浙江省宁波市奉化高中、慈溪市三山高中等六校2019-2020学年高二下学期期中联考数学试题 Word版含解析

2019学年第二学期期中六校联考

高二数学学科试卷

命题学校：慈溪市三山高级中学

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据交集的概念和运算，求得两个集合的交集.

【详解】依题意.

故选：A

【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，属于基础题.

2. 是虚数单位，复数（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

试题分析：.

考点：复数的四则运算.

3. 的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用诱导公式化简求值即可

【详解】由题,

故选：A

【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值,属于基础题

4. 我校兼程楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼的走法（    ）

A. 10种 B. 16种 C. 25种 D. 32种

【答案】B

【解析】

走法共分四步：一层到二层2种，二层到三层2种，三层到四层2种，四层到五层2种，一共种.故本题正确答案为B.

5. 函数 的零点所在区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

直接根据函数零点存在定理判断即可.

【详解】由函数，

所以，，，

所以，函数的零点所在的区间为.

故选：C.

【点睛】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题.

6. 设， ，，则、、的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法比较、、三个数与和的大小，由此可得出、、的大小关系.

【详解】指数函数为上的增函数，则；

对数函数为上的增函数，则，即；

对数函数为上的减函数，则.

因此，.

故选：D.

【点睛】本题考查指数式、对数式的大小比较，一般利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.

7. 用表示两个数中的最小值．设，则的最大值为（    ）

A. -4 B. -5 C. -6 D. -10

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，写出函数的解析式即可得出结论.

【详解】由题意，函数，

因当时，函数为减函数；当时，函数为增函数.

所以，当时，函数取最大值，最大值为.

故选：B.

【点睛】本题考查函数的最值，正确理解函数新定义是解题的关键，属于基础题.

8. 用数学归纳法证明“…”时，由到时，不等试左边应添加的项是(   )

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

分别代入，两式作差可得左边应添加项．

【详解】由n=k时，左边为，

当n=k+1时，左边为

所以增加项为两式作差得：，选C.

【点睛】运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．

9. 已知函数是上的偶函数，对于任意都有成立，当，且时，都有．给出以下三个命题：

①直线是函数图像的一条对称轴；

②函数在区间上为增函数；

③函数在区间上有五个零点．

问：以上命题中正确个数有（   ）．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，利用特殊值法分析可得，结合函数的奇偶性可得，

进而可得，所以的周期为6；据此分析三个命题，综合即可得答案．

【详解】解：根据题意，对于任意，都有成立，

令，则，

又是上偶函数，所以，则有，所以的周期为6；

据此分析三个命题：

对于①，函数为偶函数，则函数的一条对称轴为轴，又由函数的周期为6，

则直线是函数图象的一条对称轴，①正确；

对于②，当，，，且时，都有，

则函数在，上为增函数，

因为是上的偶函数，所以函数在，上为减函数，

而的周期为6，所以函数在，上为减函数，②错误；

对于③，（3），的周期为6，

所以，

函数在，上有四个零点；③错误；

三个命题中只有①是正确的；

故选：B．

【点睛】本题考查抽象函数的性质以及应用，关键是求出的值，分析函数的周期与对称性．

10. 是定义在R上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，判断函数的单调性，然后根据函数的奇偶性判断函数的取值情况，即可求得不等式的解集.

【详解】由题意，构造函数，则，

当时，有恒成立，即恒成立，

所以在上单调递减，

又是定义在上的奇函数，则为上的偶函数，

所以在上单调递增，

而，故，

当时，，所以；

当时，，所以；

当时，，所以；

当时，，所以.

综上，不等式的解集为：.

故选：A.

【点睛】本题主要考查函数求导法则以及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征，构造函数是解决本题的关键.

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

11. 幂函数的图像经过点，则_______.

【答案】

【解析】

【分析】

设幂函数，由条件求，再求的值.

【详解】设幂函数，

图像经过点，

，，

，

.

故答案为：3

【点睛】本题考查根据求幂函数的解析式和求值，意在考查基本公式，属于简单题型.

12. 已知函数在上是减函数，且，则满足的实数的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用函数在上是减函数可得，解不等式即可.

【详解】由，若满足，则

又函数在上是减函数，

则，解得，所以实数的取值范围为.

故答案为：

【点睛】本题考查了利用函数的单调性解抽象函数不等式，属于基础题.

13. 从5名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有_______种.

【答案】74

【解析】

【分析】

根据题意，选用间接法，首先计算从5名男生和4名女生共9人中，任取3名代表的选法，再计算没有女生入选的情况，进而可得答案.

【详解】根据题意，从5名男生和4名女生共9人中，任取3名作代表有种，

其中没有女生入选，即全部选男生的情况有种，

所以，至少包含1名女生的不同选法共有种.

故答案为：.

【点睛】本题考查组合的运用，对于“至少或至多有一个”一类的问题，一般用间接法.

14. 定义在R上的函数既是奇函数又是周期函数，若的最小正周期是，且时，则__________ 方程的解集为_______.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

利用函数的周期为可得；根据函数在的解析式可得函数在存在唯一的零点，再由，即可得到答案；

【详解】函数的周期为，

；

为奇函数，，

函数的周期为，，

，

方程的解集为。

故答案为：；.

【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性、方程的根，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用周期性与奇偶性结合得到函数的所有零点.

15. 在二项式的展开式中，常数项是______，系数为有理数的项的个数是______

【答案】    (1).     (2). 4

【解析】

【分析】

化简二项式展开式的通项公式，由此求得常数项和有理项的个数.

【详解】二项式展开式的通项公式为.当时，求得常数项为.当时，为有理数，也即有理项有个.

【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查常数项和有理项的求法，属于基础题.

16. 设随机变量，则_____；______

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

根据独立重复试验的概率公式可求得，利用二项分布的方差公式可求得的值.

【详解】，，

由二项分布的方差公式可得.

故答案为：；.

【点睛】本题考查独立重复试验概率的计算，同时也考查了二项分布方差的计算，考查计算能力，属于基础题.

17. 已知函数，则函数的值域为_____  ；若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是___________.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

分和分别计算出的值域，取并集可得出函数的值域；然后作出函数和函数的图象，数形结合可求得实数的取值范围.

【详解】，当时，，此时；

当时，，则，此时.

因此，函数的值域为.

令，得，由于方程有三个不同的实数根，

则函数和函数的图象有三个交点，

当时，，此时，

作出函数和函数的图象如下图所示：

由图象可知，当时，函数和函数的图象有三个交点.

所以，实数的取值范围是.

故答案为：；.

【点睛】本题考查分段函数值域的求解，同时也考查了利用函数的零点个数求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.

18. 已知集合，.

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）当时，得到集合，即可求解；

（2）由，分和两种情况分类讨论，列出关系式，即可求解实数的取值范围.

【详解】（1）当时，，，

∴，

（2）若，此时，

∴，满足，

当时，，

∵，

∴，

∴.

综上可知，实数的取值范围是.

19. 编号为a，b，c的三位学生随机入座编号为a，b，c的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是.

（1）求随机变量的取值和对应的概率，并列出分布列；

（2）求随机变量的数学期望及方差.

【答案】（1）取值为0，1，3，概率，，，分布列见解析（2）数学期望1；方差1

【解析】

【分析】

（1）求得当ξ分别为0,1,3时概率,列分布列；（2）代入期望和方差公式可得结论.

【详解】解：（1）随机变量的取值为0，1，3

所以概率分布列为： 

（2）     

【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列及期望,方差的计算,属于基础题.

20. 函数.

（1）当时，求函数在区间上的值域；

（2）若任意，对任意，总有不等式成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

【分析】

（1）当时，利用二次函数的性质，求得在区间上的值域；

（2）首先求得在区间上的最大值和最小值，由此得到对任意，不等式恒成立，构造函数，结合一次函数的性质列不等式组，解不等式组求得的取值范围.

【详解】（1）当时，

，

对称轴

，

，

∴函数在上的值域为.

（2）∵，

∴对称轴，

∴在区间上单调递增，

∴，

，

∴，

即对任意，不等式恒成立，

设，

由于在区间上恒成立，所以

则，即，

解得或.

【点睛】本小题主要考查二次函数在闭区间上的值域的求法，考查不等式恒成立问题的求解，属于难题.

21. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数的图象．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数在上的值域；

（3）求使成立的取值的集合．

【答案】（1）；（2）；（3），（）.

【解析】

【分析】

（1）由函数的图象的顶点坐标求出A与k，由周期求出ω，由2•＝，求出的值，可得函数g（x）的解析式；（2）利用正弦函数的图象变换求得的表达式，利用性质可求值域；

（3）结合三角函数图像进行求解即可．

【详解】（1）由图象可知：A=2，k==1，=-（-，∴T=，

又2• =，得到=，所以.

（2）函数的图象保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数 ，

当时，，

，，所以值域为

（3）由 ，

所以，即 （）.

【点睛】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+）+k的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A与k，由周期求出ω，由五点确定是解题的关键，考查了正弦函数的图像及性质的应用，属于中档题．

22. 已知函数的图像在点处的切线为．

（1）求函数的解析式；

（2）当时，求证：；

（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

【分析】

（1）利用可求，从而可得的解析式.

（2）等价于，令，利用导数可求也就是.

（3）不等式等价于，令，利用导数可求在上的最小值后可得的取值范围.

【详解】（1），

由已知得解得，故.

（2）令，由得.

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

∴，从而.

（3）对任意恒成立对任意的恒成立.

令，

∴

由（2）可知当时，恒成立

令，得；得.

∴的增区间为，减区间为，，

∴，∴实数的取值范围为.

【点睛】本题考查曲线的切线以及函数不等式的恒成立，对于函数不等式的恒成立问题，可构建新函数，再以导数为工具讨论新函数的单调性从而得到新函数的最值，最后由最值的正负得到不等式成立.如果函数不等式含有参数，则可以考虑参变分离的方法，把问题归结为不含参数的函数的最值问题.