2021学年9.2 一元一次不等式第一课时教学设计

教学目标

1.了解一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的解法.

2.在依据不等式的性质探究一元一次不等式解法的过程中，加深对化归思想的体会，并能在数轴上表示其解集.

3.通过观察一元一次不等式的解法，对比解一元一次方程的步骤，让学生自己归纳解一元一次不等式的基本步骤，从而使学生体会到知识之间的内在联系，培养学生类比的学习方法.

4.学生自主探索，培养学生学数学的好奇心与求知欲，使他们能积极参与数学学习活动，锻炼克服困难的意志，增强自信心.

教学重难点

重点：一元一次不等式的概念及判断，会解一元一次不等式.

难点：解一元一次不等式时，不等号方向的改变.

课前准备

多媒体课件

教学过程

导入新课

教师：在前面我们学习了不等式的性质，现在同学们回顾以下知识.

(1)什么是不等式的解？说出不等式2x＜-4的一个解.

(2)不等式的性质有哪些？请利用不等式的性质解不等式-2x＞4.

(3)将不等式的解集在数轴上表示时，向左画表示什么？向右画呢？实心圆点表示什么？空心圆圈呢？

(4)什么叫一元一次方程？

学生分别回答，如有不足，其他同学补充，教师最后强调：只含有一个未知数，未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程.一元指的是一个未知数，一次指的是未知数的指数是1.

探究新知

探究点一：一元一次不等式的定义.

教师：大家看下面这个问题.

观察下面的不等式，它们有哪些共同特征？

x-7＞26，3x＜2x+1，x＞50，-4x＞3.

师生活动

学生回答，教师可以引导学生从不等式中未知数的个数和次数两个方面去观察不等式的特点，并与一元一次方程的定义类比.

师生共同归纳获得：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.

设计意图

引导学生通过观察给出的不等式，归纳出它们的共同特征，进而得到一元一次不等式的定义，培养学生观察和归纳的能力.

教师：知道了一元一次不等式的定义，你会辨别吗？大家看例1.

例1  下列不等式是一元一次不等式吗？

(1)2x-2.5≥15；  (2)5+3x＞240；

(3)x＜-4；  (4)＞1.

师生活动

学生回答，如有不足，其他同学补充，得出结论.

(1)(2)(3)是一元一次不等式；

(4)不是，因为x在分母中，不是整式.

教师最后总结：我们可以得出判断一元一次不等式的条件有三个，即未知数的个数是1，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式.

设计意图

通过例1的练习，加深学生对一元一次不等式概念的理解和掌握.

探究点二：一元一次不等式的解法.

教师：一元一次方程与一元一次不等式的定义非常类似，它们的解法是否有联系，大家看下面的练习.

(1)解一元一次方程2x＝5x+21.

(2)用不等式的性质解一元一次不等式2x＞5x+21.

学生独立完成，并在黑板上板演，最后在教师的引导下，得出解题过程.

(1)2x＝5x+21.

解：移项，得2x-5x＝21，①

合并同类项，得-3x＝21，②

系数化为1，得x＝-7.③

(2)2x＞5x+21.

解：根据不等式的性质1，不等式两边同时减去5x，

得2x-5x＞5x+21-5x，

即2x-5x＞21，①

所以-3x＞21，②

根据不等式的性质3，不等式两边同时除以-3，

得x＜-7.③

教师：解方程的第①步与解不等式的第①步有什么联系？从中你能得到什么结论？学生回答，如有不足，其他同学补充，最后教师总结：由2x＞5x+21可得到2x-5x＞21，也就是说解不等式和解方程一样，也可以“移项”，即把不等式一边的某项变号后移动另一边，而不改变不等号的方向.

教师：解方程的第②步与解不等式的第②步有什么共同点？解方程的第③步和解不等式的第③步有什么相同和不同？

学生回答，如有不足，其他同学补充，最后教师归纳总结：解方程的第②步和解不等式的第②步都依据的是合并同类项法则，第③步都是把未知数的系数化为1，只是依据的性质不同.

设计意图

通过对比不等式与方程的解法，让学生思考并感悟解不等式的过程与步骤，从而获得解一元一次不等式的思路.

教师：通过解一元一次方程和用不等式的性质解一元一次不等式的对比，你认为应该怎样快速简捷地解一元一次不等式？大家看例2.

例2  解下列不等式，并在数轴上表示解集：

(1)2(1+x)＜3；

(2)≥.

师生活动

学生在教师问题的引导下，思考如何将两个具体的一元一次不等式变形为最简形式.

(1)教师：解一元一次不等式的目标是什么？

师生活动

学生回答，解一元一次不等式的目标是将一元一次不等式变形为x＞a(x≥a)或x＜a(x≤a)的形式.

教师：你能类比解一元一次方程的步骤，解第(1)小题吗？

学生回答，教师引导，得出结论并板书.

解：去括号，得2+2x＜3，

移项，得2x＜3-2，

合并同类项，得2x＜1，

系数化为1，得x＜.

这个不等式的解集在数轴上的表示如图1所示.

图1

(2)教师：对比不等式≥与2(1+x)＜3的两边，它们在形式上有什么不同?

学生回答，不等式≥含有分母.

教师：怎样将不等式≥变形，使变形后的不等式不含分母？

学生回答，如有不足，其他同学补充，在教师引导下得出结论：在不等式的左右两边同时乘分母的最小公倍数，从而去掉分母.

教师：怎样解这个不等式，请写出解题过程.

学生独立完成，并在黑板上板演，如有不足，其他同学纠正，得到解题过程.

解：去分母，得3(2+x)≥2(2x-1)，

去括号，得6+3x≥4x-2，

移项，得3x-4x≥-2-6，

合并同类项，得-x≥-8，

系数化为1，得x≤8.

这个不等式的解集在数轴上的表示如图2所示.

图2

教师：通过这两个小题，你认为解一元一次不等式有哪些基本步骤？

学生回答，师生共同总结解一元一次不等式的基本步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.去分母和系数化为1时应注意：若分母或未知数的系数是正数，则不等号的方向不变；若分母或未知数的系数是负数，则不等号的方向改变.

教师：解一元一次不等式的每一步变形的依据是什么？

教师引导学生归纳：去分母的依据是不等式的性质2或3，去括号的依据是去括号法则，移项的依据是不等式的性质1，合并同类项的依据是合并同类项法则，系数化为1的依据是不等式的性质2或3.

设计意图

通过具体的操作，归纳出解一元一次不等式的基本步骤及每一步变形的依据，提高学生的总结、归纳能力.

探究点三：解一元一次不等式和解一元一次方程有哪些相同之处和不同之处？

教师：学习了解一元一次不等式，你认为解一元一次不等式和解一元一次方程有哪些相同之处和不同之处？

学生在教师的引导下归纳总结.

解一元一次不等式和解一元一次方程的相同之处是：

(1)基本步骤相同：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.

(2)基本思想相同：都是运用化归思想，将一元一次方程或一元一次不等式变形为最简形式.

不同之处是：

(1)解法依据不同：解一元一次不等式的依据是不等式的性质，解一元一次方程的依据是等式的性质.

(2)最简形式不同，一元一次不等式的最简形式为x＞a(x≥a)或x＜a(x≤a)的形式，一元一次方程的最简形式是x＝a的形式.

设计意图

归纳出一元一次不等式的解法之后，引导学生对比一元一次不等式与一元一次方程的解法，思考二者的相同与不同之处，加深对一元一次不等式的解法的理解，体会化归思想和类比思想.

例3  解下列不等式，并在数轴上表示其解集.

(1)5x+15＞4x-1；  (2)2(x+5)≤3(x-5)；

(3)＜；  (4)≥+1.

师生活动

四个学生代表板演，其余学生独立做在练习本上.

(1)5x+15＞4x-1.

解：移项，得5x-4x＞-1-15，

合并同类项，得x＞-16.

这个不等式的解集在数轴上的表示如图3所示.

图3

(2)2(x+5)≤3(x-5).

解：去括号，得2x+10≤3x-15，

移项，得2x-3x≤-15-10，

合并同类项，得-x≤-25，

系数化为1，得x≥25.

这个不等式的解集在数轴上的表示如图4所示.

图4

(3)＜.

解：去分母，得3(x-1)＜7(2x+5)，

去括号，得3x-3＜14x+35，

移项，得3x-14x＜35+3，

合并同类项，得-11x＜38，

系数化为1，得x＞-.

这个不等式的解集在数轴上的表示如图5所示.

图5

(4)≥+1.

解：去分母，得2(x+1)≥3(2x-5)+12，

去括号，得2x+2≥6x-15+12，

移项，得2x-6x≥-15+12-2，

合并同类项，得-4x≥-5，

系数化为1，得x≤.

这个不等式的解集在数轴上的表示如图6所示.

图6

设计意图

学生独立按照解一元一次不等式的步骤解不等式.

课堂练习

(见导学案“当堂达标”)

参考答案

1.B  2.D  3.C  4.A  5.C

6.6  解析：将不等式2a-3x＜6两边都减去2a，

得-3x＜6-2a.

两边都除以-3，得x＞-.

又∵ x＞2，∴ -＝2，解得a＝6.

7.解：(1)去括号，得4x-2>3x-1，

移项，得4x-3x>2-1，

合并同类项，得x>1.

(2)A

8.解：(1)去小括号，得(x-3x+2)-3≤0.

再去括号，得x-x+1-3≤0.

移项、合并同类项，得-x≤2.

系数化为1，得x≥-2.

这个不等式的解集在数轴上的表示如图7所示.

图7

(2)去分母，得8(1-x)-3(2x+1)＜12.

去括号，得8-8x-6x-3＜12.

移项、合并同类项，得-14x＜7.

系数化为1，得x＞-.

这个不等式的解集在数轴上的表示如图8所示.

图8

(3)将小数化为整数，得-≤.

去分母，得6(4x-10)-15(5-x)≤10(3-2x).

去括号，得24x-60-75+15x≤30-20x.

移项、合并同类项，得59x≤165.

系数化为1，得x≤.

这个不等式的解集在数轴上的表示如图9所示.

图9

(4)去分母，得16+8x+4x+2x+x＜16x.

移项、合并同类项，得-x＜-16.

系数化为1，得x＞16.

这个不等式的解集在数轴上的表示如图10所示.

图10

(见导学案“课后提升”)

参考答案

1.解：去括号，得kx+3k＞x+4.

移项、合并同类项，得(k-1)x＞4-3k.

由于k-1取值不确定，故需分情况讨论：

当k-1＜0时，解集为x＜；

当k-1＝0时，无解；

当k-1＞0时，解集为x＞.

2.解：解关于x的不等式，得2(ax-5)-(2-ax)>0，

继续整理，得2ax-10-2+ax>0，3ax>12，ax>1.

因为该不等式的解集是x>1，所以a＝1，所以a＝4.

课堂小结

教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，请学生回答以下问题：

1.怎样解一元一次不等式？解一元一次不等式和解一元一次方程有哪些相同之处和不同之处？

2.解一元一次不等式运用了哪些数学思想？

布置作业

教材第126页习题9.2第1，2题

板书设计

教学反思