 求得交点坐标，然后根据待定系数法即可求得的值．

【详解】

解：（1）设正比例函数为，反比例函数为，

反比例函数的图象和正比例函数图象都经过点，

将代入，得，解得：．

正比例函数的解析式为：，

将代入，得，

．

反比例函数为；

（2）由题意可知反比例函数与直线在第三象限的交点的横坐标为，

把代入得，，

交点为，

代入得，，

解得．

21．（2021·山东聊城·中考真题）如图，过C点的直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于点A，B两点，且BC＝AB，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点D，连接OD，△ODH的面积为6

（1）求k值和点D的坐标；

（2）如图，连接BD，OC，点E在直线y＝﹣x﹣2上，且位于第二象限内，若△BDE的面积是△OCD面积的2倍，求点E的坐标．

【答案】（1），点 D 坐标为（4，3）；（2）点E的坐标为（－8，2）

【分析】

（1）结合反比例函数的几何意义即可求解值；由轴可知轴，利用平行线分线段成比例即可求解D点坐标；

（2）可知和的面积相等，由函数图像可知、、的面积关系，再结合题意，即可求CD边上高的关系，故作，垂足为F，即可求解E点横坐标，最后由E点在直线AB上即可求解．

【详解】

解∶（1）设点 D 坐标为（m，n），

由题意得．

∵点 D在的图象上，．

∵直线的图象与轴交于点A，

∴点A 的坐标为（－4，0）．

∵CHx轴，CH//y 轴．．

点D在反比例函数的图象上，

点 D 坐标为（4，3）

（2）由（1）知轴，．

．

过点E作EFCD，垂足为点 F，交y轴于点M，

．

．

∴点 E 的横坐标为－8.

∵点E 在直线上，∴点E的坐标为（－8，2）．