浙教版八年级下册数学期末压轴强化训练：特殊平行四边形压轴题专项

浙教版八年级下册数学期末压轴强化训练

 特殊平行四边形压轴题专项

（1）

1．已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．

（1）求证：PB＝PE；

（2）在点P的运动过程中，PF长度是否发生变化？若不变，求这个不变的值；若变化，试说明理由．

2．如图，在正方形ABCD中，CD=．若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出∠APD的度数，并求出点A到BP的距离．

3．如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接EB，GD．

（1）如图1，求证EB＝GD；

（2）如图2，若点E在线段DG上，AB＝5，AG＝，求BE的长．

4．如图1，在矩形ABCD中，E是CB延长线上一个动点，F、G分别为AE、BC的中点，FG与ED相交于点H．

（1）求证：HE＝HG；

（2）如图2，当BE＝AB时，过点A作AP⊥DE于点P，连接BP，求的值；

5．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．

（1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；

（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．

6．如图，在平行四边形ABCD中，按下列步骤作图：

①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点N．交BC于点M；②再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线BG交AD于F；④过点A作AE⊥BF交BF于点P，交BC于点E；⑤连接EF，PD．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若AB＝8，AD＝10，∠ABC＝60°，求DP的长．

7．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．

（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE=，求AB的长；

（2）如图2，若DA＝DE，求证：BF+DFAF．

8．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．

（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝　            　；

（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；

（3）若AG=，请求出此时DE的长．

9．如图，P为正方形ABCD的边BC的延长线上一动点，以DP为一边作正方形DPEM，以E为一顶点作正方形EFGH，且FG在BC的延长线上（提示：正方形四条边相等，且四个内角为90°）

（1）若正方形ABCD、DPEM的面积分别为a，b，则正方形EFGH的面积为　    　（直接写结果）．

（2）过点P作BC的垂线交∠PDC的平分线于点Q，连接QE，试探求在点P运动过程中，∠DQE的大小是否发生变化，并说明理由．

10．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．

（1）证明平行四边形ECFG是菱形；

（2）若∠ABC＝120°，连接BG、CG、DG，如图2所示，

①求证：△DGC≌△BGE；

②求∠BDG的度数；

（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长

（2）

1．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

（1）求证：矩形DEFG是正方形；

（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

2．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H．

【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且AG＝BE＝CH＝DF，则S四边形AEOG＝　              　S正方形ABCD；

【拓展】如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOGS矩形ABCD，设AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；

【探究】如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝3，AD＝5，BE＝1，试确定F、G、H的位置，使直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．

3．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．

（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；

（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；

（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．

4．如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F，

（1）证明：PC＝PE；

（2）求∠CPE的度数；

（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

5．如图（1），正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．

（1）求证：OE＝OF；

（2）如图（2）若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM交DB的延长线于点F，其他条件不变，结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

6．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD＝3，BE＝4，求BC+DE的值．

小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

（1）请按照上述思路完成小明遇到的这个问题

（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，已知▱ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC＝BF＝DF，求∠DGC的度数．

7．如图，以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG．

（1）求证：△BDE≌△BAC；

（2）求证：四边形ADEG是平行四边形．

（3）直接回答下面两个问题，不必证明：

①当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？

②当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？

8．长方形OABC的位置如图所示，点B的坐标为（8，4），点P从点C出发向点O移动，速度为每秒1个单位；点Q同时从点O出发向点A移动，速度为每秒2个单位，设运动时间为t（0≤t≤4）

（1）填空：点A的坐标为　      　，点C的坐标为　      　，点P的坐标为　      　．（用含t的代数式表示）

（2）当t为何值时，P、Q两点与原点距离相等？

（3）在点P、Q移动过程中，四边形OPBQ的面积是否变化？说明理由．

9．探索与发现：

（1）正方形ABCD中有菱形PEFG，当它们的对角线重合，且点P与点B重合时（如图1），通过观察或测量，猜想线段AE与CG的数量关系，并证明你的猜想；

（2）当（1）中的菱形PEFG沿着正方形ABCD的对角线平移到如图2的位置时，猜想线段AE与CG的数量关系，并证明你的猜想．

10.已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．

（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．

（2）如图1，求AF的长．

（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．

①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．

②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

（3）

1．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F．

（1）如图2，取AB的中点H，连接HE，求证：AE＝EF．

（2）如图3，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变结论“AE＝EF”仍然成立吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由．

2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．

（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；

（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

3．定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．

（1）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；

（2）如图2，准矩形ABCD中，M、N分别AD、BC边上的中点，若AC=MN，求AB2、BC2、CD2、AD2之间的关系．

4．如图，以△ABC的各边为边长，在边BC的同侧分别作正方形ABDI，正方形BCFE，正方形ACHG，连接AD，DE，EG．

（1）求证：△BDE≌△BAC；

（2）①设∠BAC＝α，请用含α的代数式表示∠EDA，∠DAG；

②求证：四边形ADEG是平行四边形；

（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？请说明理由．

5．已知：如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点G是射线AB上的一个动点，以DG为边向右作正方形DGEF，作EH⊥AB于点H．

（1）若点G在点B的右边．试探索：EH﹣BG的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

（2）连接EB，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，求∠EBH的度数．

6．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

（1）求证：EO＝FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．

7．已知：在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、DA上．

（1）如图1，四边形EFGH为正方形，AE＝2，求GC的长．

（2）如图2，四边形EFGH为菱形，设BF＝x，△GFC的面积为S，且S与x满足函数关系S＝6x．在自变量x的取值范围内，是否存在x，使菱形EFGH的面积最大？若存在，求x的值，若不存在，请说明理由．

8．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD、BC于E、F，作BH⊥AF于点H，分别交AC、CD于点G、P，连接GE、GF．

（1）求证：△OAE≌△OBG．

（2）试问：四边形BFGE是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由．

9．已知，如图，O为正方形对角线的交点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连接DF，交BE的延长线于点G，连接OG．

（1）求证：△BCE≌△DCF．

（2）判断OG与BF有什么关系，证明你的结论．

（3）若DF2＝8﹣4，求正方形ABCD的面积？

10．如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，

（1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明；

（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG、CE相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化？若不变化，求出∠EMB的度数；若发生变化，请说明理由．

（3）在（2）的条件下，过A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请求出线段CM与BN的数量关系．