考点14反比例函数的图象和性质（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北师大版）

考点14反比例函数的图象和性质

【命题趋势】

反比例函数的图象及性质主要考查：1.反比例函数的图象位于的象限、对称性、利用增减性判断函数值的大小。2、确定反比例函数解析式考查形式有：①已知点的坐标确定反比例函数解析式；②已知反比例函数的图象所经过的象限确定其解析式；③与一次函数结合求反比例函数解析式；④与几何图形结合通过k的几何意义或图象面积的计算求反比例函数解析式。①②命基础题，③④命中档题。

【常考知识】

反比例函数的图象位于的象限、对称性、利用增减性判断函数值的大小；已知点的坐标确定反比例函数解析式；已知反比例函数的图象所经过的象限确定其解析式；结合反比例函数求一次函数解析式；与一次函数结合求反比例函数解析式；与几何图形结合通过k的几何意义或图象面积的计算求反比例函数解析式。

【夺分技巧】

①叙述反比例函数的增减性时，应强调在每个象限内，而不能笼统地说成“ k>0,函数值随x的增大而减小”或“k<0,函数值随x的增大而增大”。

②比较反比例函数值得大小，在同一象限内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内不能按其性质比较，y值得大小只能根据符号特征确定，解决这类问题的有效方法是画出草图，标出各点，对照草图，比较大小。

③涉及反比例函数的图象识别时，要分k>0和k<0画出两个函数图象的草图即可判定。

④在双曲线背景下的面积问题往往与k的几何意义联系起来，注意常见基本图形的结论要记熟悉，涉及到k的值时一定要注意符号.

真题演练

一、单选题

1．（2021·内蒙古东胜·二模）现有下列命题：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形；②有两条边长比值是3：4的两个直角三角形相似：③若一元二次方程有实数根，则；④若点在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是．其中是真命题的是（    ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

【答案】D

【分析】

根据矩形的判定可以判断① ；根据相似三角形的判定可以判断② ；根据一元二次方程的判别式可以判断③，根据反比例函数的性质可以判断④．

【详解】

解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，是真命题；

②当一个三角形的两个直角边分别为3和4，另一个三角形的斜边为4，那么这两个三角形不相似，是假命题：

③若一元二次方程即有实数根，则，解得，是假命题；

④若点在反比例函数的图象上，且，

∵，

∴函数图像经过二、四且在每个象限y都随x增大而增大，

∵，

∴A、B两个点分别在第二象限和第四象限，

∴

则a的取值范围是，故是真命题，

故选D．

2．（2021·全国·九年级课时练习）已知点、、都在反比例函数的图像上，则下列、、的大小关系为（　　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据点A（-1，），点B（2，），点C（3，）在反比例函数的图象上，可以求得，，的值，从而可以比较出的大小关系．

【详解】

解：∵点A（-1，），点B（2，），点C（3，）在反比例函数的图象上

∴，，，

∵，

∴，
故选B．

3．（2021·四川贡井·一模）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先分清各点所在的象限，再利用各自的象限内利用反比例函数的增减性解决问题．

【详解】

解：∵k＝−()＜0，

∴双曲线在二、四象限，且每个象限内，y随x的增大而增大，

∵点，，在反比例函数的图象上，

∴分布在第二象限，，在第四象限，

∴．

故选：B．

4．（2021·河南平顶山·二模）定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（    ）

A．当时，随增大而增大 B．函数图象经过点

C．函数图象位于第一、三象限 D．当时，

【答案】A

【分析】

根据题意可得，直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案即可．

【详解】

解：根据题意可得，是一个反比例函数，

∵

∴反比例函数经过二、四象限，当时，随增大而增大，故A选项正确；C选项错误；

∵，

∴反比例函数不经过点，故B选项错误；

在反比例函数中，当时，，故D选项错误；

故选：A．

5．（2021·江苏连云港·中考真题）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．

甲：函数图像经过点；

乙：函数图像经过第四象限；

丙：当时，y随x的增大而增大．

则这个函数表达式可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据所给函数的性质逐一判断即可．

【详解】

解：A.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而减小．故选项A不符合题意；

B.对于，当x=-1时，y=-1，故函数图像不经过点；函数图象分布在一、三象限；当时，y随x的增大而减小．故选项B不符合题意；

C.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象分布在一、二象限；当时，y随x的增大而增大．故选项C不符合题意；

D.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而增大．故选项D符合题意；

故选：D

6．（2021·广西·南宁十四中三模）如图，的三个顶点分别为，，．若函数在第二象限内的图象与有交点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据题意以及函数图像，当函数图像经过点可求得的最大值，经过点可求得的最小值，据此求解即可

【详解】

依题意，当函数图像经过点可求得的最大值，,

经过点可求得的最小值，．

．

故选B．

7．（2021·湖南娄底·中考真题）用数形结合等思想方法确定二次函数的图象与反比例函数的图象的交点的横坐标所在的范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，来判断出交点横坐标所在的范围．

【详解】

解：在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，如下图：

由图知，显然，

当时，将其分别代入与计算得；

，

，

此时反比例函数图象在二次函数图象的上方，

故选：D．

8．（2021·全国·九年级课时练习）反比例函数（k为正整数）在第一象限的图象如图所示，已知图中点A的坐标为，则k的值是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】

首先假设点A在该反比例函数图象上，即可求出此时k的值．再根据实际，即可判断k的取值范围，即可选择．

【详解】

假设点A在该反比例函数图象上，

∴，

∵点A实际在该反比例函数图象上方，

∴．

选项中只有A选项的值小于2．

故选A．

9．（2021·浙江杭州·模拟预测）小明同学利用计算机软件绘制了某一函数的图象，如图所示．由学习函数的经验，可以推断这个函数可能是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

由图象可知，当x=0时，y=0，当x＞0时，y＜0，x=-2时，函数值不存在；据此即可判断．

【详解】

解：由图象可知，当x=0时，y=0；

当x＞0时，y＜0；

x=-2时，函数值不存在；

B、当x=1时，函数没有意义，不符合题意；

C、当x＞0时，y>0，不符合题意；

D、当x=0时，，不符合题意；

A、符合题意；

故选：A．

10．（2021·江苏南京·一模）关于x的方程px2＋p＝（p、q为常数，且pq≠0）的根的情况，下列结论中正确的是（   ）

A．一个根 B．二个根 C．三个根 D．无实数根

【答案】A

【分析】

画出和的图象，根据图象观察的根的情况．

【详解】

解：可将方程的解看成抛物线与反比例函数的图象的交点，

∵pq≠0，

∴，，

当，时，画出图形如下：

只有一个交点，

∴方程的解只有一个；

当，时，画出图形如下：

只有一个交点，

∴方程的解只有一个；

当，时，画出图形如下：

只有一个交点，

∴方程的解只有一个；

当，时，画出图形如下：

只有一个交点，

∴方程的解只有一个；

综上，不论何种情况，都只有一个根，

故选：A．

二、填空题

11．（2021·北京市京源学校九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，，，有以下4种说法：

①一次函数的图象与线段无公共点；

②当时，一次函数的图象与线段无公共点；

③当时，反比例函数的图象与线段无公共点；

④当时，二次函数的图象与线段无公共点．

上述说法中正确的是__________．

【答案】②③

【分析】

根据一次函数、反比例函数、二次函数的性质逐条判断即可．

【详解】

解：一次函数经过点，故①错误；

一次函数刚好经过点，向下平移直线，此时，直线与线段无公共点，故②正确；

反比例函数的图象刚好经过点，当时，反比例函数的图象沿着向远离原点的方向平移，与线段无公共点，故③正确；

二次函数的图象一定经过，故④错误；

故答案为：②③．

12．（2021·福建厦门·二模）在平面直角坐标系中，点，，，在双曲线上，且，．要使得四边形是矩形，至少要满足条件__________．（只需写出一种符合题意的答案，填写相应的序号即可）

①；②；③且；④，都经过点O．

【答案】②③

【分析】

先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明，最后证明∠DAB为90°即可

【详解】

依据题意可得,点，

在双曲线，

且，则图形如下:

至少满足B,C两个条件，

∵

∵点A，B，C, D分别关于原点对称，则AC,BD必过原点，OD= OB, OA = OC,

∴四边形ABCD是平行四边形,

过A作AF⊥y轴于点F，过D作DE⊥x轴于点E,

∵

∴OE=OF，∠DEO=∠AFO=90°

∴DE= AF,

∵

∴

∴O为BD的中点

∴

∵

∴=90°

∴四边形ABCD是矩形

故答案为：②③

13．（2021·江苏无锡·中考真题）请写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对称：________．

【答案】（答案不唯一）

【分析】

根据反比例函数图像和性质，直接写出答案即可．

【详解】

解：∵函数图象在第二、四象限且关于原点对称，

∴函数可以是反比例函数且比例系数小于0，

∴函数表达式可以是：（答案不唯一）．

故答案是：（答案不唯一）．

14．（2021·贵州红花岗·二模）已知点在双曲线上，点在直线上，则的值为______．

【答案】-3

【分析】

将点代入反比例函数中得到，将点代入中得到，最后对通分再整体代入求值即可．

【详解】

解：∵点在双曲线上，

∴，

∵点在直线上，

∴，即

∴，

故答案为：．

15．（2021·四川武侯·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，连接OA，将线段OA绕点O逆时针旋转得到对应线段OB，此时点B刚好落在反比例函数的图象上，则m的值为_____________．

【答案】

【分析】

作点A关于原点O的对称点，连接，过B向作垂线，交于点H，交x轴于点Q，过A作轴于点P，则，，由勾股定理得OA=，可证得为等边三角形，由两角对应相等的三角形相似得，从而，进而可求得QO= ，，从而，由相似三角形对应边成比例可得，，从而，，即可求得m的值.

【详解】

作点A关于原点O的对称点，

则，，

连接，

由勾股定理得OA=，

，

，

为等边三角形，

过B向作垂线，交于点H，交x轴于点Q，过A作轴于点P，

，

，

，

是等边三角形，

，

，

QO= ，

，即，

，

，

，

，

，

即，

，

，

.

16．（2021·江苏广陵·一模）己知反比例函数，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________．

【答案】

【分析】

根据k＜0时，y随x增大而增大，建立不等式2-m＜0，求解即可．

【详解】

∵反比例函数，y随x的增大而增大，

∴2-m＜0，

∴，

故答案为：．

17．（2021·山东滨州·中考真题）若点、、都在反比例函数（k为常数）的图象上，则、、的大小关系为____________．

【答案】

【分析】

根据反比例函数的性质和，可以得到反比例函数的图象所在的象限和在每个象限内的增减性，然后即可判断、、的大小关系．

【详解】

解：反比例函数为常数），，

该函数图象在第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，

点、，、都在反比例函数为常数）的图象上，，点、在第三象限，点在第一象限，

，

故答案为：．

18．（2021·湖南郴州·中考真题）在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大，则的取值范围是________．

【答案】m＜3

【分析】

根据反比例函数的增减性，列出关于m的不等式，进而即可求解．

【详解】

解：∵在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大，

∴m-3＜0，即：m＜3．

故答案是：m＜3．

19．（2021·河南师大附中二模）已知反比例函数的图象具有下列特征：在每个象限内，随的增大而增大，那么的取值范围是______．

【答案】；

【分析】

根据题意，由反比例函数的性质，可得：m-3<0，据此求出m的取值范围即可．

【详解】

解：∵反比例函数的图象具有下列特征：在所在的象限，y随x的增大而增大．
∴m-3<0，
∴m<3．
故答案为：m<3．

20．（2021·西藏日喀则·二模）如果点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），都在反比例函数y= （k＞0）的图象上，那么y1，y2 的大小关系是____（请用“＜”表示出来）

【答案】y2＜y1．

【分析】

利用反比例函数的增减性可比较，即可得出结论．

【详解】

∵，

∴函数图象在每个象限内随的增大而减小，

∵，

∴，

故答案为：．