考点13一次函数（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北京版）

考点13一次函数

考点总结

一、一次函数的图象

1．一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b。

注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确；

②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象。

2．一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．

当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移。

注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；

②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；

③两条直线相交，其交点都适合这两条直线。

二、一次函数图象与系数的关系

由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．

①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；

②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；

③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；

④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限。

三、一次函数图象上点的坐标特征

一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b），直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b。

四、一次函数图象与几何变换

直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）

①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；

（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）

②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；

（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）

③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．

（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）

五、一次函数与一元一次不等式

1．一次函数与一元一次不等式的关系

从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；

从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

2．用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）

对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．

当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；

当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．

六、一次函数的应用

1．分段函数问题

分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际；

2．函数的多变量问题

解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数；

3．概括整合

（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用；

（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。

真题演练

一、单选题

1．某农科所响应“乡村振兴”号召，为某村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗先在农科所的温室中生长，平均高度长到大约20cm时，移至该村的大棚内继续生长．研究表明，60天内，这种瓜苗的平均高度y（cm）与生长时间x（天）的函数关系的图象如图所示．当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，此时瓜苗在该村大棚内生长的天数是（ ）

A．10天 B．18天 C．33天 D．48天

【答案】B

【分析】

利用待定系数法求出瓜苗长到大约80cm时的解析式，把y＝80代入解析式求出x的值即可解答．

【详解】

解：∵ 当这种瓜苗长到大约80cm时，是在15＜x≤60这段函数上，

当15＜x≤60时，设y＝kx+b（k'≠0），

则：，

解得，

∴，

当y＝80时，，解得x＝33，

33﹣15＝18（天），

∴这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果；

故选：B．

2．世界各国温度的计量单位尚不统一，常用的有摄氏温度（℃）和华氏温度（°F）两种，它们之间的换算关系如下表所示：

那么当华氏度与摄氏度对应相等时的温度值是（   ）

A．32 B．－20 C．－40 D．40

【答案】C

【分析】

设一次函数的解析式为F=kC+b，由待定系数法求出其解，再令F=C即可得到答案．

【详解】

解：根据题意，可知摄氏温度（℃）和华氏温度（°F）关系为一次函数，设F=kC+b（k≠0）．

把C=0，F=32；C=5，F=41 代入F=kC+b，得

，解得：

∴F关于C的函数解析式为F=1.8C+32

当华氏度与摄氏度对应相等，即F=C时，得：

C=1.8C+32解得：C=－40．

故选C．

3．甲、乙两人相约从A地到B地，甲骑自行车先行，乙开车，两人均同一路线上速匀行驶，乙到B地后即停车等甲．甲、乙两人之间的距离y（千米）与甲行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，则乙从A地到B地所用的时间为（　　）

A．0.25小时 B．0.5小时 C．1小时 D．2.5小时

【答案】B

【分析】

根据速度=路程÷时间，可求甲骑自行车的速度为10÷1=10千米/小时，根据乙出发0.25小时追上甲，设乙速度为a千米/小时，列方程求出乙速度，设追上后到达B地用b小时，根据追及路程列方程求解，再把两个时间相加即可求解．

【详解】

解：由图像可得：甲骑自行车的速度为10÷1=10千米/小时，乙出发0.25小时追上甲，

设乙速度为a千米/小时，

0.25a=1.25×10，

解得：a=50，

∴乙速度为50千米/小时，

设乙追上甲后到达B地用b小时，

50b-10b=10，

解得：b=0.25，

∴乙从A地到B地所用的时间为0.25+0.25=0.5（小时），

故选：B．

4．已知某函数的图象过，两点，下面有四个推断：

①若此函数的图象为直线，则此函数的图象和直线平行

②若此函数的图象为双曲线，则此函数的图象分布在第一、三象限

③若此函数的图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象一定与轴的负半轴相交

④若此函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象对称轴在直线左侧

所有合理推断的序号是（   ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

【答案】D

【分析】

①利用待定系数法求出一次函数解析式，根据一次函数平移的性质解答；②待定系数法求出函数解析式，根据设反比例函数的图象性质解答；

③根据题意画出图象，由此得到结论；④根据二次函数的对称性解答．

【详解】

①设一次函数解析式为：y=kx+b

∵一次函数的图像过点A（2,1）,B（-1,-2），将两点坐标代入解析式，得：

，解得，

所以该一次函数的解析式为：y=x-1，

∴此函数的图象和直线不平行，故①错误；

②设反比例函数解析式为，将点A坐标代入，得，

∴反比例函数解析式为，

∵k=2>0，

∴函数的图象的两个分子分布在第一、三象限，故②正确；

③∵函数的图象为抛物线，且开口向下，过，，

当对称轴在直线左侧时，抛物线不与y轴的负半轴相交，如图1，故③错误；

④函数的图象为抛物线，且开口向上，过，，

∵点A在第一象限，点B在第三象限，

∴点A与点B不是抛物线上关于对称轴对称的两个点，

∴此函数图象对称轴在直线左侧，故④正确；

故选：D．

．

5．某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米／时，两车之间的距离y(千米)与货车行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：

①快递车从甲地到乙地的速度为100千米／时；②甲、乙两地之间的距离为120千米；③图中点B的坐标为(，75)；④快递车从乙地返回时的速度为90千米／时．以上4个结论中正确的是(      )

A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④

【答案】A

【分析】

要解答本题需要熟悉一次函数的图象特征，再根据一次函数的性质和图象结合实际问题对每一项进行分析即可得出答案．

【详解】

①设快递车从甲地到乙地的速度为x千米/时，由图像可得

3(x−60)=120，

x=100.

故①正确；

②因为120千米是快递车到达乙地后两车之间的距离，不是甲、乙两地之间的距离，

故②错误；

③因为快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用45分钟，

所以图中点B的横坐标为3+=3，

纵坐标为120−60×=75，

故③正确；

④设快递车从乙地返回时的速度为y千米/时,则返回时与货车共同行驶的时间为(4−3)小时此时两车还相距75千米，由题意，得

(y+60)( 4−3)=75，

y=90，

故④正确．

其中正确的是：①③④．

故选A.

6．弹簧原长(不挂重物)15cm，弹簧总长L(cm)与重物质量x(kg)的关系如图所示：

当重物质量为7.5kg（在弹性限度内）时，弹簧的总长L(cm)是（      ）

A．22.5 B．25 C．27.5 D．30

【答案】D

【分析】

根据表格数据，建立数学模型，进而利用待定系数法可得函数关系式，当x=7.5时，代入函数解析式求值即可．

【详解】

解：根据表格中数据：当重物质量每增加0.5kg，弹簧总长增加1cm可得：

弹簧总长和重物质量满足一次函数关系，
 

设弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系式为L=kx+b，
将（0.5，16）、（1.0，17）代入，得：，

解得，

∴L与x之间的函数关系式为：L=2x+15；
当x=7.5时，L=2×7.5+15=30（cm）
故重物为7.5kg时弹簧总长L是30cm，
故选D．

7．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，平移线段AB，使点A落在点处，则点B的对应点的坐标为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由点平移后可得坐标的变化规律，由此可得点B的对应点的坐标．

【详解】

解：由点平移后可得坐标的变化规律是：左移4个单位，上移1个单位，

点B的对应点的坐标．

故选C．

8．弹簧原长（不挂重物）15cm，弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系如下表所示：

当重物质量为5kg（在弹性限度内）时，弹簧总长L（cm）是（　　）

A．22.5 B．25 C．27.5 D．30

【答案】B

【分析】

根据表格数据，建立数学模型，进而利用待定系数法可得函数关系式，当x＝5时，代入函数解析式求值即可．

【详解】

设弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系式为L＝kx+b，

将（0.5，16）、（1.0，17）代入，得：，

解得：，

∴L与x之间的函数关系式为：L＝2x+15；

当x＝5时，L＝2×5+15＝25（cm）

故重物为5kg时弹簧总长L是25cm，

故选B．

9．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线AC－CB运动，到点B停止．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD的长y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图2所示．当点P运动5秒时，PD的长是（ ）

A．1.5cm B．1.2cm C．1.8cm D．2cm

【答案】B

【详解】

由图2知，点P在AC、CB上的运动时间时间分别是3秒和4秒，

∵点P的运动速度是每秒1cm ，

∴AC=3，BC=4．

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴根据勾股定理得：AB=5．

如图，过点C作CH⊥AB于点H，则易得△ABC∽△ACH．

∴，即．

∴如图，点E（3，），F（7，0）．

设直线EF的解析式为，则

，

解得：．

∴直线EF的解析式为．

∴当时，．

故选B．

10．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】A

【分析】

根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．

【详解】

作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，如图所示，

由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y， ∵AD∥x轴，

∴∠DAO+∠AOD=180°，

 ∴∠DAO=90°，

∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，

∴∠OAB=∠DAC，

在△OAB和△DAC中，，

∴△OAB≌△DAC（AAS），

 ∴OB=CD，

∴CD=x，

∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，

∴y=x+1（x＞0）．

二、填空题

11．若一次函数的图象可以由的图象平移得到，且经过点（0，1），则这个一次函数的表达式为_________．

【答案】

【分析】

由一次函数的图象平移，可得，由经过点（0，1），可得即可．

【详解】

解：∵一次函数的图象可以由的图象平移得到，

∴，

又∵经过点（0，1），

∴，

∴一次函数．

故答案为：．

12．某产品的盈利额（即产品的销售价格与固定成本之差）记为，购买人数记为，其函数图象如图（1）所示．由于目前该产品盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2），图（3）中的实线分别为调整后与的函数图象．

给出下列四种说法：

①图（2）对应的方案是：提高销售价格，并提高成本；

②图（2）对应的方案是：保持销售价格不变，并降低成本；

③图（3）对应的方案是：提高销售价格，并降低成本；

④图（3）对应的方案是：提高销售价格，并保持成本不变；

其中正确的说法是____．

【答案】②④

【分析】

解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．

【详解】

解：由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，

故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即④对；

故答案为：②④．

13．一个函数满足过点，且当时，y随x的增大而减小，该函数可以为_________．

【答案】（答案不唯一）

【分析】

没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数（可排除），二次函数三方面考虑，根据每种函数的性质确定合数的系数即可．

【详解】

解：符合题意的函数解析式可以是，等，（答案不唯一）
故答案为：，答案不唯一；

14．若点P在函数的图象上，且到x轴的距离等于1，则点P的坐标是______________．

【答案】（-1，1）或（1，1）

【分析】

根据点P到x轴的距离等于1可得y=1或y=-1，根据点P在函数的图象上，可得当y=1时，x=1或-1，当y=-1时，x无解，从而得出答案．

【详解】

解：∵点P到x轴的距离等于1，

∴点P的纵坐标为1或-1，

即y=1或y=-1，

∵点P在函数的图象上，

当y=1时，x=1或-1，

∴点P(-1,1)或(1,1)，

当y=-1时，x无解，

综上所述，点P的坐标是(-1,1)或(1,1)．

故答案为(-1,1)或(1,1)．

15．在平面直角坐标系中，，，有以下4种说法：

①一次函数的图象与线段无公共点；

②当时，一次函数的图象与线段无公共点；

③当时，反比例函数的图象与线段无公共点；

④当时，二次函数的图象与线段无公共点．

上述说法中正确的是__________．

【答案】②③

【分析】

根据一次函数、反比例函数、二次函数的性质逐条判断即可．

【详解】

解：一次函数经过点，故①错误；

一次函数刚好经过点，向下平移直线，此时，直线与线段无公共点，故②正确；

反比例函数的图象刚好经过点，当时，反比例函数的图象沿着向远离原点的方向平移，与线段无公共点，故③正确；

二次函数的图象一定经过，故④错误；

故答案为：②③．

三、解答题

16．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到．

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）由图象的平移及题意可直接求得一次函数的解析式；

（2）由题意可先假设函数与一次函数的交点横坐标为，则由（1）可得：，然后结合函数图象可进行求解．

【详解】

解：（1）由一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到可得：一次函数的解析式为；

（2）由题意可先假设函数与一次函数的交点横坐标为，则由（1）可得：

，解得：，

函数图象如图所示：

∴当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值时，根据一次函数的k表示直线的倾斜程度可得当时，符合题意，当时，则函数与一次函数的交点在第一象限，此时就不符合题意，

综上所述：．

17．对于平面直角坐标系中的一点和，给出如下的定义：若上存在一个点，连接PA，将射线PA绕点P顺时针旋转90°得到射线PM，若射线PM与相交于点B，则称为的直角点．

（1）当的半径为时，

①在点、、中，的直角点是    ．

②已知直线：，若直线上存在的直角点，求的取值范围．

（2）若，的半径为，直线 上存在的直角点，直接写出的取值范围．

【答案】（1）①D，E；②；（2）

【分析】

（1）①如图，由定义可得：都在上，且 再分别画出图形，即可得到答案；②由定义可知，如图的直角点，分布在以为圆心以为半径的圆上或圆内，结合①可得直线的两个极限位置，从而可得答案；

（2）先求解与轴的交点坐标，再求解 再分两种情况讨论：情况1：q＞0时，结合①画出图形求解，再利用对称性得到．情况2：q＜0时， ，从而可得答案．

【详解】

解：（1）①如图，由定义可得：都在上，且

当重合时，则，此时

故是的直角点，

如图，同理可得；是的直角点，

当时，＜

不是的直角点，

故答案为：D，E；

②由定义可知，如图的直角点，分布在以为圆心以为半径的圆上或圆内

由①可得：当直线过时，

当直线过时，

所以；

（2） ，

当，则 当 则

所以直线与轴交点为，与轴的交点

情况1：q＞0时，

如图（半径为）与直线相切时，

∵，，

∴，

∴，

∴．

情况2：q＜0时，根据对称性，，

∴的取值范围为

18．在平面直角坐标系中，直线l1：y1＝2x与直线l2：y2＝ax+b（ab≠0）相交于点P（m，2）．

（1）求m的值；

（2）已知直线l3：y3＝bx+a．

①判断点P是否在直线l3上，并说明理由；

②若a＜0，直接写出当y2＞y3时，x的取值范围．

【答案】（1）1；（2）①点P在直线l3上，理由见解析；②．

【分析】

（1）把点代入，即可求得m的值；

（2）①由点在直线l2：上，得到，即可得到，把P的坐标代入即可判断；

②由，即可得到，求得．

【详解】

解：（1）∵点在直线l1：上，

∴，

解得：．

（2）①点P在直线l3上，理由如下：

∵点在直线l2：上

∴，

∴，

∴，

∴，

当x＝1时，y＝2﹣a+a＝2，

故点P在直线y3上；

②∵，

∴，

＝，

∵，

∴，

∴．

∴．P．