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初中数学八年级平行四边形与特殊四边形精选练习题60题（含答案）
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这是一份初中数学八年级平行四边形与特殊四边形精选练习题60题（含答案），共57页。试卷主要包含了下列∠A等内容，欢迎下载使用。
初中数学八年级平行四边形与特殊四边形练习题（含答案）
一．选择题（共30小题）
1．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝2，则AB的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．2
2．如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠BAD＝120°，则∠BCE的度数为（ ）
A．30° B．20° C．40° D．35°
3．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别相等
B．一组对边平行，另一组对边相等
C．两组对角分别相等
D．一组对边平行且相等
4．下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．3：2：3：2
5．小红同学周末在家做家务，不慎把家里的一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从玻璃店配到一块与原来相同的玻璃，他应该带其中（ ）两块去玻璃店．
A．①② B．②④ C．②③ D．①③
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点F，EF⊥BD于点F，则OE+EF的值为（ ）
A． B．2 C． D．2
7．如图，矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，OA＝4．则这个矩形的面积为（ ）
A．24 B．48 C．12 D．24
8．平行四边形ABCD的边BC上有一动点E，连接DE，以DE为边作矩形DEGF且边FG过点A．在点E从点B移动到点C的过程中，矩形DEGF的面积（ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．一直变大 D．保持不变
9．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，两对角线交于点O，则BO＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．10
10．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等 B．对角线相等
C．两组对边分别平行 D．对角线互相平分
11．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当OP＝PD时，点P的坐标是（ ）
A．（2.5，4） B．（2，4） C．（4，4） D．（5，4）
12．如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE，点F是AE的中点，连接DF，若AB＝9，AD＝，则四边形CDFE的面积是（ ）
A． B． C． D．54
13．如图，四边形ABCD是平行四边形，两条对角线交于点O，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠ABC＝∠BCD B．∠ABC＝∠ADC C．AO＝BO D．AO＝DO
14．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否相互平分
B．测量其中三个角是否都为直角
C．测量对角线是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
15．如图，要使▱ABCD为矩形，则可以添加的条件是（ ）
A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠AOB＝60° D．AB＝BC
16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝12，BD＝16，则菱形的高AE为（ ）
A．9.6 B．4.8 C．10 D．5
17．如图，菱形ABCD的边长为3，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E，F，AE＝4，则四边形AECF的周长为（ ）
A．22 B．20 C．18 D．16
18．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直且相等
C．对角线相等
D．对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角
19．如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AD、CD上，且AE＝CF，BA＝BE．若∠EBF＝60°，则∠C的度数为（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
20．如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD，则根据作图过程判定四边形ACDB是菱形的依据是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．对角线平分一组对角的四边形是菱形
C．一组邻边相等的四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
21．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，给出下列条件：（1）AB＝AD；（2）AC＝BD；（3）∠BOC＝90°；（4）∠ABC＝∠BCD；（5）∠ADB＝∠CDB．其中能判定四边形ABCD是菱形的方法有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
22．在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，要使四边形ABCD为菱形，需添加的条件是（ ）
A．∠A＝∠C B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC＝BD
23．下列叙述，错误的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
24．如图，在▱ABCD中，AB＝BC，下列结论错误的是（ ）
A．四边形ABCD是菱形 B．AB＝AD
C．AO＝OC，BO＝OD D．∠BAD＝∠ABC
25．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF的面积为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
26．下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直
C．四个角都为直角 D．对角线互相平分
27．如图，正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BD＝6，BE＝DF＝4，则四边形AECF的面积为（ ）
A．12 B．6 C． D．
28．如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
29．如图所示，已知四边形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，点E、F分别是AP、RP的中点，当点P在边BC上从点B向点C移动，且点R从点D向点C移动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变
D．△ABP和△CRP的面积和不变
30．如图，已知△ABC中AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④∠DAE＝90°．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．解答题（共30小题）
31．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC的三等分点，连接BE，DF．证明：BE＝DF．
32．如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．
（1）求证：AB＝AE．
（2）若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数．
33．已知：▱ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：AE＝CF．
34．如图所示，在▱ABCD中，点E，点F分别是AD，BC的中点，连结BE，DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若BE平分∠ABC，AB＝3，求平行四边形ABCD的周长．
35．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，AB＝CD，点E是CD的中点．
求证：四边形ABCE是平行四边形．
36．如图，E，F为▱ABCD对角线BD上的两点，若再添加一个条件，就可证出四边形CFAE是平行四边形，
请完成以下问题：
（1）你添加的条件是 ．
（2）请根据题目中的条件和你添加的条件证明．
37．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
38．如图所示，△ABC≌△EAD，点E在BC上．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠B：∠CAD＝3：2，∠EDC＝25°，求∠AED的度数．
39．如图，已知在▱ABCD中，线段EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，且AO＝CO，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE为平行四边形；
（2）求证：△ABF≌△CDE．
40．如图，点A、F、C、D在一条直线上，AB∥DE且AB＝DE，AF＝DC，求证：四边形BCEF是平行四边形．
41．如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．求证：四边形ADCE是平行四边形．
42．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．
（I）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形．
43．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．点F在BA延长线上，AG平分∠FAC，过D作AB的平行线交AG于点E．求证：四边形ADCE是矩形．
44．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，射线AN平分外角∠CAM，过点C作CE⊥AN于点E，求证：四边形ADCE是矩形．
45．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F，连接AC，BE，若∠AFC＝2∠D．求证：四边形ABEC是矩形．
46．如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2MO．
求证：四边形AMCN是矩形．
47．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝60°，菱形ABCD的周长为24．
（1）求对角线BD的长；
（2）求菱形ABCD的面积．
48．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，
（1）求证：∠DHO＝∠DCO．
（2）若OC＝4，BD＝6，求菱形ABCD的周长和面积．
49．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD．求证：四边形ABCD是菱形．
50．如图，在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O作EF⊥BD，垂足为点O，且交AD，BC分别于点E，F．
求证：四边形BEDF是菱形．
51．已知：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点F，E是AC的中点，过A作AD∥BC，交FE的延长线于点D．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）∠BAC和∠ACB满足什么数量关系时，四边形AFCD是菱形．请证明你的结论．
52．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连接CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，连接EF交BC于点G．
（1）求证：△CDE≌△CBF；
（2）当E是AD的中点时，求CG的长．
53．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F，连接BF，CE．
（1）判断四边形BECF是什么特殊的四边形，并说明理由；
（2）当△ABC满足 时，四边形BECF是正方形．
54．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，过点F作AE的平行线交对角线AC的延长线于点G，连接EG．
（1）求证：四边形AEGF是菱形；
（2）如果∠B＝∠BAE＝30°，求证：四边形AEGF是正方形．
55．已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且CA＝CB，延长BC至点E，使CE＝BC，联结DE．
（1）当AC⊥BD时，求证：BE＝2CD；
（2）当∠ACB＝90°时，求证：四边形ACED是正方形．
56．如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：△BOE≌△COD；
（2）若BC平分∠DBE，请判断并证明四边形BECD的形状．
57．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，点F在线段BD上，且DE＝BF．求证：AE∥CF．
58．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD于点E，交BC于点F，求证：AE＝CF．
59．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．
（1）求证：△AMB≌△CND；
（2）若BD＝2AB，且AM＝3，DN＝4，求四边形DEMN的面积．
60．如图，在▱ABCD中，E是CD边上的中点，AD，BE的延长线相交于点F．
（1）求证：△BCE≌△FDE．
（2）若DF＝3，DE＝2，求▱ABCD的周长．
2022年02月20日173****4133的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共30小题）
1．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝2，则AB的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．2
【解答】解：∵CE平分∠BCD交AD边于点E，
∴∠ECD＝∠ECB，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DEC＝∠ECB，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝DC，
∵AD＝2AB，
∴AD＝2CD，
∴AE＝DE＝AB＝2．
故选：C．
2．如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠BAD＝120°，则∠BCE的度数为（ ）
A．30° B．20° C．40° D．35°
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠B＝60°，
∵CE⊥AB，
∴∠E＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°；
故选：A．
3．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别相等
B．一组对边平行，另一组对边相等
C．两组对角分别相等
D．一组对边平行且相等
【解答】解：A、∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴选项A不符合题意；
B、∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，
∴选项B符合题意；
C、∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴选项C不符合题意；
D、∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
4．下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．3：2：3：2
【解答】解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．
故选：D．
5．小红同学周末在家做家务，不慎把家里的一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从玻璃店配到一块与原来相同的玻璃，他应该带其中（ ）两块去玻璃店．
A．①② B．②④ C．②③ D．①③
【解答】解：只有②④两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②④两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选：B．
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点F，EF⊥BD于点F，则OE+EF的值为（ ）
A． B．2 C． D．2
【解答】解：∵AB＝2，BC＝4，
∴矩形ABCD的面积为8，AC＝＝＝2，
∴BO＝CO＝AC＝，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△BOC的面积为2，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△BOC＝S△BOE+S△COE，
2＝CO×EO+BO×EF，
∴2＝××EO+×EF，
∴（EO+EF）＝4，
∴EO+EF＝，
故选：A．
7．如图，矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，OA＝4．则这个矩形的面积为（ ）
A．24 B．48 C．12 D．24
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝BO＝DO＝4，
∴BD＝8，
∴AD＝＝＝2，
∴矩形的面积＝AB×AD＝12，
故选：C．
8．平行四边形ABCD的边BC上有一动点E，连接DE，以DE为边作矩形DEGF且边FG过点A．在点E从点B移动到点C的过程中，矩形DEGF的面积（ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．一直变大 D．保持不变
【解答】解：如图，连接AE，
∵矩形DEGF的面积＝2△ADE的面积＝2×DE×FD＝DE×FD，
∴矩形DEGF的面积保持不变．
故选：D．
9．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，两对角线交于点O，则BO＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．10
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝8，OB＝OD，
∴BD＝＝＝10，
∴BO＝BD＝5；
故选：C．
10．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等 B．对角线相等
C．两组对边分别平行 D．对角线互相平分
【解答】解：矩形的性质有两组对边平行且相等，对角线互相平分且相等，平行四边形的性质有两组对边平行且相等，对角线互相平分，
故选：B．
11．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当OP＝PD时，点P的坐标是（ ）
A．（2.5，4） B．（2，4） C．（4，4） D．（5，4）
【解答】解：过点P作PE⊥OA于点E，
∵长方形OABC的顶点A，C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，
∴OD＝5，
∵OP＝PD，PE⊥OA，
∴OE＝2.5，
∴点P的坐标为（2.5，4）；
故选：A．
12．如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE，点F是AE的中点，连接DF，若AB＝9，AD＝，则四边形CDFE的面积是（ ）
A． B． C． D．54
【解答】解：过点F作直线MN，使MN⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠AMF＝∠ENP＝90°，AD＝BC＝6，
∵点F是AE的中点，
∴AF＝EF，
∵∠AFM＝∠EFN，
∴△AFM≌△EFN（AAS），
∴MF＝FN＝AB＝4.5，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝BC＝3，
∴四边形CDFE的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△AFD＝9×6﹣×9×3﹣×4.5×6＝27，
故选：C．
13．如图，四边形ABCD是平行四边形，两条对角线交于点O，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠ABC＝∠BCD B．∠ABC＝∠ADC C．AO＝BO D．AO＝DO
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∴不能判定平行四边形ABCD为矩形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，
∵AO＝DO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
14．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否相互平分
B．测量其中三个角是否都为直角
C．测量对角线是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
【解答】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形；
C、对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状；
D、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形．
故选：B．
15．如图，要使▱ABCD为矩形，则可以添加的条件是（ ）
A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠AOB＝60° D．AB＝BC
【解答】解：因为有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，
故选：B．
16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝12，BD＝16，则菱形的高AE为（ ）
A．9.6 B．4.8 C．10 D．5
【解答】解：在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，
∴BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，AC⊥BD，
∴BC＝＝＝10，
∵AE⊥BC，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝BC•AE，
∴AE＝＝＝9.6，
故选：A．
17．如图，菱形ABCD的边长为3，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E，F，AE＝4，则四边形AECF的周长为（ ）
A．22 B．20 C．18 D．16
【解答】解：在菱形ABCD中，∠BAC＝∠BCA，
∵AE⊥AC，
∴∠BAC+∠BAE＝∠BCA+∠E＝90°，
∴∠BAE＝∠E，
∴BE＝AB＝3，
∴EC＝BE+BC＝3+3＝6，
同理可得AF＝6，
∵AD∥BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF的周长＝2（AE+EC）＝2（4+6）＝20．
故选：B．
18．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直且相等
C．对角线相等
D．对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角
【解答】解：A、菱形和平行四边形的对角线都互相平分，故A选项不符合题意；
B、菱形和平行四边形的对角线都不相等，故B选项不符合题意；
C、菱形的对角线不相等，故C选项不符合题意；
D、菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角，平行四边形的对角线不互相垂直，每一条对角线不平分一组对角，故D选项符合题意．
故选：D．
19．如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AD、CD上，且AE＝CF，BA＝BE．若∠EBF＝60°，则∠C的度数为（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠A＝∠C，
在△ABE与△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，
∴BC＝BF，
∴∠C＝∠BFC，
设∠ABE＝∠CBF＝α，
∵∠EBF＝60°，
∴∠ABC＝2α+60°，
∴∠C＝180°﹣∠ABC＝180°﹣2α﹣60°＝120°﹣2α，
∴∠BFC＝∠C＝120°﹣2α，
∵∠C+∠BFC+∠CBF＝180°，
∴120°﹣2α+120°﹣2α+α＝180°，
∴α＝20°，
∴∠C＝80°，
故选：B．
20．如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD，则根据作图过程判定四边形ACDB是菱形的依据是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．对角线平分一组对角的四边形是菱形
C．一组邻边相等的四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
【解答】解：由作图得：BA＝BD，CA＝CD，
∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝BD＝CD，
∴四边形ACDB是菱形，
故选：D．
21．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，给出下列条件：（1）AB＝AD；（2）AC＝BD；（3）∠BOC＝90°；（4）∠ABC＝∠BCD；（5）∠ADB＝∠CDB．其中能判定四边形ABCD是菱形的方法有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（3）∵∠BOC＝90°，
∴AC⊥BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形；
（4）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（5）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠ADB＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴BC＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
其中能判定四边形ABCD是菱形的方法有3种，
故选：B．
22．在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，要使四边形ABCD为菱形，需添加的条件是（ ）
A．∠A＝∠C B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC＝BD
【解答】解：要使四边形ABCD为菱形，需添加的条件是AC⊥BD，理由如下：
∵四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故选：C．
23．下列叙述，错误的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【解答】解：方法一：A．根据对角线互相垂直的平行四边形可判定为菱形，再有对角线且相等可判定为正方形，故此选项正确，不符合题意；
B．根据对角线互相平分四边形可判定为平行四边形，再有对角线相等可判定为矩形，故此选项正确，不符合题意；
C．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确，不符合题意；
D．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
方法二：A．∵对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，
∴选项A不符合题意；
B．∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
∴选项B不符合题意；
C．∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项C不符合题意；
D．∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
24．如图，在▱ABCD中，AB＝BC，下列结论错误的是（ ）
A．四边形ABCD是菱形 B．AB＝AD
C．AO＝OC，BO＝OD D．∠BAD＝∠ABC
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，
故选：D．
25．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF的面积为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC＝4，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝4，
∴正方形ACEF的边长为4，
∴正方形ACEF的面积为16，
故选：C．
26．下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直
C．四个角都为直角 D．对角线互相平分
【解答】解：因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，矩形的对角相等，对角线相等，互相平分，
所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．
故选：B．
27．如图，正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BD＝6，BE＝DF＝4，则四边形AECF的面积为（ ）
A．12 B．6 C． D．
【解答】解：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD＝6，AC⊥EF，OD＝OB＝3，
∵BE＝DF＝4，
∴DE＝BF＝2，
∴OE＝OF＝1，
∵OA＝OC＝3，AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形，
∴S菱形AECF＝EF•AC＝＝6，
故选：B．
28．如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵CB＝6，BF＝2，
∴FC＝6﹣2＝4，
∵BA＝BC，BD⊥AC，
∴AD＝DC，
∵AE＝EF，
∴DE是△AFC的中位线，
∴DE＝FC＝×4＝2，
故选：B．
29．如图所示，已知四边形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，点E、F分别是AP、RP的中点，当点P在边BC上从点B向点C移动，且点R从点D向点C移动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变
D．△ABP和△CRP的面积和不变
【解答】解：连接AR，
∵E，F分别是AP，RP的中点，
∴EF＝AR，
∵当点P在BC上从点C向点B移动，点R从点D向点C移动时，AR的长度逐渐增大，
∴线段EF的长逐渐增大．
S△ABP+S△CRP＝BC•（AB+CR）．
∵CR随着点R的运动而减小，
∴△ABP和△CRP的面积和逐渐减小．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
30．如图，已知△ABC中AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④∠DAE＝90°．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：连接EC，
∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，故①正确；
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AE平分∠FAC，
∴∠FAC＝2∠FAE，
∵∠FAC＝∠B+∠ACB，
∴∠FAE＝∠B，
∴AE∥BC，故②正确；
∵AE∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD，
∴AE＝CD，
∵AE∥BC，∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴∠DAE＝90°，故④正确；
∵AE＝BD＝BC，AG＝AC，
∴AG＝AE错误（已知没有条件AC＝BC），故③错误；
即正确的个数是3个，
故选：C．
二．解答题（共30小题）
31．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC的三等分点，连接BE，DF．证明：BE＝DF．
【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵E，F是对角线AC的三等分点，
∴AE＝CF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF．
32．如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．
（1）求证：AB＝AE．
（2）若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，
∴∠E＝∠DCF，
∵点F是AD中点，
∴AF＝DF，
∵∠EFA＝∠CFD，
∴△AFE≌△DFC（AAS），
∴CD＝AE，
∴AB＝AE；
（2）解：由（1）可得AF＝DF，BC＝AD，
∵BC＝2AE，
∴AE＝AF，
∵∠E＝31°，
∴∠AFE＝∠E＝31°，
∴∠DAB＝2∠E＝62°．
33．已知：▱ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：AE＝CF．
【解答】证明∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD，AB＝CD
∴∠ABD＝∠CDB
∵∠BAE＝∠DCF，CD＝AB，∠ABD＝∠BDC
∴△ABE≌△CDF
∴AE＝CF
34．如图所示，在▱ABCD中，点E，点F分别是AD，BC的中点，连结BE，DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若BE平分∠ABC，AB＝3，求平行四边形ABCD的周长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点E，点F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝DE＝AD，BF＝CF＝BC，
∴DE＝BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴ED＝BF，
∴AE＝CF．
又在▱ABCD中，AB＝CD．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
又∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
∴AD＝2AE＝6，
∴平行四边形ABCD的周长＝2×（3+6）＝18．
35．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，AB＝CD，点E是CD的中点．
求证：四边形ABCE是平行四边形．
【解答】证明：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴AB∥EC，
∵点E是CD的中点，
∴EC＝CD，
∵AB＝CD，
∴AB＝EC，
∴四边形ABCE是平行四边形．
36．如图，E，F为▱ABCD对角线BD上的两点，若再添加一个条件，就可证出四边形CFAE是平行四边形，
请完成以下问题：
（1）你添加的条件是 BE＝DF ．
（2）请根据题目中的条件和你添加的条件证明．
【解答】（1）解：添加的条件是：BE＝DF，
故答案为：BE＝DF；
（2）证明：如图，连接AC交BD于点O，连接AF、CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，
∴四边形CFAE是平行四边形．
37．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
【解答】（1）证明：在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（ASA），
∴OD＝OE，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵AB＝BC，AO＝CO，
∴OB⊥AC，
∴平行四边形AECD是菱形，
∵AC＝8，
∴CO＝AC＝4，
在Rt△COD中，由勾股定理得：OD＝＝＝3，
∴DE＝2OD＝6，
∴菱形AECD的面积＝AC×DE＝×8×6＝24．
38．如图所示，△ABC≌△EAD，点E在BC上．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠B：∠CAD＝3：2，∠EDC＝25°，求∠AED的度数．
【解答】（1）证明：∵△ABC≌△EAD，
∴BC＝AD，∠B＝∠EAD，AB＝EA，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠EAD＝∠AEB，
∴BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：设∠B＝3x，则∠CAD＝2x，
由（1）得：四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠B＝3x，
∵BC∥AD，
∴∠ACB＝∠CAD＝2x，
∵△ABC≌△EAD，
∴∠ADE＝∠ACB＝2x，
∵∠ADC﹣∠ADE＝∠EDC，
∴3x﹣2x＝25°，
解得：x＝25°，
∴∠ADE＝2x＝50°，∠EAD＝∠B＝3x＝75°，
∴∠AED＝180°﹣50°﹣75°＝55°．
39．如图，已知在▱ABCD中，线段EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，且AO＝CO，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE为平行四边形；
（2）求证：△ABF≌△CDE．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
由（1）得：四边形AFCE为平行四边形，
∴AF＝CE，AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
即DE＝BF，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SSS）．
40．如图，点A、F、C、D在一条直线上，AB∥DE且AB＝DE，AF＝DC，求证：四边形BCEF是平行四边形．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠BAF＝∠EDC，
在△AFB和△DCE中，
，
∴△AFB≌△DCE（SAS），
∴FB＝CE，∠AFB＝∠DCE，
∴∠BFC＝∠ECF，
∴FB∥CE，
又∵FB＝CE，
∴四边形BCEF是平行四边形．
41．如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．求证：四边形ADCE是平行四边形．
【解答】证明：∵CE∥AB，
∴∠FAD＝∠FCE，∠ADF＝∠CEF，
∵F是AC中点，
∴AF＝CF，
在△AFD与△CFE中，
，
∴△AFD≌△CFE（AAS），
∴DF＝EF，
∴四边形ADCE是平行四边形．
42．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．
（I）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形．
【解答】（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵BE＝EF，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE∥DF，
即DF∥AC；
（2）证明：如图所示：
由（1）得：DF∥AC，
∴∠DFG＝∠CEG，∠GDF＝∠GCE，
∵G是CD的中点，
∴DG＝CG，
在△DFG和△CEG中，
，
∴△DFG≌△CEG（AAS），
∴FG＝EG，
∴四边形CFDE是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵2AB＝BF，
∴2CD＝BF，
又∵EF＝BE，
∴CD＝EF，
∴平行四边形CFDE是矩形．
43．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．点F在BA延长线上，AG平分∠FAC，过D作AB的平行线交AG于点E．求证：四边形ADCE是矩形．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AG平分∠FAC，
∴∠FAE＝∠EAC，
∵∠B+∠ACB＝∠FAE+∠EAC，
∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，
∴AE∥CD，
又∵DE∥AB，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴AE∥BD，AE＝BD，
∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴BD＝DC，
∴AE∥DC，AE＝DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCE是矩形．
44．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，射线AN平分外角∠CAM，过点C作CE⊥AN于点E，求证：四边形ADCE是矩形．
【解答】证明：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC，
∴∠ADC＝90°，
∵AN是△ABC外角的平分线，
∴∠CAE＝∠CAM，
∵∠BAC+∠CAM＝180°，
∴∠DAN＝∠CAD+∠CAE＝（∠BAC+∠CAM）＝90°；
∵CE⊥AN，
∴∠CEA＝90°，
∴四边形ADCE为矩形．
45．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F，连接AC，BE，若∠AFC＝2∠D．求证：四边形ABEC是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝∠D，
∵CE＝CD，
∴AB＝CE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴BC＝2BF，AE＝2AF，
∵∠AFC＝∠ABC+∠BAE＝2∠D，
∴∠ABC＝∠BAE，
∴AF＝BF，
∴AE＝BC，
∴四边形ABEC是矩形．
46．如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2MO．
求证：四边形AMCN是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵MO＝NO，
∴MN＝2MO，
∵AC＝2MO，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形．
47．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝60°，菱形ABCD的周长为24．
（1）求对角线BD的长；
（2）求菱形ABCD的面积．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，周长为24，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，AC⊥BD，OB＝OD＝BD，OA＝OC＝AC，∠BAO＝∠BAD＝×60°＝30°，
∴∠AOB＝90°，
∴OB＝AB＝3，
∴BD＝2OB＝6；
（2）由（1）得：BD＝6，AB＝6，OB＝3，∠AOB＝90°，
∴OA＝＝＝3，
∴AC＝2OA＝6，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×6×6＝18．
48．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，
（1）求证：∠DHO＝∠DCO．
（2）若OC＝4，BD＝6，求菱形ABCD的周长和面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，
∴∠DHB＝90°，
∴OH＝BD＝OD＝OB，
∴∠ODH＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠ODH+∠ODC＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠ODC+∠DCO＝90°，
∴∠ODH＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCO；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，OD＝OB＝BD＝3，OA＝OC＝4，BD⊥AC，
∴AC＝2OC＝4，∠COD＝90°，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD＝＝＝5，
∴菱形ABCD的周长＝4CD＝20，
菱形ABCD的面积＝BD×AC＝×6×8＝24．
49．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD．求证：四边形ABCD是菱形．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形．
50．如图，在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O作EF⊥BD，垂足为点O，且交AD，BC分别于点E，F．
求证：四边形BEDF是菱形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O为对角线BD的中点，
∴BO＝DO，∠EDB＝∠FBO，
在△EOD和△FOB中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；
∴OE＝OF，
又∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴平行四边形BEDF为菱形．
51．已知：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点F，E是AC的中点，过A作AD∥BC，交FE的延长线于点D．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）∠BAC和∠ACB满足什么数量关系时，四边形AFCD是菱形．请证明你的结论．
【解答】（1）证明：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠FCE，
在△EAD和△ECF中，
，
∴△EAD≌△ECF（ASA），
∴DE＝EF，
∴四边形AFCD是平行四边形；
（2）解：当∠BAC＝2∠ACB时，四边形AFCD是菱形，
证明：∵∠BAF＝∠CAF，
∴∠CAF＝∠ACB，
∴FA＝FC，
又∵四边形AFCD是平行四边形，
∴四边形AFCD是菱形．
52．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连接CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，连接EF交BC于点G．
（1）求证：△CDE≌△CBF；
（2）当E是AD的中点时，求CG的长．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，DC＝BC，∠D＝∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝90°，∠DCE+∠BCE＝∠DCB＝90°，
∵CF⊥CE，
∴∠ECF＝90°，
∴∠BCF+∠BCE＝∠ECF＝90°，
∴∠DCE＝∠BCF，
在△CDE和△CBF中，
，
∴△CDE≌△CBF（ASA）；
（2）解：在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴△GBF∽△EAF，
∴＝，
由（1）知，△CDE≌△CBF，
∵E是AD的中点，正方形的边长为1，
∴BF＝DE＝，
∴AF＝AB+BF＝，AE＝，
∴＝，
∴BG＝，
∴CG＝BC﹣BG＝．
答：CG的长为．
53．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F，连接BF，CE．
（1）判断四边形BECF是什么特殊的四边形，并说明理由；
（2）当△ABC满足 ∠A＝45°或BC＝AC 时，四边形BECF是正方形．
【解答】解：（1）四边形BECF是菱形，理由如下：
∵EF垂直平分BC，
∴FB＝FC，EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵CF∥AB，
∴∠FCB＝∠EBC，
∴∠FCB＝∠ECB，
在△FCD和△ECD中，
，
∴△FCD≌△ECD（ASA），
∴CF＝CE，
∴FB＝FC＝CE＝BE，
∴四边形BECF是菱形；
（2）当∠A＝45°或BC＝AC时，
∵∠BCA＝90°，
∴△BCA是等腰直角三角形，
∴CE⊥BE，
∴菱形BECF是正方形，
故答案为：∠A＝45°或BC＝AC．
54．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，过点F作AE的平行线交对角线AC的延长线于点G，连接EG．
（1）求证：四边形AEGF是菱形；
（2）如果∠B＝∠BAE＝30°，求证：四边形AEGF是正方形．
【解答】（1）证明：∵菱形ABCD，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAC，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，
∴∠EAG＝∠FAG，
∵FG∥AE，
∴∠EAG＝∠FGA，
∴∠FAG＝∠FGA，
∴FG＝AF＝AE，
∵FG∥AE，
∴四边形AEGF是平行四边形，
又∵AF＝AE，
∴四边形AEGF是菱形；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝∠BAE＝30°，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF＝30°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B＝150°，
∴∠EAF＝∠BAD﹣∠BAE﹣∠DAF＝150°﹣30°﹣30°＝90°，
∵四边形AEGF是菱形，
∴四边形AEGF是正方形．
55．已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且CA＝CB，延长BC至点E，使CE＝BC，联结DE．
（1）当AC⊥BD时，求证：BE＝2CD；
（2）当∠ACB＝90°时，求证：四边形ACED是正方形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵AC⊥BD，
∴BC＝CD，
∵BC＝CE，
∴BC＝CE＝CD，
即BE＝2CD；
（2）
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BC＝CE，
∴AD＝CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AC＝CE，∠ACE＝90°，
∴四边形ACED是正方形．
56．如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：△BOE≌△COD；
（2）若BC平分∠DBE，请判断并证明四边形BECD的形状．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∴∠OEB＝∠ODC，
又∵O为BC的中点，
∴BO＝CO，
在△BOE和△COD中，
，
∴△BOE≌△COD（AAS）；
（2）解：四边形BECD是菱形；
证明：∵△BOE≌△COD，
∴OE＝OD，BO＝CO，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵AE∥CD，
∴∠BCD＝∠CBE，
∵BC平分∠DBE，
∴∠DBC＝∠CBE，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴BD＝DC，
∴四边形BECD是菱形．
57．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，点F在线段BD上，且DE＝BF．求证：AE∥CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠CFB，
∴AE∥CF．
58．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD于点E，交BC于点F，求证：AE＝CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∵，
∴△AOE≌△COF（ASA）
∴AE＝CF．
59．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．
（1）求证：△AMB≌△CND；
（2）若BD＝2AB，且AM＝3，DN＝4，求四边形DEMN的面积．
【解答】（本题满分12分）
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，
∴∠BAC＝∠DCA，
又点M，N分别为OA、OC的中点，
∴，
在△AMB和△CND中，
，
∴△AMB≌△CND（SAS）．
（2）解：BD＝2BO，又已知BD＝2AB，
∴BO＝AB，
∴△ABO为等腰三角形；
又M为AO的中点，
∴由等腰三角形的“三线合一”性质可知：BM⊥AO，
∴∠BMO＝∠EMO＝90°，
同理可证DN⊥CO，∠DNO＝90°，
∵∠EMO+∠DNO＝90°+90°＝180°，
∴EM∥DN，
∵△AMB≌△CND（SAS）
∴BM＝DN，
∵EM＝BM，
∴EM∥DN，
∵△AMB≌△CND（SAS）
∴BM＝DN，
∵EM＝BM，
∴EM＝DN，
∴四边形EMND为平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，又点M，N分别为OA、OC的中点，
∴AM＝MO﹣ON＝NC＝3，
∴MN＝MO+ON＝2AM＝6，
∴矩形DEMN的面积为：MN×DN＝6×4＝24．
60．如图，在▱ABCD中，E是CD边上的中点，AD，BE的延长线相交于点F．
（1）求证：△BCE≌△FDE．
（2）若DF＝3，DE＝2，求▱ABCD的周长．
【解答】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FDE＝∠C，∠F＝∠CBE，
∵E是CD边上的中点，
∴DE＝CE，
在△BCE和△FDE中，
，
∴△BCE≌△FDE（AAS）；
（2）解：由（1）得△BCE≌△FDE，
∴BC＝DF＝3，
∵E是CD边上的中点，
∴CD＝2DE＝4，
∴▱ABCD的周长为：2（BC+CD）＝14．
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初中数学八年级平行四边形与特殊四边形练习题（含答案）
一．选择题（共30小题）
1．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝2，则AB的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．2
2．如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠BAD＝120°，则∠BCE的度数为（ ）
A．30° B．20° C．40° D．35°
3．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别相等
B．一组对边平行，另一组对边相等
C．两组对角分别相等
D．一组对边平行且相等
4．下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．3：2：3：2
5．小红同学周末在家做家务，不慎把家里的一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从玻璃店配到一块与原来相同的玻璃，他应该带其中（ ）两块去玻璃店．
A．①② B．②④ C．②③ D．①③
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点F，EF⊥BD于点F，则OE+EF的值为（ ）
A． B．2 C． D．2
7．如图，矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，OA＝4．则这个矩形的面积为（ ）
A．24 B．48 C．12 D．24
8．平行四边形ABCD的边BC上有一动点E，连接DE，以DE为边作矩形DEGF且边FG过点A．在点E从点B移动到点C的过程中，矩形DEGF的面积（ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．一直变大 D．保持不变
9．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，两对角线交于点O，则BO＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．10
10．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等 B．对角线相等
C．两组对边分别平行 D．对角线互相平分
11．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当OP＝PD时，点P的坐标是（ ）
A．（2.5，4） B．（2，4） C．（4，4） D．（5，4）
12．如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE，点F是AE的中点，连接DF，若AB＝9，AD＝，则四边形CDFE的面积是（ ）
A． B． C． D．54
13．如图，四边形ABCD是平行四边形，两条对角线交于点O，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠ABC＝∠BCD B．∠ABC＝∠ADC C．AO＝BO D．AO＝DO
14．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否相互平分
B．测量其中三个角是否都为直角
C．测量对角线是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
15．如图，要使▱ABCD为矩形，则可以添加的条件是（ ）
A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠AOB＝60° D．AB＝BC
16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝12，BD＝16，则菱形的高AE为（ ）
A．9.6 B．4.8 C．10 D．5
17．如图，菱形ABCD的边长为3，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E，F，AE＝4，则四边形AECF的周长为（ ）
A．22 B．20 C．18 D．16
18．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直且相等
C．对角线相等
D．对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角
19．如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AD、CD上，且AE＝CF，BA＝BE．若∠EBF＝60°，则∠C的度数为（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
20．如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD，则根据作图过程判定四边形ACDB是菱形的依据是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．对角线平分一组对角的四边形是菱形
C．一组邻边相等的四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
21．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，给出下列条件：（1）AB＝AD；（2）AC＝BD；（3）∠BOC＝90°；（4）∠ABC＝∠BCD；（5）∠ADB＝∠CDB．其中能判定四边形ABCD是菱形的方法有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
22．在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，要使四边形ABCD为菱形，需添加的条件是（ ）
A．∠A＝∠C B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC＝BD
23．下列叙述，错误的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
24．如图，在▱ABCD中，AB＝BC，下列结论错误的是（ ）
A．四边形ABCD是菱形 B．AB＝AD
C．AO＝OC，BO＝OD D．∠BAD＝∠ABC
25．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF的面积为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
26．下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直
C．四个角都为直角 D．对角线互相平分
27．如图，正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BD＝6，BE＝DF＝4，则四边形AECF的面积为（ ）
A．12 B．6 C． D．
28．如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
29．如图所示，已知四边形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，点E、F分别是AP、RP的中点，当点P在边BC上从点B向点C移动，且点R从点D向点C移动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变
D．△ABP和△CRP的面积和不变
30．如图，已知△ABC中AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④∠DAE＝90°．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．解答题（共30小题）
31．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC的三等分点，连接BE，DF．证明：BE＝DF．
32．如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．
（1）求证：AB＝AE．
（2）若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数．
33．已知：▱ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：AE＝CF．
34．如图所示，在▱ABCD中，点E，点F分别是AD，BC的中点，连结BE，DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若BE平分∠ABC，AB＝3，求平行四边形ABCD的周长．
35．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，AB＝CD，点E是CD的中点．
求证：四边形ABCE是平行四边形．
36．如图，E，F为▱ABCD对角线BD上的两点，若再添加一个条件，就可证出四边形CFAE是平行四边形，
请完成以下问题：
（1）你添加的条件是 ．
（2）请根据题目中的条件和你添加的条件证明．
37．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
38．如图所示，△ABC≌△EAD，点E在BC上．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠B：∠CAD＝3：2，∠EDC＝25°，求∠AED的度数．
39．如图，已知在▱ABCD中，线段EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，且AO＝CO，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE为平行四边形；
（2）求证：△ABF≌△CDE．
40．如图，点A、F、C、D在一条直线上，AB∥DE且AB＝DE，AF＝DC，求证：四边形BCEF是平行四边形．
41．如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．求证：四边形ADCE是平行四边形．
42．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．
（I）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形．
43．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．点F在BA延长线上，AG平分∠FAC，过D作AB的平行线交AG于点E．求证：四边形ADCE是矩形．
44．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，射线AN平分外角∠CAM，过点C作CE⊥AN于点E，求证：四边形ADCE是矩形．
45．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F，连接AC，BE，若∠AFC＝2∠D．求证：四边形ABEC是矩形．
46．如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2MO．
求证：四边形AMCN是矩形．
47．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝60°，菱形ABCD的周长为24．
（1）求对角线BD的长；
（2）求菱形ABCD的面积．
48．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，
（1）求证：∠DHO＝∠DCO．
（2）若OC＝4，BD＝6，求菱形ABCD的周长和面积．
49．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD．求证：四边形ABCD是菱形．
50．如图，在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O作EF⊥BD，垂足为点O，且交AD，BC分别于点E，F．
求证：四边形BEDF是菱形．
51．已知：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点F，E是AC的中点，过A作AD∥BC，交FE的延长线于点D．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）∠BAC和∠ACB满足什么数量关系时，四边形AFCD是菱形．请证明你的结论．
52．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连接CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，连接EF交BC于点G．
（1）求证：△CDE≌△CBF；
（2）当E是AD的中点时，求CG的长．
53．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F，连接BF，CE．
（1）判断四边形BECF是什么特殊的四边形，并说明理由；
（2）当△ABC满足 时，四边形BECF是正方形．
54．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，过点F作AE的平行线交对角线AC的延长线于点G，连接EG．
（1）求证：四边形AEGF是菱形；
（2）如果∠B＝∠BAE＝30°，求证：四边形AEGF是正方形．
55．已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且CA＝CB，延长BC至点E，使CE＝BC，联结DE．
（1）当AC⊥BD时，求证：BE＝2CD；
（2）当∠ACB＝90°时，求证：四边形ACED是正方形．
56．如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：△BOE≌△COD；
（2）若BC平分∠DBE，请判断并证明四边形BECD的形状．
57．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，点F在线段BD上，且DE＝BF．求证：AE∥CF．
58．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD于点E，交BC于点F，求证：AE＝CF．
59．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．
（1）求证：△AMB≌△CND；
（2）若BD＝2AB，且AM＝3，DN＝4，求四边形DEMN的面积．
60．如图，在▱ABCD中，E是CD边上的中点，AD，BE的延长线相交于点F．
（1）求证：△BCE≌△FDE．
（2）若DF＝3，DE＝2，求▱ABCD的周长．
2022年02月20日173****4133的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共30小题）
1．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝2，则AB的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．2
【解答】解：∵CE平分∠BCD交AD边于点E，
∴∠ECD＝∠ECB，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DEC＝∠ECB，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝DC，
∵AD＝2AB，
∴AD＝2CD，
∴AE＝DE＝AB＝2．
故选：C．
2．如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠BAD＝120°，则∠BCE的度数为（ ）
A．30° B．20° C．40° D．35°
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠B＝60°，
∵CE⊥AB，
∴∠E＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°；
故选：A．
3．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别相等
B．一组对边平行，另一组对边相等
C．两组对角分别相等
D．一组对边平行且相等
【解答】解：A、∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴选项A不符合题意；
B、∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，
∴选项B符合题意；
C、∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴选项C不符合题意；
D、∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
4．下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．3：2：3：2
【解答】解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．
故选：D．
5．小红同学周末在家做家务，不慎把家里的一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从玻璃店配到一块与原来相同的玻璃，他应该带其中（ ）两块去玻璃店．
A．①② B．②④ C．②③ D．①③
【解答】解：只有②④两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②④两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选：B．
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点F，EF⊥BD于点F，则OE+EF的值为（ ）
A． B．2 C． D．2
【解答】解：∵AB＝2，BC＝4，
∴矩形ABCD的面积为8，AC＝＝＝2，
∴BO＝CO＝AC＝，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△BOC的面积为2，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△BOC＝S△BOE+S△COE，
2＝CO×EO+BO×EF，
∴2＝××EO+×EF，
∴（EO+EF）＝4，
∴EO+EF＝，
故选：A．
7．如图，矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝6，OA＝4．则这个矩形的面积为（ ）
A．24 B．48 C．12 D．24
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝BO＝DO＝4，
∴BD＝8，
∴AD＝＝＝2，
∴矩形的面积＝AB×AD＝12，
故选：C．
8．平行四边形ABCD的边BC上有一动点E，连接DE，以DE为边作矩形DEGF且边FG过点A．在点E从点B移动到点C的过程中，矩形DEGF的面积（ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．一直变大 D．保持不变
【解答】解：如图，连接AE，
∵矩形DEGF的面积＝2△ADE的面积＝2×DE×FD＝DE×FD，
∴矩形DEGF的面积保持不变．
故选：D．
9．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，两对角线交于点O，则BO＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．10
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝8，OB＝OD，
∴BD＝＝＝10，
∴BO＝BD＝5；
故选：C．
10．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等 B．对角线相等
C．两组对边分别平行 D．对角线互相平分
【解答】解：矩形的性质有两组对边平行且相等，对角线互相平分且相等，平行四边形的性质有两组对边平行且相等，对角线互相平分，
故选：B．
11．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当OP＝PD时，点P的坐标是（ ）
A．（2.5，4） B．（2，4） C．（4，4） D．（5，4）
【解答】解：过点P作PE⊥OA于点E，
∵长方形OABC的顶点A，C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，
∴OD＝5，
∵OP＝PD，PE⊥OA，
∴OE＝2.5，
∴点P的坐标为（2.5，4）；
故选：A．
12．如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE，点F是AE的中点，连接DF，若AB＝9，AD＝，则四边形CDFE的面积是（ ）
A． B． C． D．54
【解答】解：过点F作直线MN，使MN⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠AMF＝∠ENP＝90°，AD＝BC＝6，
∵点F是AE的中点，
∴AF＝EF，
∵∠AFM＝∠EFN，
∴△AFM≌△EFN（AAS），
∴MF＝FN＝AB＝4.5，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝BC＝3，
∴四边形CDFE的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△AFD＝9×6﹣×9×3﹣×4.5×6＝27，
故选：C．
13．如图，四边形ABCD是平行四边形，两条对角线交于点O，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠ABC＝∠BCD B．∠ABC＝∠ADC C．AO＝BO D．AO＝DO
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∴不能判定平行四边形ABCD为矩形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，
∵AO＝DO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
14．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否相互平分
B．测量其中三个角是否都为直角
C．测量对角线是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
【解答】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形；
C、对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状；
D、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形．
故选：B．
15．如图，要使▱ABCD为矩形，则可以添加的条件是（ ）
A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠AOB＝60° D．AB＝BC
【解答】解：因为有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，
故选：B．
16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝12，BD＝16，则菱形的高AE为（ ）
A．9.6 B．4.8 C．10 D．5
【解答】解：在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，
∴BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，AC⊥BD，
∴BC＝＝＝10，
∵AE⊥BC，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝BC•AE，
∴AE＝＝＝9.6，
故选：A．
17．如图，菱形ABCD的边长为3，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E，F，AE＝4，则四边形AECF的周长为（ ）
A．22 B．20 C．18 D．16
【解答】解：在菱形ABCD中，∠BAC＝∠BCA，
∵AE⊥AC，
∴∠BAC+∠BAE＝∠BCA+∠E＝90°，
∴∠BAE＝∠E，
∴BE＝AB＝3，
∴EC＝BE+BC＝3+3＝6，
同理可得AF＝6，
∵AD∥BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF的周长＝2（AE+EC）＝2（4+6）＝20．
故选：B．
18．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直且相等
C．对角线相等
D．对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角
【解答】解：A、菱形和平行四边形的对角线都互相平分，故A选项不符合题意；
B、菱形和平行四边形的对角线都不相等，故B选项不符合题意；
C、菱形的对角线不相等，故C选项不符合题意；
D、菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角，平行四边形的对角线不互相垂直，每一条对角线不平分一组对角，故D选项符合题意．
故选：D．
19．如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AD、CD上，且AE＝CF，BA＝BE．若∠EBF＝60°，则∠C的度数为（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠A＝∠C，
在△ABE与△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，
∴BC＝BF，
∴∠C＝∠BFC，
设∠ABE＝∠CBF＝α，
∵∠EBF＝60°，
∴∠ABC＝2α+60°，
∴∠C＝180°﹣∠ABC＝180°﹣2α﹣60°＝120°﹣2α，
∴∠BFC＝∠C＝120°﹣2α，
∵∠C+∠BFC+∠CBF＝180°，
∴120°﹣2α+120°﹣2α+α＝180°，
∴α＝20°，
∴∠C＝80°，
故选：B．
20．如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD，则根据作图过程判定四边形ACDB是菱形的依据是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．对角线平分一组对角的四边形是菱形
C．一组邻边相等的四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
【解答】解：由作图得：BA＝BD，CA＝CD，
∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝BD＝CD，
∴四边形ACDB是菱形，
故选：D．
21．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，给出下列条件：（1）AB＝AD；（2）AC＝BD；（3）∠BOC＝90°；（4）∠ABC＝∠BCD；（5）∠ADB＝∠CDB．其中能判定四边形ABCD是菱形的方法有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（3）∵∠BOC＝90°，
∴AC⊥BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形；
（4）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（5）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠ADB＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴BC＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
其中能判定四边形ABCD是菱形的方法有3种，
故选：B．
22．在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，要使四边形ABCD为菱形，需添加的条件是（ ）
A．∠A＝∠C B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC＝BD
【解答】解：要使四边形ABCD为菱形，需添加的条件是AC⊥BD，理由如下：
∵四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故选：C．
23．下列叙述，错误的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【解答】解：方法一：A．根据对角线互相垂直的平行四边形可判定为菱形，再有对角线且相等可判定为正方形，故此选项正确，不符合题意；
B．根据对角线互相平分四边形可判定为平行四边形，再有对角线相等可判定为矩形，故此选项正确，不符合题意；
C．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确，不符合题意；
D．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
方法二：A．∵对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，
∴选项A不符合题意；
B．∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
∴选项B不符合题意；
C．∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项C不符合题意；
D．∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
24．如图，在▱ABCD中，AB＝BC，下列结论错误的是（ ）
A．四边形ABCD是菱形 B．AB＝AD
C．AO＝OC，BO＝OD D．∠BAD＝∠ABC
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，
故选：D．
25．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF的面积为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC＝4，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝4，
∴正方形ACEF的边长为4，
∴正方形ACEF的面积为16，
故选：C．
26．下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直
C．四个角都为直角 D．对角线互相平分
【解答】解：因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，矩形的对角相等，对角线相等，互相平分，
所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．
故选：B．
27．如图，正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BD＝6，BE＝DF＝4，则四边形AECF的面积为（ ）
A．12 B．6 C． D．
【解答】解：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD＝6，AC⊥EF，OD＝OB＝3，
∵BE＝DF＝4，
∴DE＝BF＝2，
∴OE＝OF＝1，
∵OA＝OC＝3，AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形，
∴S菱形AECF＝EF•AC＝＝6，
故选：B．
28．如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵CB＝6，BF＝2，
∴FC＝6﹣2＝4，
∵BA＝BC，BD⊥AC，
∴AD＝DC，
∵AE＝EF，
∴DE是△AFC的中位线，
∴DE＝FC＝×4＝2，
故选：B．
29．如图所示，已知四边形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，点E、F分别是AP、RP的中点，当点P在边BC上从点B向点C移动，且点R从点D向点C移动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变
D．△ABP和△CRP的面积和不变
【解答】解：连接AR，
∵E，F分别是AP，RP的中点，
∴EF＝AR，
∵当点P在BC上从点C向点B移动，点R从点D向点C移动时，AR的长度逐渐增大，
∴线段EF的长逐渐增大．
S△ABP+S△CRP＝BC•（AB+CR）．
∵CR随着点R的运动而减小，
∴△ABP和△CRP的面积和逐渐减小．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
30．如图，已知△ABC中AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④∠DAE＝90°．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：连接EC，
∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，故①正确；
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AE平分∠FAC，
∴∠FAC＝2∠FAE，
∵∠FAC＝∠B+∠ACB，
∴∠FAE＝∠B，
∴AE∥BC，故②正确；
∵AE∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD，
∴AE＝CD，
∵AE∥BC，∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴∠DAE＝90°，故④正确；
∵AE＝BD＝BC，AG＝AC，
∴AG＝AE错误（已知没有条件AC＝BC），故③错误；
即正确的个数是3个，
故选：C．
二．解答题（共30小题）
31．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC的三等分点，连接BE，DF．证明：BE＝DF．
【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵E，F是对角线AC的三等分点，
∴AE＝CF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF．
32．如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．
（1）求证：AB＝AE．
（2）若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，
∴∠E＝∠DCF，
∵点F是AD中点，
∴AF＝DF，
∵∠EFA＝∠CFD，
∴△AFE≌△DFC（AAS），
∴CD＝AE，
∴AB＝AE；
（2）解：由（1）可得AF＝DF，BC＝AD，
∵BC＝2AE，
∴AE＝AF，
∵∠E＝31°，
∴∠AFE＝∠E＝31°，
∴∠DAB＝2∠E＝62°．
33．已知：▱ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：AE＝CF．
【解答】证明∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD，AB＝CD
∴∠ABD＝∠CDB
∵∠BAE＝∠DCF，CD＝AB，∠ABD＝∠BDC
∴△ABE≌△CDF
∴AE＝CF
34．如图所示，在▱ABCD中，点E，点F分别是AD，BC的中点，连结BE，DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若BE平分∠ABC，AB＝3，求平行四边形ABCD的周长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点E，点F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝DE＝AD，BF＝CF＝BC，
∴DE＝BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴ED＝BF，
∴AE＝CF．
又在▱ABCD中，AB＝CD．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
又∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
∴AD＝2AE＝6，
∴平行四边形ABCD的周长＝2×（3+6）＝18．
35．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，AB＝CD，点E是CD的中点．
求证：四边形ABCE是平行四边形．
【解答】证明：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴AB∥EC，
∵点E是CD的中点，
∴EC＝CD，
∵AB＝CD，
∴AB＝EC，
∴四边形ABCE是平行四边形．
36．如图，E，F为▱ABCD对角线BD上的两点，若再添加一个条件，就可证出四边形CFAE是平行四边形，
请完成以下问题：
（1）你添加的条件是 BE＝DF ．
（2）请根据题目中的条件和你添加的条件证明．
【解答】（1）解：添加的条件是：BE＝DF，
故答案为：BE＝DF；
（2）证明：如图，连接AC交BD于点O，连接AF、CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，
∴四边形CFAE是平行四边形．
37．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
【解答】（1）证明：在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（ASA），
∴OD＝OE，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵AB＝BC，AO＝CO，
∴OB⊥AC，
∴平行四边形AECD是菱形，
∵AC＝8，
∴CO＝AC＝4，
在Rt△COD中，由勾股定理得：OD＝＝＝3，
∴DE＝2OD＝6，
∴菱形AECD的面积＝AC×DE＝×8×6＝24．
38．如图所示，△ABC≌△EAD，点E在BC上．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠B：∠CAD＝3：2，∠EDC＝25°，求∠AED的度数．
【解答】（1）证明：∵△ABC≌△EAD，
∴BC＝AD，∠B＝∠EAD，AB＝EA，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠EAD＝∠AEB，
∴BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：设∠B＝3x，则∠CAD＝2x，
由（1）得：四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠B＝3x，
∵BC∥AD，
∴∠ACB＝∠CAD＝2x，
∵△ABC≌△EAD，
∴∠ADE＝∠ACB＝2x，
∵∠ADC﹣∠ADE＝∠EDC，
∴3x﹣2x＝25°，
解得：x＝25°，
∴∠ADE＝2x＝50°，∠EAD＝∠B＝3x＝75°，
∴∠AED＝180°﹣50°﹣75°＝55°．
39．如图，已知在▱ABCD中，线段EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，且AO＝CO，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE为平行四边形；
（2）求证：△ABF≌△CDE．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
由（1）得：四边形AFCE为平行四边形，
∴AF＝CE，AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
即DE＝BF，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SSS）．
40．如图，点A、F、C、D在一条直线上，AB∥DE且AB＝DE，AF＝DC，求证：四边形BCEF是平行四边形．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠BAF＝∠EDC，
在△AFB和△DCE中，
，
∴△AFB≌△DCE（SAS），
∴FB＝CE，∠AFB＝∠DCE，
∴∠BFC＝∠ECF，
∴FB∥CE，
又∵FB＝CE，
∴四边形BCEF是平行四边形．
41．如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．求证：四边形ADCE是平行四边形．
【解答】证明：∵CE∥AB，
∴∠FAD＝∠FCE，∠ADF＝∠CEF，
∵F是AC中点，
∴AF＝CF，
在△AFD与△CFE中，
，
∴△AFD≌△CFE（AAS），
∴DF＝EF，
∴四边形ADCE是平行四边形．
42．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．
（I）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形．
【解答】（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵BE＝EF，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE∥DF，
即DF∥AC；
（2）证明：如图所示：
由（1）得：DF∥AC，
∴∠DFG＝∠CEG，∠GDF＝∠GCE，
∵G是CD的中点，
∴DG＝CG，
在△DFG和△CEG中，
，
∴△DFG≌△CEG（AAS），
∴FG＝EG，
∴四边形CFDE是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵2AB＝BF，
∴2CD＝BF，
又∵EF＝BE，
∴CD＝EF，
∴平行四边形CFDE是矩形．
43．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．点F在BA延长线上，AG平分∠FAC，过D作AB的平行线交AG于点E．求证：四边形ADCE是矩形．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AG平分∠FAC，
∴∠FAE＝∠EAC，
∵∠B+∠ACB＝∠FAE+∠EAC，
∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，
∴AE∥CD，
又∵DE∥AB，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴AE∥BD，AE＝BD，
∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴BD＝DC，
∴AE∥DC，AE＝DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCE是矩形．
44．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，射线AN平分外角∠CAM，过点C作CE⊥AN于点E，求证：四边形ADCE是矩形．
【解答】证明：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC，
∴∠ADC＝90°，
∵AN是△ABC外角的平分线，
∴∠CAE＝∠CAM，
∵∠BAC+∠CAM＝180°，
∴∠DAN＝∠CAD+∠CAE＝（∠BAC+∠CAM）＝90°；
∵CE⊥AN，
∴∠CEA＝90°，
∴四边形ADCE为矩形．
45．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F，连接AC，BE，若∠AFC＝2∠D．求证：四边形ABEC是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝∠D，
∵CE＝CD，
∴AB＝CE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴BC＝2BF，AE＝2AF，
∵∠AFC＝∠ABC+∠BAE＝2∠D，
∴∠ABC＝∠BAE，
∴AF＝BF，
∴AE＝BC，
∴四边形ABEC是矩形．
46．如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2MO．
求证：四边形AMCN是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵MO＝NO，
∴MN＝2MO，
∵AC＝2MO，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形．
47．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝60°，菱形ABCD的周长为24．
（1）求对角线BD的长；
（2）求菱形ABCD的面积．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，周长为24，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，AC⊥BD，OB＝OD＝BD，OA＝OC＝AC，∠BAO＝∠BAD＝×60°＝30°，
∴∠AOB＝90°，
∴OB＝AB＝3，
∴BD＝2OB＝6；
（2）由（1）得：BD＝6，AB＝6，OB＝3，∠AOB＝90°，
∴OA＝＝＝3，
∴AC＝2OA＝6，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×6×6＝18．
48．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，
（1）求证：∠DHO＝∠DCO．
（2）若OC＝4，BD＝6，求菱形ABCD的周长和面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，
∴∠DHB＝90°，
∴OH＝BD＝OD＝OB，
∴∠ODH＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠ODH+∠ODC＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠ODC+∠DCO＝90°，
∴∠ODH＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCO；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，OD＝OB＝BD＝3，OA＝OC＝4，BD⊥AC，
∴AC＝2OC＝4，∠COD＝90°，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD＝＝＝5，
∴菱形ABCD的周长＝4CD＝20，
菱形ABCD的面积＝BD×AC＝×6×8＝24．
49．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD．求证：四边形ABCD是菱形．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形．
50．如图，在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O作EF⊥BD，垂足为点O，且交AD，BC分别于点E，F．
求证：四边形BEDF是菱形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O为对角线BD的中点，
∴BO＝DO，∠EDB＝∠FBO，
在△EOD和△FOB中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；
∴OE＝OF，
又∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴平行四边形BEDF为菱形．
51．已知：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点F，E是AC的中点，过A作AD∥BC，交FE的延长线于点D．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）∠BAC和∠ACB满足什么数量关系时，四边形AFCD是菱形．请证明你的结论．
【解答】（1）证明：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠FCE，
在△EAD和△ECF中，
，
∴△EAD≌△ECF（ASA），
∴DE＝EF，
∴四边形AFCD是平行四边形；
（2）解：当∠BAC＝2∠ACB时，四边形AFCD是菱形，
证明：∵∠BAF＝∠CAF，
∴∠CAF＝∠ACB，
∴FA＝FC，
又∵四边形AFCD是平行四边形，
∴四边形AFCD是菱形．
52．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连接CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，连接EF交BC于点G．
（1）求证：△CDE≌△CBF；
（2）当E是AD的中点时，求CG的长．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，DC＝BC，∠D＝∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝90°，∠DCE+∠BCE＝∠DCB＝90°，
∵CF⊥CE，
∴∠ECF＝90°，
∴∠BCF+∠BCE＝∠ECF＝90°，
∴∠DCE＝∠BCF，
在△CDE和△CBF中，
，
∴△CDE≌△CBF（ASA）；
（2）解：在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴△GBF∽△EAF，
∴＝，
由（1）知，△CDE≌△CBF，
∵E是AD的中点，正方形的边长为1，
∴BF＝DE＝，
∴AF＝AB+BF＝，AE＝，
∴＝，
∴BG＝，
∴CG＝BC﹣BG＝．
答：CG的长为．
53．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F，连接BF，CE．
（1）判断四边形BECF是什么特殊的四边形，并说明理由；
（2）当△ABC满足 ∠A＝45°或BC＝AC 时，四边形BECF是正方形．
【解答】解：（1）四边形BECF是菱形，理由如下：
∵EF垂直平分BC，
∴FB＝FC，EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵CF∥AB，
∴∠FCB＝∠EBC，
∴∠FCB＝∠ECB，
在△FCD和△ECD中，
，
∴△FCD≌△ECD（ASA），
∴CF＝CE，
∴FB＝FC＝CE＝BE，
∴四边形BECF是菱形；
（2）当∠A＝45°或BC＝AC时，
∵∠BCA＝90°，
∴△BCA是等腰直角三角形，
∴CE⊥BE，
∴菱形BECF是正方形，
故答案为：∠A＝45°或BC＝AC．
54．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，过点F作AE的平行线交对角线AC的延长线于点G，连接EG．
（1）求证：四边形AEGF是菱形；
（2）如果∠B＝∠BAE＝30°，求证：四边形AEGF是正方形．
【解答】（1）证明：∵菱形ABCD，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAC，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，
∴∠EAG＝∠FAG，
∵FG∥AE，
∴∠EAG＝∠FGA，
∴∠FAG＝∠FGA，
∴FG＝AF＝AE，
∵FG∥AE，
∴四边形AEGF是平行四边形，
又∵AF＝AE，
∴四边形AEGF是菱形；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝∠BAE＝30°，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF＝30°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B＝150°，
∴∠EAF＝∠BAD﹣∠BAE﹣∠DAF＝150°﹣30°﹣30°＝90°，
∵四边形AEGF是菱形，
∴四边形AEGF是正方形．
55．已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且CA＝CB，延长BC至点E，使CE＝BC，联结DE．
（1）当AC⊥BD时，求证：BE＝2CD；
（2）当∠ACB＝90°时，求证：四边形ACED是正方形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵AC⊥BD，
∴BC＝CD，
∵BC＝CE，
∴BC＝CE＝CD，
即BE＝2CD；
（2）
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BC＝CE，
∴AD＝CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AC＝CE，∠ACE＝90°，
∴四边形ACED是正方形．
56．如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：△BOE≌△COD；
（2）若BC平分∠DBE，请判断并证明四边形BECD的形状．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∴∠OEB＝∠ODC，
又∵O为BC的中点，
∴BO＝CO，
在△BOE和△COD中，
，
∴△BOE≌△COD（AAS）；
（2）解：四边形BECD是菱形；
证明：∵△BOE≌△COD，
∴OE＝OD，BO＝CO，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵AE∥CD，
∴∠BCD＝∠CBE，
∵BC平分∠DBE，
∴∠DBC＝∠CBE，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴BD＝DC，
∴四边形BECD是菱形．
57．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，点F在线段BD上，且DE＝BF．求证：AE∥CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠CFB，
∴AE∥CF．
58．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD于点E，交BC于点F，求证：AE＝CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∵，
∴△AOE≌△COF（ASA）
∴AE＝CF．
59．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．
（1）求证：△AMB≌△CND；
（2）若BD＝2AB，且AM＝3，DN＝4，求四边形DEMN的面积．
【解答】（本题满分12分）
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，
∴∠BAC＝∠DCA，
又点M，N分别为OA、OC的中点，
∴，
在△AMB和△CND中，
，
∴△AMB≌△CND（SAS）．
（2）解：BD＝2BO，又已知BD＝2AB，
∴BO＝AB，
∴△ABO为等腰三角形；
又M为AO的中点，
∴由等腰三角形的“三线合一”性质可知：BM⊥AO，
∴∠BMO＝∠EMO＝90°，
同理可证DN⊥CO，∠DNO＝90°，
∵∠EMO+∠DNO＝90°+90°＝180°，
∴EM∥DN，
∵△AMB≌△CND（SAS）
∴BM＝DN，
∵EM＝BM，
∴EM∥DN，
∵△AMB≌△CND（SAS）
∴BM＝DN，
∵EM＝BM，
∴EM＝DN，
∴四边形EMND为平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，又点M，N分别为OA、OC的中点，
∴AM＝MO﹣ON＝NC＝3，
∴MN＝MO+ON＝2AM＝6，
∴矩形DEMN的面积为：MN×DN＝6×4＝24．
60．如图，在▱ABCD中，E是CD边上的中点，AD，BE的延长线相交于点F．
（1）求证：△BCE≌△FDE．
（2）若DF＝3，DE＝2，求▱ABCD的周长．
【解答】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FDE＝∠C，∠F＝∠CBE，
∵E是CD边上的中点，
∴DE＝CE，
在△BCE和△FDE中，
，
∴△BCE≌△FDE（AAS）；
（2）解：由（1）得△BCE≌△FDE，
∴BC＝DF＝3，
∵E是CD边上的中点，
∴CD＝2DE＝4，
∴▱ABCD的周长为：2（BC+CD）＝14．
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日期：2022/2/20 11:18:42；用户：17375714133；邮箱：17375714133；学号：21642040
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