人教版数学八年级下册期末专题复习四　特殊平行四边形第4课时 综合训练 特殊平行四边形的性质和判定的灵活应用

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1．如图，将矩形纸片ABCD沿AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.
(1)试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；
(2)若AB＝8，DE＝3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于点G，PH⊥EC于点H，试求PG＋PH的值．
2．(2019·青岛)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使
EG＝AE，连接CG.
(1)求证△ABE≌△CDF.
(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
3．(中考·台州)如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H.
(1)求证△PHC≌△CFP；
(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并写出它们面积之间的关系．
4．(2019·百色)如图，在菱形ABCD中，作BE⊥AD，CF⊥AB，分别交AD，AB的延长线于点E，F.
(1)求证：AE＝BF；
(2)若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．
5．【2020·扬州】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB，DC于点E，F，连接AF，CE.
(1)若OE＝eq \f(3,2)，求EF的长；
(2)判断四边形AECF的形状，并说明理由．
6．(中考·江西)(1)如图①，在平行四边形纸片ABCD中，AD＝5，S▱ABCD＝15.过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为( )
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
(2)如图②，在(1)中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D.
①求证：四边形AFF′D是菱形；
②求四边形AFF′D的两条对角线的长．
7．(2019·湘西州)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF＝CE.
(1)求证△ABF≌△CBE；
(2)若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF的面积．
8．(中考·青岛)已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.
(1)求证△BCE≌△DCF.
(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
9．如图，矩形AOBC，点A、B分别在x、y轴上，对角线AB、OC交于点D，点C（3，1），点M是射线OC上一动点．
(1)求证：△ACD是等边三角形；
(2)若△OAM是等腰三角形，求点M的坐标；
参考答案
1．如图，将矩形纸片ABCD沿AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.
(1)试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；
解：△AED≌△CEB′.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝DA，∠B＝∠D.
由折叠的性质，知BC＝B′C，∠B＝∠B′，
∴B′C＝DA，∠B′＝∠D.
在△AED和△CEB′中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠DEA＝∠B′EC，,∠D＝∠B′，,DA＝B′C，))
∴△AED≌△CEB′(AAS)．
(2)若AB＝8，DE＝3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于点G，PH⊥EC于点H，试求PG＋PH的值．
解：如图，延长HP交AB于点M，则PM⊥AB.
∵∠1＝∠2，PG⊥AB′，PM⊥AB，
∴PM＝PG.
∵CD∥AB，∴∠2＝∠3.
∴∠1＝∠3.
∴AE＝CE＝CD－DE＝AB－DE＝8－3＝5.
在Rt△ADE中，DE＝3，AE＝5，
∴AD＝eq \r(52－32)＝4.
∵PH＋PM＝AD，
∴PG＋PH＝AD＝4.
2．(2019·青岛)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使
EG＝AE，连接CG.
(1)求证△ABE≌△CDF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD.
∴∠ABE＝∠CDF.
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝eq \f(1,2)OB，DF＝eq \f(1,2)OD. ∴BE＝DF.
在△ABE和△CDF中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝CD，,∠ABE＝∠CDF，,BE＝DF，))
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，即AC＝2OA.又∵AC＝2AB，
∴AB＝OA.
∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°.
同理CF⊥OD. ∴AG∥CF. ∴EG∥CF，
∵EG＝AE，OA＝OC，
∴OE是△ACG的中位线．∴OE∥CG.
∴EF∥CG，∴四边形EGCF是平行四边形．
又∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．
3．(中考·台州)如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H.
(1)求证△PHC≌△CFP；
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC.
∵PF∥AB，PH∥AD，
∴PF∥CD，PH∥BC.
∴∠CPF＝∠PCH，∠PCF＝∠CPH.
在△PHC和△CFP中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠PCH＝∠CPF，,PC＝CP，,∠CPH＝∠PCF，))
∴△PHC≌△CFP(ASA)．
(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并写出它们面积之间的关系．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D＝∠B＝∠DAB＝∠BCD＝90°，S△ACD＝S△CAB.
又EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC，
∴四边形PEDH、四边形PFBG、四边形PEAG和四边形
PFCH都是矩形．
∴S△APE＝S△PAG，S△PCH＝S△CPF.
∴S△ACD－S△APE－S△PCH＝S△CAB－S△PAG－S△CPF，
即S矩形PEDH＝S矩形PFBG.
4．(2019·百色)如图，在菱形ABCD中，作BE⊥AD，CF⊥AB，分别交AD，AB的延长线于点E，F.
(1)求证：AE＝BF；
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC.∴∠A＝∠CBF.
∵BE⊥AD，CF⊥AB，∴∠AEB＝∠BFC＝90°.
∴△AEB≌△BFC(AAS)．∴AE＝BF.
(2)若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．
解：∵点E是AD的中点，且BE⊥AD，
∴直线BE为AD的垂直平分线，
∴BD＝AB＝2.
5．【2020·扬州】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB，DC于点E，F，连接AF，CE.
(1)若OE＝eq \f(3,2)，求EF的长；
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AO＝CO.
∴∠FCO＝∠EAO.
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)．
∴OE＝OF＝eq \f(3,2). ∴EF＝OE＋OF＝eq \f(3,2)＋eq \f(3,2)＝3.
(2)判断四边形AECF的形状，并说明理由．
解：四边形AECF是菱形，
理由：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF.
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．
6．(中考·江西)(1)如图①，在平行四边形纸片ABCD中，AD＝5，S▱ABCD＝15.过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为( )
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
(2)如图②，在(1)中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D.
①求证：四边形AFF′D是菱形；
证明：∵△AEF经过平移得到△DE′F′，
∴AF∥DF′，AF＝DF′.
∴四边形AFF′D是平行四边形．
∵S▱ABCD＝AD·AE＝15，AD＝5，
∴AE＝3.
∵AE＝3，EF＝4，∠AEE′＝90°，
∴AF＝eq \r(AE2＋EF2)＝eq \r(32＋42)＝5.
∵AD＝5，∴AD＝AF.
∴四边形AFF′D是菱形．
②求四边形AFF′D的两条对角线的长．
解：如图，连接AF′，DF.
在Rt△AEF′中，AE＝3，
EF′＝EF＋FF′＝4＋5＝9，
根据勾股定理，得AF′＝3eq \r(10)；
在Rt△DFE′中，FE′＝EE′－EF＝5－4＝1，DE′＝AE＝3，
根据勾股定理，得DF＝eq \r(10).
∴四边形AFF′D的两条对角线的长分别是3eq \r(10)和eq \r(10).
7．(2019·湘西州)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF＝CE.
(1)求证△ABF≌△CBE；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝BC. 在△ABF和△CBE中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝BC，,∠A＝∠C，,AF＝CE，))∴△ABF≌△CBE(SAS)．
(2)若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF的面积．
解：由已知可得正方形ABCD的面积为16，
△ABF的面积＝△CBE的面积＝eq \f(1,2)×4×1＝2.
∴四边形BEDF的面积为16－2×2＝12.
8．(中考·青岛)已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.
(1)求证△BCE≌△DCF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D.
∵点E，F分别为AB，AD的中点，
∴BE＝eq \f(1,2)AB，DF＝eq \f(1,2)AD.
∴BE＝DF.
在△BCE和△DCF中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(BC＝DC，,∠B＝∠D，,BE＝DF，))
∴△BCE≌△DCF(SAS)．
(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形．理由如下：
∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，
∴OE＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)AD＝AF. 同理可证OF＝AE＝eq \f(1,2)AB，
∴OE＝OF＝AF＝AE. ∴四边形AEOF是菱形．∵AB⊥BC，
又易知OE∥BC，∴AE⊥OE. ∴四边形AEOF是正方形．
9．如图，矩形AOBC，点A、B分别在x、y轴上，对角线AB、OC交于点D，点C（3，1），点M是射线OC上一动点．
(1)求证：△ACD是等边三角形；
(2)若△OAM是等腰三角形，求点M的坐标；
解：（1）∵C（3，1），
∴AC=1，OA=3，
∴OC=2，
∴∠COA=30°，∠OCA=60°，
∵矩形AOBC，
∴∠ABC=∠OCB=30°，
∴∠ADC=60°，
∴△ACD是等边三角形；
（2）△OAM是等腰三角形，
当OM=MA时，此时点M与点D重合，
∵C（3，1），点D为OC中点，
∴M（32，12）．
当OM1=OA时，做M1E⊥OA，垂足为E，如下图：
∴OM1=OA=3，
由（1）知∠M1OA=30°，
∴M1E=32，OE=32，
∴M1（32，32）．
当OA=OM2时，作M2F⊥OA，垂足为F，如上图：
AM2=3，
由（1）知∠COA=∠AM2O=30°，
∴∠M2AF=60°，
∴AF=32，M2F=32，
M2（332，32）．
综上所述：点M坐标为M（32，12）、（32，32）、（332，32）．