考点15二次函数（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北京版）

考点15二次函数

考点总结

一、 二次函数的概念

定义:形如是常数, , 则 叫做 的二次函数.

注意:二次项系数 .

二、 二次函数的图象及性质

三、二次函数的三种形式

一般式：

顶点式:

交点式:

四 、二次函数系数 a, b, c 与图象的关系

的作用: 决定开口的方向和大小.

(1) , 开口向上, , 开口向下;

(2) |a| 越大, 抛物线的开口越小.

的作用: 决定对称轴的位置.

(1) 与 同号时, 对称轴在 轴的左边;

(2) 与 异号时, 对称轴在 轴的右边;

(3) 时, 对称轴在轴

口诀:左同右异.

的作用: 决定抛物线与 轴的交点位置.

时, 抛物线与 轴交于正半轴;

(2) 时, 抛物线与 轴交于负半轴;

(3) 时, 抛物线过原点

五、二次函数图象的平移

平移方法: 上加下减，左加右减

注意:将抛物线 用配方法化 成 的形式, 而任意抛物线 均可由 平移得到.

六、二次函数与一元二次方程的关系

关系:二次函数的图象与 轴的交点的横坐标是一元二次方程的实数根.

判别式:

抛物线与 轴有两个交点;

抛物线与 轴有一个交点;

抛物线与 轴没有交点.

真题演练

一、单选题

1．将抛物线y＝2x2向下平移3个单位长度所得到的抛物线是（　　）

A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x﹣3）2 D．y＝2（x+3）2

【答案】B

【分析】

原抛物线顶点坐标为，平移后抛物线顶点坐标为，平移不改变二次项系数，可根据顶点式求出平移后的抛物线解析式．

【详解】

由题意得：平移后抛物线的顶点坐标为，

因为平移不改变二次项系数，

所以得到的抛物线解析式为，

故选：B．

2．已知一个二次函数图象经过，，，四点，若，则的最值情况是(　　　)

A．最小，最大 B．最小，最大

C．最小，最大 D．无法确定

【答案】A

【分析】

根据题意判断抛物线开口向上，对称轴在直线＝0与直线＝1之间，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断．

【详解】

∵二次函数图象经过，，，四点，且，

∴抛物线的开口向上，且对称轴在直线＝0与直线＝1之间，

∴离对称轴的距离最大，离对称轴的距离最小，

∴最小，最大，

故答案为：A．

3．如图，点C、A、M、N在同一条直线l上．其中，是等腰直角三角形，，四边形为正方形，且，将等腰沿直线l向右平移．若起始位置为点A与点M重合，终止位置为点C与点N重合．设点A平移的距离为x，两个图形重叠部分的面积为y，则y与x的函数图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

分，，三种情况讨论，分别求得其函数关系式，利用数形结合的思想即可判断．

【详解】

∵△ABC是等腰直角三角形，

作BO⊥直线于O，

则OA=OB=OC=2，

当时，如图：

，

∴，

，开口向上的抛物线；

当时，如图：

，，，

∴

，

，开口向下的抛物线；

当时，如图：

，，，

∴，

，开口向上的抛物线；

综上，前后两段是开口向上的抛物线，中间一段是开口向下的抛物线，只有选项D符合，

故选：D．

4．在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点P为“同号点”．下列函数的图象中不存在“同号点”的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据函数图像点的坐标满足函数解析式及“同号点”的定义求解即可．

【详解】

A.点在函数的图象上，故存在“同号点”；

B.点在函数的图象上，故存在“同号点”；

C.对于函数，∵xy=-2<0， ∴x，y异号，故不存在“同号点”；

D.点在函数的图象上，故存在“同号点”；

故选C．

5．如图，抛物线与轴交于、两点，对称轴与轴交于点，点，点，点是平面内一动点，且满足，是线段的中点，连结．则线段的最大值是（    ）．

A．3 B． C． D．5

【答案】C

【分析】

解方程x2−8x＋15＝0得A（3，0），利用抛物线的性质得到C点为AB的中点，再根据圆周角定理得到点P在以DE为直径的圆上，圆心Q点的坐标为（−4，0），接着计算出AQ＝5，⊙Q的半径为2，延长AQ交⊙Q于F，此时AF的最大值为7，连接AP，利用三角形的中位线性质得到CM＝AP，从而得到CM的最大值．

【详解】

解方程x2−8x＋15＝0得x1＝3，x2＝5，则A（3，0），

∵抛物线的对称轴与x轴交于点C，

∴C点为AB的中点，

∵∠DPE＝90°，

∴点P在以DE为直径的圆上，圆心Q点的坐标为（−4，0），

AQ＝＝5，⊙Q的半径为2，

延长AQ交⊙Q于F，此时AF最大，最大值为2＋5＝7，

连接AP，

∵M是线段PB的中点，

∴CM为△ABP为中位线，

∴CM＝AP，

∴CM的最大值为．

故选：C．

6．如图，一架梯子AB靠墙而立，梯子顶端B到地面的距离BC为，梯子中点处有一个标记，在梯子顶端B竖直下滑的过程中，该标记到地面的距离y与顶端下滑的距离x满足的函数关系是（    ）

A．正比例函数关系 B．一次函数关系

C．二次函数关系 D．反比例函数关系

【答案】B

【分析】

过梯子中点O作地面于点D．由题意易证，即得出．由O为中点，，，即可推出，即．即可选择．

【详解】

如图，过梯子中点O作地面于点D．

∴，

又∵，

∴，

∴，

根据题意O为中点，，．

∴，整理得：．

故y与x的函数关系为一次函数关系．

故选B．

7．如图，小聪要在抛物线y ＝x（2-x）上找一点M（a，b），针对b的不同取值，所找点M的个数，三个同学的说法如下，

小明：若b＝-3，则点M的个数为0；

小云：若b ＝ 1，则点M的个数为1；

小朵：若b ＝ 3，则点M的个数为2．

下列判断正确的是（    ）．

A．小云错，小朵对 B．小明，小云都错 

C．小云对，小朵错 D．小明错，小朵对

【答案】C

【分析】

根据题意，分、、三种情况，结合二次函数、一元二次方程判别式的性质计算，即可得到答案．

【详解】

∵点，

当时，则，整理得，

∵，

∴有两个不相等的值，

∴点的个数为2；

当时，则，整理得，

∵，

∴有两个相同的值，

∴点的个数为1；

当时，则，整理得，

∵，

∴点的个数为0；

∴小明错，小云对，小朵错

故选：C．

8．如图，是函数（0≤x≤4）的图象，通过观察图象得出了如下结论：

（1）当x>3时，y随x的增大而增大；

（2）该函数图象与x轴有三个交点；

（3）该函数的最大值是6，最小值是﹣6；

（4）当x > 0时，y随x的增大而增大．

以上结论中正确的有（   ）个

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】

根据函数图象的性质进行逐项分析即可．

【详解】

解：由题中图象可知，该函数图象与x轴有三个交点，故（2）正确；

令，

解得：，，，

即该函数图象与x轴的三个交点坐标分别为，，，

∴结合图形可知，当x>3时，y随x的增大而增大，故（1）正确；

∵自变量的范围是0≤x≤4，

∴结合图象可知，当时，函数取得最大值，最大值为，

当时，函数取得最小值，最小值为，故（3）正确；

由图象可知，当x > 0时，函数图象既有上升的部分，也有下降的部分，

∴在x > 0时，增减性不是唯一的，故（4）错误；

故选：C．

9．四位同学在研究函数y=-x2+bx+c（b，c是常数）时，甲同学发现当x=1时，函数有最大值；乙同学发现函数y=-x2+bx+c的图象与y轴的交点为（0，-3）；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x=3时，函数的值为0．若这四位同学中只有一位同学的结论是错误的，则该同学是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】B

【分析】

由甲的结论得，解得b=2；由乙的结论得c=-3；若甲、乙结论正确，可得函数的解析式为，根据解析式判定当甲、乙结论正确时，丙、丁结论错误，这与已知中四位同学中只有一位同学的结论是错误相矛盾，即可得甲、乙两个结论中有一个错误，丙、丁结论正确；再假设甲同学的结论正确， 乙同学的结论错误，由甲、丙同学的结论可得二次函数的解析式为：，当x=3时，y=0，与丁的结论相符合，假设成立，由此可得乙同学的结论是错误的．

【详解】

由甲的结论得，解得b=2；由乙的结论得c=-3；

若甲、乙结论正确，可得函数的解析式为，

当x=1时，y=-2≠4，当x=3时，y=-6≠0，

∴当甲、乙结论正确时，丙、丁结论错误，这与已知中四位同学中只有一位同学的结论是错误相矛盾，

∴甲、乙两个结论中有一个错误，丙、丁结论正确

假设甲同学的结论正确，乙同学的结论错误，

由甲、丙同学的结论可得二次函数的解析式为：

∴当x=3时，y=0，与丁的结论相符合，假设成立；

∴乙同学的结论是错误的．

故选B．

10．已知二次函数，当和时对应的函数值相等，则下列说法中不正确的是（    ）

A．抛物线的开口向上 

B．抛物线与y轴有交点

C．当时，抛物线与x轴有交点 

D．若是抛物线上两点，则

【答案】C

【分析】

根据二次函数图象的开口方向、对称性、与坐标轴交点等性质逐条判断即可．

【详解】

解：二次函数二次项系数是1，大于0，抛物线开口向上，故A正确，不符合题意；

当时，，抛物线与y轴有交点为（0，n），故B正确，不符合题意；

二次函数，当和时对应的函数值相等，它的对称轴为，即，，抛物线解析式为，若抛物线与x轴有交点，则，解得，故C错误，符合题意；

两点关于抛物线对称轴直线对称，所以，故D正确,不符合题意；

故选：C．

二、填空题

11．已知抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是________．

【答案】

【分析】

先求出抛物线与x轴交点的横坐标，然后根据抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，列不等式，解不等式即可．

【详解】

解：∵抛物线，

∴当y=0时，，

解得，

∵抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，

∴，

∴．

故答案为：．

12．如图，直线与抛物线交于点，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式的解集为_____．

【答案】

【分析】

根据函数的解析式，得A（0，3），B的坐标为（3，0），利用数形结合思想完成解答．

【详解】

∵，

∴，

解得x=3或x=-1，

∴点B的坐标为（3，0），

当x=0时，y=3，

∴点A的坐标为（0，3），

∴不等式的解集为,

故答案为：．

13．将二次函数的图象向右平移3个单位得到一个新函数的图象，请写出一个自变量x的取值范围，使得在所写的取值范围内，上述两个函数中，恰好其中一个函数的图象从左往右上升，而另一个函数的图象从左往右下降，写出的x的取值范围是__________．

【答案】

【分析】

根据“左+右-”法则得到新函数的解析式为，根据图象解题即可．

【详解】

解：将二次函数的图象向右平移3个单位得到一个新函数：

画图如下，

由图象可知，

当时，

恰好的图象从左往右上升，而另一个函数从左往右下降，

故答案为：．

14．在平面直角坐标系xOy中，函数y1＝x（x＜m）的图象与函数y2＝x2（x≥m）的图象组成图形G．对于任意实数n，过点P（0，n）且与x轴平行的直线总与图形G有公共点，写出一个满足条件的实数m的值为_____（写出一个即可）．

【答案】1（答案不唯一）

【分析】

首先理解题意，任意一条平行于x轴的直线都能与指定区间的两个图象构成的新图形G有交点，先求得两个函数的图象的交点，根据图象即可求得．

【详解】

解：由解得或，

∴函数y1＝x的图象与函数y2＝x2的图象的交点为（0，0）和（1，1），

∵函数y1＝x（x＜m）的图象与函数y2＝x2（x≥m）的图象组成图形G．

由图象可知，对于任意实数n，过点P（0，n）且与x轴平行的直线总与图形G有公共点，则0≤m≤1，

故答案为答案不唯一，如：1（0≤m≤1），

15．已知y是以x为自变量的二次函数，且当x=0时，y的最小值为-1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式_______．

【答案】y=x2-1．

【分析】

直接利用二次函数的性质得出其顶点坐标为（0，-1），然后写出一个满足题意的二次函数即可．

【详解】

解：∵y是以x为自变量的二次函数，且当x=0时，y的最小值为-1，
∴二次函数对称轴是y轴，且顶点坐标为：（0，-1），抛物线开口向上，
故满足上述条件的二次函数表达式可以为：y=x2-1．
故答案为：y=x2-1．

三、解答题

16．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x（a≠0）．

（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；

（2）记y＝ax2+x（x≥0）的图象为G1，将图象G1绕坐标原点旋转180°得到图象G2，G1与G2组合为图形G．点M（t，y1），N（t+a，y2）为图形G上任意两点．

①当t＝0时，都有y1＞y2，求a的取值范围；

②当﹣≤t≤时，都有y1＞y2，直接写出a的取值范围．

【答案】（1）（，）；（2）①﹣1＜a＜0；②．

【分析】

（1）利用顶点公式（，）计算；

（2）①分类讨论，a＞0，a＜0两种情况，结合二次函数的增减性代入t＝0求a的取值范围；②结合二次函数的增减性和对称性求a的取值范围．

【详解】

解：（1）＝，＝，

∴抛物线的顶点为：（，）．

（2）①t＝0时，M（0，0），N（a，y2），

∵对任意的a，都有y1＞y2，

∴y2＜0，

当a＞0时，如图（1）可知，函数为增函数，

∵点N在点M的右侧，不符合题意，舍去；

当a＜0时，如图（2），此时点N在y轴左侧，

∵y2＜0，

∴点N不能在图象G2与x轴交点的左侧，

令ax2+x＝0，解得：x1＝0，x2＝，

∴G1与x轴的交点为（，0），

∴G2与x轴的交点为（，0），

∴＜a＜0，

解得：﹣1＜a＜0．

②由①知，﹣1＜a＜0．

∴G1的对称轴x＝﹣＞，且﹣﹣＝﹣＞1，

当M、N关于x＝﹣对称时，解得：t＝，此时y1＝y2，

∵y1＞y2，

∴＜，

解得：，

∴．

17．在平面直角坐标系中，点A是抛物线的顶点．

（1）求点A的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）若射线与x轴所成的锐角为，求m的值；

（3）将点向右平移4个单位得到点Q，若抛物线与线段只有一个公共点，直接写出m的取值范围____．

【答案】（1）；（2）或；（3）且m≠2

【分析】

（1）直接将解析式配成顶点式，然后可求点A的坐标；

（2）由OA与x轴所成的锐角为，则点A的坐标轴距离相等，所以需要分类讨论，即横坐标与纵坐标相等，或者横坐标与纵坐标互为相反数，同时也可以发现点A在直线上运动，然后问题可求解；

（3）先由平移知识可以得到点Q的坐标，且PQ∥x轴，画出草图，可以发现，顶点A所在直线也经过点P，并且当A与P重合时，此时m取最小值，当A沿直线向上运动时，m值越来越大，最大值位置是当抛物线刚好经过点Q，同时要注意排除抛物线与直线PQ的两个交点均落在线段PQ上的特殊情况即可．

【详解】

解：（1）把抛物线配成顶点式为：，

∴顶点；

（2）设，消掉m，可得，

∴点A在直线上运动，

∴点A所在象限可能为第一、第二、第三象限，

∵射线OA与x轴所成的锐角为，

∴可以分两类讨论：

①当A在第一、第三象限时，，

解得：m=-1，

②当A在第二象限时，，

解得：，

∴综上所述：或-1；

（3）当点向右平移4个单位得到点Q，则有，且PQ∥x轴，

∵抛物线与线段只有一个公共点，且顶点A在直线上运动，

∴由图1可得，当顶点A与P重合时，符合条件，此时m=0，

如图2，

当顶点A沿直线向上运动时，抛物线与直线PQ均有两个交点，当抛物线经过点Q时，即当x=4，y=1时，，

解得：或8，

当时，抛物线为，它与线段PQ的交点为P和Q，有两个交点，不符合题意，舍去，

当时，抛物线对称轴右侧的部分刚好经过点Q，符合题意；

∴当且m≠2时，抛物线与线段只有一个公共点；

故答案为且m≠2．

18．在平面直角坐标系中，抛物线（）．

（1） 求抛物线的对称轴及抛物线与y轴交点坐标．

（2） 已知点B（3，4），将点B向左平移3个单位长度，得到点C．若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．

【答案】（1），（0，－3a）；（2），或a=－1

【分析】

（1）运用公式x=-求出对称轴，令x=0，得y=-3a，即可求得抛物线与y轴的交点坐标；

（2）分三种情况：①当a＞0时，②当a＜0时，抛物线的顶点在线段BC上，③当a＜0时，若抛物线的顶点不在线段BC上，分别进行讨论即可．

【详解】

解：（1）∵抛物线y=ax2-2ax-3a，

∴x=−，

∴抛物线的对称轴是直线x=1，

令x=0，y=-3a，

∴抛物线与y轴交点坐标为E（0，-3a）；

（2）y=ax2-2ax-3a=a(x2-2x-3)=a(x+1)(x-3)，

∴抛物线与x轴交于点A（-1，0），D（3，0），与y轴交于点E（0，-3a），顶点坐标是（1，-4a）．

由题意得点C（0，4），又B（3，4），

①当a＞0时，如图1，显然抛物线与线段BC无公共点；

②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段BC上，如图2，

则顶点坐标为（1，4），

∴-4a=4，

∴a=-1；

③当a＜0时，若抛物线的顶点不在线段BC上，如图3，由抛物线与线段BC恰有一个公共点，

得-3a＞4，

∴a＜−，

综上，a的取值范围是a＜−，或a=-1．