浙江省宁波市五校联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

这是一份浙江省宁波市五校联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸等内容，欢迎下载使用。

考生须知：
1．本卷共5页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求，再求补集可得答案.
【详解】集合，
则.
故选：A.
2. “”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用充分必要条件的判断方法判断即可.
【详解】当时，取，
显然无意义，故不成立，则充分性不成立；
当时，，则，
所以，则必要性成立；
综上：“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3. 已知命题p：“，”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由命题为真命题，则，解不等式得出实数的取值范围即可．
【详解】命题为假命题，
所以为真命题，
则，解得
故选：D
4. 已知，，且，下列结论中错误的是（ ）
A. 的最大值是B. 的最小值是2
C. 的最小值是9D. 的最小值是
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本不等式判断各选项即可.
【详解】对于A，由，，且，由，当且仅当时，等号成立，
所以，解得，即的最大值为，故A正确；
对于B，由，
当且仅当时，等号成立，所以最小值为，故B错误；
对于C，，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是9，故C正确；
对于D，由，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值是，故D正确.
故选：B.
5. 设是函数的一个减区间，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象的翻折变换作出函数图象，观察图象可得.
【详解】函数，
先作函数的图象，如图：
根据函数图象的翻折变换可得的图象如图：
由图可知，当时，是函数的一个减区间，
所以，实数的取值范围为.
故选：A
6. 已知函数是偶函数，是奇函数，满足，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据奇偶性求得函数，然后再代入计算函数值．
【详解】，则，
又函数是偶函数，是奇函数，则，
所以，
，
故选：B．
7. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数和幂函数的单调性即可比较.
【详解】在为增函数，
，即，
为减函数，
，即，
，
故选：C.
【点睛】本题考查了指数函数和幂函数的单调性，属于基础题.
8. 已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，），则函数f（x）为（ ）
A. 奇函数且在上单调递增B. 偶函数且在上单调递减
C. 非奇非偶函数且在上单调递增D. 非奇非偶函数且在上单调递减
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知求出a=，从而函数f（x）=，由此得到函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．
【详解】∵幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，），
∴2a=，解得a=，
∴函数f（x）=，
∴函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．
故选C．
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
9. 下列各组函数中是同一函数的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】BC
【解析】
【分析】逐一判断定义域和对应关系即可.
【详解】A选项：由得的定义域为，
由解得的定义域为，A错误；
B选项：由得的定义域为，
由解得的定义域为，
且，故B正确；
C选项：和的定义域都是R，，对应关系相同，故C正确；
D选项：对应关系不同，故D错误.
故选：BC
10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集是或
【答案】ACD
【解析】
【分析】由不等式与方程之间的关系及题设条件得到之间的关系，然后逐项分析即可得出正确选项.
【详解】由题意不等式的解集为或，则可知，即A正确；
易知，和是方程的两个实数根，
由韦达定理可得，则；
所以不等式即为，解得，所以B错误；
易知，所以C正确；
不等式即为，
也即，解得或，所以D正确.
故选：ACD
11. 如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据函数单调性的等价条件进行判断即可．
【详解】由函数单调性的定义可知，若函数在给定的区间上是增函数，
则与同号，由此可知，选项A，B正确；
对于选项C，D，因为的大小关系无法判断，
则的大小关系确定也无法判断，故C，D不正确.
故选：AB
【点睛】结论点睛：
若函数在上是增函数，对于任意的，则有（或者）；
若函数在上是减函数，对于任意的，则有（或者）；
12. 形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（ ）
A. 4B. 12C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】依题意得到函数的单调性，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的最值，即可得到方程，解得即可.
【详解】依题意可得在上单调递减，在上单调递增，
若，即时在上单调递增，所以，
，
所以，解得；
若，即时在上单调递减，所以，
，
所以，解得（舍去）；
当，即时在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
若且，即，，
所以，解得或（舍去）；
若且，即，，
所以，解得或（舍去）；
综上可得或.
故选：AD
非选择题部分
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂的运算法则计算．
【详解】，
故答案为：．
14. 集合的子集个数是______．
【答案】32
【解析】
【分析】确定出集合中元素个数，由子集的概念可得．
【详解】由已知，有5个元素，它子集个数为．
故答案为：32.
15. 若函数在区间上既有最小值又有最大值，那么实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】当，讨论函数单调性，当时，利用函数图象分析可得.
【详解】当时，在上，对称轴为，
所以，函数在上单调递增，所以有最大值，无最小值；
当时，在上，在上单调递增，所以有最大值，无最小值；
当时，，函数图象如图所示，
在和上单调递增，在上单调递减，
要使在上既有最小值又有最大值，
则，即实数的取值范围为.
故答案为：
16. 设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值是______．
【答案】##
【解析】
【分析】由奇偶性求得的解析式，从而可得，然后由函数的单调性求解不等式．
详解】由已知时，，即，
所以在R上是增函数，且，
不等式化为，所以，，
所以，在时恒成立，
，，所以的最小值是，
故答案为：．
四、解答题（共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知集合，．
（1）当时，求，；
（2）若时，求实数的取值范围．
【答案】（1），.
（2）.
【解析】
【分析】（1）先解一元二次不等式得集合A，然后由集合的运算可得；
（2）根据集合的包含关系可解.
【小问1详解】
由解得，
当时，，故，.
【小问2详解】
由题知，
（ⅰ）当，即时，符合题意；
（ⅱ）当，即时，，
因为，所以，解得，所以．
综上所述，实数m的取值范围为.
18. 已知命题，命题.
（1）若命题为假命题，求实数的取值范围；
（2）若命题和均为真命题，求实数取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由条件可得命题为真命题，列出不等式，即可得到结果；
（2）根据题意，先求得当命题为真命题时的范围，即可得到为真命题时的范围，再结合（1）中的结论，即可得到结果.
【小问1详解】
若命题为假命题，则命题为真命题，
即在恒成立，所以，
即实数的取值范围是.
【小问2详解】
当命题为真命题时，因为，
所以，解得或，
因为为真命题，则，
又由（1）可知，命题为真命题时，
所以且，即实数的取值范围是.
19. 已知二次函数．
（1）记的最小值为，求的解析式；
（2）记的最大值为，求的解析式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合二次函数的图像和性质，分类讨论单调性和最小值，求出，最后写成分段函数的形式即可；
（2）结合二次函数的图像和性质，分类讨论函数最大值，求出，最后写成分段函数的形式即可．
【小问1详解】
二次函数的图像抛物线开口向上，对称轴为直线，
（）当，即时，此时在区间上单调递增，所以的最小值；
（）当，即时，此时在区间上单调递减，所以的最小值；
（）当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时的最小值；
综上所述，.
【小问2详解】
二次函数的图像抛物线开口向上，对称轴为直线，
（）当，即时，右端点距离对称性较远，此时的最大值；
（）当，即时，左端点距离对称轴较远，此时的最大值；
综上所述，.
20. （1）已知正数满足，求的最小值；
（2）已知正数满足，求的最小值．
【答案】（1）25；（2）.
【解析】
【分析】（1）（2）妙用“1”求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，
当且仅当，即时，取得最小值，最小值为25.
（2）因为，
所以
，
当且仅当，即时，取得最小值，最小值为.
21. “绿色低碳、节能减排”是习近平总书记指示下的新时代发展方针.某市一企业积极响应习总书记的号召，采用某项新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，以达到减排效果.已知该企业每月的二氧化碳处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系式可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
（1）该企业每月处理量为多少吨时，才能使其每吨的平均处理成本最低？
（2）该市政府也积极支持该企业的减排措施，试问该企业在该减排措施下每月能否获利？如果获利，请求出最大利润；如果不获利，则该市政府至少需要补贴多少元才能使该企业在该措施下不亏损？
【答案】（1）500 （2）不能获利，该市政府需要补贴元
【解析】
【分析】（1）由题意列出每吨二氧化碳的平均处理成本的表达式，进而结合基本不等式求解即可；
（2）由题意列出该企业每月的利润的函数表达式，进而结合二次函数的性质求解即可.
【小问1详解】
由题意，，
所以每吨二氧化碳的平均处理成本为元，
当且仅当，即时，等号成立，
所以该企业每月处理量为500吨时，才能使其每吨的平均处理成本最低.
【小问2详解】
设该企业每月的利润为，
则，
因为，
所以当时，函数取得最大值，即，
所以该企业每月不能获利，该市政府至少需要补贴元才能使该企业在该措施下不亏损.
22. 已知函数是定义域上的奇函数，且．
（1）判断并用定义证明函数在上的单调性；
（2）设函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围；
（3）设函数，若对，都有，求实数的取值范围．
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数性质和已知列方程求出a，b，然后按照定义法证明单调性的步骤取值、作差、化简、定号、下结论即可；
（2）利用一元二次方程根的分布列不等式组求解可得；
（3）令换元得，将问题转化为求最值问题，然后由求解可得.
【小问1详解】
由，且是奇函数，得，
于是，解得，即．
经检验，是奇函数，满足题意.
函数在上单调递减，在上单调递增，
证明如下：任取，且，
则，
当，且，
则，，∴，
∴，即，
所以，函数在上单调递减．
当，且，
则，，∴，
∴，即
所以，函数在上单调递增．
【小问2详解】
函数在上有两个零点，即方程在上有两个不相等的实数根，
所以在上有两个不相等的实数根，
则，解得．
【小问3详解】
由题意知，
令，则，
由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，
∴，
因为函数的对称轴方程为，
∴函数在上单调递增，
当时，取得最小值，；
当时，取得最大值，．
所以，，
又因为对任意的，都有恒成立，
∴，
即，解得，