初中数学八年级实数练习题60道（含答案）

这是一份初中数学八年级实数练习题60道（含答案），共48页。试卷主要包含了已知，则的值为，下列各式中正确的是，的算术平方根是，若，则等于等内容，欢迎下载使用。
初中数学八年级实数练习题
一．选择题（共34小题）
1．已知，则的值为　　
A．2021 B．2022 C．4043 D．4044
2．下列各式中正确的是　　
A． B． C． D．
3．的算术平方根是　　
A．3 B． C． D．9
4．有一个数值转换器，原理如下，当输入的为81时，输出的是　　

A． B．9 C．3 D．
5．若，则等于　　
A． B． C． D．
6．意大利著名画家达芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示的左图和右图，证明了勾股定理．若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，则下列对，所列等式正确的是　　

A． B． C． D．
7．如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积为　　

A．5 B．9 C．16 D．25
8．如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是　　

A．5 B．4 C．3 D．2
9．如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，则直角三角形较短的直角边与较长的直角边的比的值是　　

A． B． C． D．
10．如图，在中，，平分，于，若，，则的长是　　

A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
11．在、、、0.1010010001、、3.14这些实数中，无理数有　　
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．下列各数中，是无理数的是　　
A． B．0.010010001 C． D．4
13．下列说法中错误的是　　
A．单项式的次数为3 B．单项式的系数是
C．是无理数 D．是二次三项式
14．下列说法正确的是　　
A．4的平方根是2 B．的平方根是
C．没有平方根 D．2是4的一个平方根
15．若单项式与可以合并成一项，则的平方根是　　
A．4 B．2 C． D．
16．下列说法正确的是　　
A．4的平方根是2
B．的立方根是
C．64的立方根是
D．平方根是它本身的数只有0和1
17．下列说法：①的立方根是3，②36的算术平方根是，③的立方根是，④的平方根是，其中正确说法的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
18．下列说法正确的是　　
A．的平方根是 B．
C．1的立方根是 D．0没有平方根
19．的平方根是，的立方根是，则的值为　　
A．7 B．11 C．或7 D．11或
20．如图，某计算器中三个按键，以下是这三个按键的功能：
：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；
：将荧幕显示的数变成它的倒数；
：将荧幕显示的数变成它的平方．
小明输入一个数据后，按照如图步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．

若一开始输入的数据为10，则第2019步后，显示的结果是　　

A． B．10 C． D．
21．利用计算器求的值，正确的按键顺序为　　
A．
B．
C．
D．
22．如图，某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．
①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；
②：将荧幕显示的数变成它的倒数；
③：将荧幕显示的数变成它的平方．
小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．

若一开始输入的数据为5，那么第2021步之后，显示的结果是　　

A．5 B． C． D．25
23．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：










0.25
0.7906
2.5
7.906
25
79.06
250

根据以上规律，若，，则　　
A．13.0 B．130 C．41.1 D．411
24．式子的结果精确到0.01为（可用计算器计算或笔算）　　
A．4.9 B．4.87 C．4.88 D．4.89
25．若实数的相反数是，则倒数的算术平方根是　　
A． B．2 C． D．
26．无理数在数轴上位置的描述，正确的是　　
A．在点的左边 B．在点的右边
C．和原点的距离小于3 D．和原点的距离大于3
27．如图，数轴上，两点分别对应实数，，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．
28．已知实数、在数轴上的位置如图所示，则代数式可化简为　　

A． B． C． D．
29．已知实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论中错误的是　　

A． B． C． D．
30．如图，已知正方形的面积为5，点在数轴上，且表示的数为1．现以为圆心，为半径画圆，和数轴交于点在的右侧），则点表示的数为　　

A．3.2 B． C． D．
31．如图，已知，点表示的数为，则下列说法正确的是　　

A．的值为 B．的值为
C．的相反数为 D．的倒数为
32．如图，，，，则数轴上点所表示的数为　　

A． B． C． D．
33．下列说法正确的是　　
A．不带根号的数都是有理数 B．两个无理数的和还是无理数
C．平方根等于本身的数是0 D．立方根等于本身的数是0
34．如图，在数轴上表示的点可能是　　

A．点 B．点 C．点 D．点
二．解答题（共26小题）
35．如图，是一个数值转换器，原理如图所示．

（1）当输入的值为16时，求输出的值；
（2）是否存在输入的值后，始终输不出值？如果存在，请直接写出所有满足要求的值；如果不存在，请说明理由．
（3）输入一个两位数，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则　　．
36．如图是一个无理数筛选器的工作流程图．
（1）当为16时，值为　　；
（2）是否存在输入有意义的值后，却输不出值？如果存在，写出所有满足要求的值；如果不存在，请说明理由；
（3）当输出的值是时，判断输入的值是否唯一，如果不唯一，请写出其中的两个．

37．已知
（1）当时，先化简，再任取一个满足条件的无理数，求该式子的值；
（2）若点在坐标轴上，求点到原点的距离．
38．（1）写出两个负数，使它们的差为，并写出具体算式．
（2）说说“一个无理数与一个有理数的积一定是无理数”是否正确，请举例说明．
39．判断下面两句话是否正确．若正确请说明理由；若不正确，请举例说明．
（1）两个实数的和一定大于每一个加数．
（2）两个无理数的积一定是无理数．
40．数学课堂上，老师让同学们从下列数中找出一个无理数：，，，0，，，．其中，甲说“”，乙说“”，丙说“”．
（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是 　　．
（2）请将老师所给的数字按要求填入相应的区域内．

41．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为．这辆小汽车超速了吗？请说明理由．

42．东营市某中学在校园一角开辟了一块四边形的“试验田”，把课堂的“死教材”转换为生动的“活景观”，学生们在课堂上学习理论之余，还可以到“试验田”实际操练，对生物的发展规律有了更为直观的认识．如图，四边形是规划好的“试验田”，经过测量得知：，，，，．求四边形的面积．

43．我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．
（1）求证：；
（2）海港受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？

44．如图，连接四边形的对角线，已知，，，，．
（1）求证：是直角三角形；
（2）求四边形的面积．

45．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村庄为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点、、在同一直线上），并新建一条路，测得千米，千米，千米．
（1）是不是从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路比原路短多少千米？

46．已知一个数的两个不相等的平方根分别为和．
（1）求的值；
（2）求这个数．
47．已知一个正数的两个不相等的平方根是与．
（1）求的值及这个正数；
（2）求关于的方程的解．
48．（1）已知的平方根是，的平方根是，求的平方根；
（2）若与是同一个正数的平方根，求的值．
49．已知，，解下列问题：
（1）求的值；
（2）若，求的平方根．
50．已知某正数的两个不同的平方根是和；的立方根为．
（1）求、的值；
（2）求的平方根．
51．已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根．
52．已知的算术平方根是3，的立方根是，试求的值．
53．定义新运算：对于任意实数，，都有⊕，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：
2⊕



（1）求⊕3的值；
（2）若3⊕的值是最小的正整数，求的值．
54．数学课上，老师出了一道题：比较与的大小．
小华的方法是：
因为，所以　　2，所以　　（填“”或“” ；
小英的方法是：
，因为，所以　　0，所以　　0，所以　　（填“”或“” ．
（1）根据上述材料填空；
（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小．
55．定义：有、两只电子跳蚤在同一条数轴上跳动，它们在数轴上对应的实数分别为、．若实数、满足时，则称、处于“和谐位置”， 、之间的距离为“和谐距离”．
（1）当在原点位置，且、处于“和谐位置”时，“和谐距离”为 　　．
（2）当、之间的“和谐距离”为2022时，求、的值．
56．如图，为原点，长方形与的面积都为12，且能够完全重合，边在数轴上，．长方形可以沿数轴水平移动，移动后的长方形与重叠部分的面积记为．

（1）如图1，求出数轴上点表示的数．
（2）当恰好等于长方形面积的一半时，求出数轴上点表示的数．
（3）在移动过程中，设为线段的中点，点，所表示的数能否互为相反数？若能，求点移动的距离；若不能，请说明理由．
57．有理数、、在数轴上的对应点的位置如图所示，且．解答下列问题：
（1）用“”、“ ”或“”填空．
①　　；
②　　；
③　　0；
④　　0；
⑤　　0；
⑥　　0．
（2）化简：．

58．计算与求值：
（1）计算：；
（2）求下列各式中的
①；
②．
59．已知，如图，实数，，在数轴上表示的点分别是点，，，且，，满足．
（1）求，，的值；
（2）若点沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向右运动，速度分别是2个单位秒，3个单位秒．设运动时间为（秒．
①2秒后，点，，表示的数分别是 　　，　　，　　；
②运动秒后，求点和点之间的距离（用“”表示）和点和点之间的距离（用“”表示）；（用含的代数式表示）
③在②的基础上，请问：的值是否随着时间的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围．

60．如图1，正方形和长方形的周长相等，且各有一条边在数轴上，点，，，对应的数分别是，，2，8．正方形以每秒2个单位长度的速度向右移动，同时长方形以每秒1个单位长度的速度向左移动．设正方形和长方形重叠部分的面积为，移动时间为．
（1）长方形的面积是 　　．
（2）当是长方形面积的一半时，求的值．
（3）如图2，当正方形和长方形运动到点和点重合时，停止运动，将正方形绕点顺时针旋转，旋转角度为，点、分别在线段、线段的延长线上，平分，判断和之间的数量关系，用等式表示，并说明理由．


初中数学八年级实数练习题
参考答案与试题解析
一．选择题（共34小题）
1．已知，则的值为　　
A．2021 B．2022 C．4043 D．4044
【解答】解：







，
故选：．
2．下列各式中正确的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，故不符合题意；
，故符合题意；
被开方数小于0，无意义，故不符合题意；
被开方数小于0，无意义，故不符合题意；
故选：．
3．的算术平方根是　　
A．3 B． C． D．9
【解答】解：，
的算术平方根是3．
故选：．
4．有一个数值转换器，原理如下，当输入的为81时，输出的是　　

A． B．9 C．3 D．
【解答】解：由题意可得：81的算术平方根是9，9的算术平方根是3，
则3的算术平方根是，故输出的是．
故选：．
5．若，则等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：


，
故选：．
6．意大利著名画家达芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示的左图和右图，证明了勾股定理．若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，则下列对，所列等式正确的是　　

A． B． C． D．
【解答】解：观察图形可知：，
故选：．
7．如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积为　　

A．5 B．9 C．16 D．25
【解答】解：在中，，，，
，
正方形的面积，
故选：．
8．如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是　　

A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：，，
，
．
在和中，
，
，
，．
，
．
，
，
故①②正确；
，，
四边形的面积是；
故③正确；
梯形的面积直角三角形的面积两个直角三角形的面积，
，
．
故③④⑤都正确．
故选：．
9．如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，则直角三角形较短的直角边与较长的直角边的比的值是　　

A． B． C． D．
【解答】解：大正方形的面积是13，设边长为，
，
，
直角三角形的面积是，
又直角三角形的面积是，
，
，
．
小正方形的面积为，
，，
．
故选：．
10．如图，在中，，平分，于，若，，则的长是　　

A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【解答】解：，
，
又是的平分线，，
，
，
，
，
故选：．
11．在、、、0.1010010001、、3.14这些实数中，无理数有　　
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：，
无理数有、，共有2个，A
故选：．
12．下列各数中，是无理数的是　　
A． B．0.010010001 C． D．4
【解答】解：．是无理数，故本选项符合题意；
．0.010010001是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
．是循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
．4是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
故选：．
13．下列说法中错误的是　　
A．单项式的次数为3 B．单项式的系数是
C．是无理数 D．是二次三项式
【解答】解：．单项式的次数为3，说法正确，故本选项不符合题意；
．单项式的系数是，故本选项符合题意；
．是无理数，说法正确，故本选项不符合题意；
．是二次三项式，说法正确，故本选项不符合题意；
故选：．
14．下列说法正确的是　　
A．4的平方根是2 B．的平方根是
C．没有平方根 D．2是4的一个平方根
【解答】解：、4的平方根是，故错误；
、没有平方根，故错误；
、，有平方根，故错误；
、2是4的一个平方根，故正确．
故选：．
15．若单项式与可以合并成一项，则的平方根是　　
A．4 B．2 C． D．
【解答】解：由题意得：，，
解得：，，
则，
所以的平方根是，
故选：．
16．下列说法正确的是　　
A．4的平方根是2
B．的立方根是
C．64的立方根是
D．平方根是它本身的数只有0和1
【解答】解：的平方根是，
选项不符合题意；

的立方根是，
选项符合题意；

的立方根是4，
选项不符合题意；

平方根是它本身的数只有0，
选项不符合题意．
故选：．
17．下列说法：①的立方根是3，②36的算术平方根是，③的立方根是，④的平方根是，其中正确说法的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①的立方根是，故①错误；
②36的算术平方根是6，故②错误；
③的立方根是，故③正确；
④的平方根是，故④错误；
所以：正确说法的个数是：1个，
故选：．
18．下列说法正确的是　　
A．的平方根是 B．
C．1的立方根是 D．0没有平方根
【解答】解：、，9的平方根是，符合题意；
、，不符合题意；
、1的立方根是1，不符合题意；
、0的平方根是0，不符合题意．
故选：．
19．的平方根是，的立方根是，则的值为　　
A．7 B．11 C．或7 D．11或
【解答】解：，4的平方根为，即，
，
当，时，，
当，时，，
故选：．
20．如图，某计算器中三个按键，以下是这三个按键的功能：
：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；
：将荧幕显示的数变成它的倒数；
：将荧幕显示的数变成它的平方．
小明输入一个数据后，按照如图步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．

若一开始输入的数据为10，则第2019步后，显示的结果是　　

A． B．10 C． D．
【解答】解：由题意知第1步结果为，
第2步结果为，
第3步结果为，
第4步结果为，
第5步结果为，
第6步计算结果为10，

运算的结果以100、0.01、0.1、0.01、100、10六个数为周期循环，
，
第2019步之后显示的结果为0.1，即．
故选：．
21．利用计算器求的值，正确的按键顺序为　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是选项中的顺序．
故选：．
22．如图，某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．
①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；
②：将荧幕显示的数变成它的倒数；
③：将荧幕显示的数变成它的平方．
小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．

若一开始输入的数据为5，那么第2021步之后，显示的结果是　　

A．5 B． C． D．25
【解答】解：由题意知第1步结果为，
第2步结果为，
第3步结果为，
第4步结果为，
第5步结果为，
第6步计算结果为，
第7步计算结果为，

运算的结果以25、0.04、0.2、0.04、25、5 六个数为周期循环，
，
第2021步之后显示的结果为25．
故选：．
23．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：










0.25
0.7906
2.5
7.906
25
79.06
250

根据以上规律，若，，则　　
A．13.0 B．130 C．41.1 D．411
【解答】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位．
，
．
故选：．
24．式子的结果精确到0.01为（可用计算器计算或笔算）　　
A．4.9 B．4.87 C．4.88 D．4.89
【解答】解：，，
．
故选：．
25．若实数的相反数是，则倒数的算术平方根是　　
A． B．2 C． D．
【解答】解：实数的相反数是，
，
倒数是，
倒数的算术平方根是：．
故选：．
26．无理数在数轴上位置的描述，正确的是　　
A．在点的左边 B．在点的右边
C．和原点的距离小于3 D．和原点的距离大于3
【解答】解：、，则在的右边，故选项不符合题意；
、，则在的左边，故选项不符合题意；
、和原点的距离是，，故选项不符合题意；
、和原点的距离是，，故选项符合题意．
故选：．
27．如图，数轴上，两点分别对应实数，，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．
【解答】解：由数轴可知，，．
，，
，
选项错误；
，
，
又，
，
选项正确；
，，，
，
选项错误；
，
，
选项错误．
故选：．
28．已知实数、在数轴上的位置如图所示，则代数式可化简为　　

A． B． C． D．
【解答】解：由、在数轴上的位置，得．
，，
，
故选：．
29．已知实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论中错误的是　　

A． B． C． D．
【解答】解：由实数，在数轴上的位置关系可得：，，
，故说法正确，不符合题意；
，故说法正确，不符合题意；
，故说法错误，符合题意；
，故说法正确，不符合题意；
故选：．
30．如图，已知正方形的面积为5，点在数轴上，且表示的数为1．现以为圆心，为半径画圆，和数轴交于点在的右侧），则点表示的数为　　

A．3.2 B． C． D．
【解答】解：正方形的面积为5，且，
，
点表示的数是1，且点在点左侧，
点表示的数为．
故选：．
31．如图，已知，点表示的数为，则下列说法正确的是　　

A．的值为 B．的值为
C．的相反数为 D．的倒数为
【解答】解：由勾股定理得：，
，
，
即的值是，
的相反数是，的倒数是．
故选：．
32．如图，，，，则数轴上点所表示的数为　　

A． B． C． D．
【解答】解：，，，
，
，
点所表示的数为．
故选：．
33．下列说法正确的是　　
A．不带根号的数都是有理数 B．两个无理数的和还是无理数
C．平方根等于本身的数是0 D．立方根等于本身的数是0
【解答】解：不带根号，但是无理数，
不带根号的数都是有理数的说法错误，
选项不正确；
，
两个无理数的和还是无理数的说法错误，
选项不正确；
的平方根等于0，
平方根等于本身的数是0的说法正确，
选项正确；
的立方根等于1，的立方根等于，
立方根等于本身的数是0或1或，
选项说法不正确．
综上，说法正确的是：平方根等于本身的数是0，
故选：．
34．如图，在数轴上表示的点可能是　　

A．点 B．点 C．点 D．点
【解答】解：，
，
对应的点是．
故选：．
二．解答题（共26小题）
35．如图，是一个数值转换器，原理如图所示．

（1）当输入的值为16时，求输出的值；
（2）是否存在输入的值后，始终输不出值？如果存在，请直接写出所有满足要求的值；如果不存在，请说明理由．
（3）输入一个两位数，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则　25或36或49或64　．
【解答】解：（1），
，
则；
（2）或1时．始终输不出值，若输入负数，始终输不出值，
综上所述，或1或负数．
（3）答案不唯一．或或或．
故答案是：25或36或49或64．


36．如图是一个无理数筛选器的工作流程图．
（1）当为16时，值为　　；
（2）是否存在输入有意义的值后，却输不出值？如果存在，写出所有满足要求的值；如果不存在，请说明理由；
（3）当输出的值是时，判断输入的值是否唯一，如果不唯一，请写出其中的两个．

【解答】解：（1）当时，，，故值为．
故答案为：；

（2）当，1时，始终输不出值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；

（3）的值不唯一．或．
37．已知
（1）当时，先化简，再任取一个满足条件的无理数，求该式子的值；
（2）若点在坐标轴上，求点到原点的距离．
【解答】解：（1），
，
又，
，
，
，
．
当时，．
（2）点在坐标轴上，
点在轴上或轴上；
①若点在轴上时，，
解得：，
点的坐标为，
点到原点的距离为2；
②若点在轴上时，，
解得：，
点的坐标为，
点到原点的距离为2；
综合以上所述点到原点的距离为2．
38．（1）写出两个负数，使它们的差为，并写出具体算式．
（2）说说“一个无理数与一个有理数的积一定是无理数”是否正确，请举例说明．
【解答】解：（1）两个无理数：，，
则（答案不唯一）；
（2）说法错误，如
，
一个无理数与一个有理数的积一定是无理数的说法错误．
39．判断下面两句话是否正确．若正确请说明理由；若不正确，请举例说明．
（1）两个实数的和一定大于每一个加数．
（2）两个无理数的积一定是无理数．
【解答】解：（1）错误．例子：
，；
（2）错误．例子：
无理数，而2是有理数．
40．数学课堂上，老师让同学们从下列数中找出一个无理数：，，，0，，，．其中，甲说“”，乙说“”，丙说“”．
（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是 　乙　．
（2）请将老师所给的数字按要求填入相应的区域内．

【解答】解：（1）是无理数；
，，是分数，属于有理数；
0，，是整数，属于有理数；
0.6是有限小数，属于有理数；
是无理数；
所以甲、乙、丙三个人中，说错的是乙，
故答案为：乙；
（2）整数有0，；
负分数有：，．
故答案为：0，；
，．
41．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为．这辆小汽车超速了吗？请说明理由．

【解答】解：由勾股定理得，（米，
（米秒），
（千米小时），
米秒千米小时，，
这辆小汽车超速了．
42．东营市某中学在校园一角开辟了一块四边形的“试验田”，把课堂的“死教材”转换为生动的“活景观”，学生们在课堂上学习理论之余，还可以到“试验田”实际操练，对生物的发展规律有了更为直观的认识．如图，四边形是规划好的“试验田”，经过测量得知：，，，，．求四边形的面积．

【解答】解：连接，如图，
在中，，，
，
在中，，．，
，
为直角三角形，．
，
，
，
答：四边形的面积．

43．我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．
（1）求证：；
（2）海港受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？

【解答】解：（1），，，
．
是直角三角形，
；

（2）海港受台风影响．
理由如下：如图，过点作于．
，
，
，
海港受到台风影响；

（3）当，时，正好影响港口．
在中，由勾股定理得
，
，
台风的速度为，
．
台风影响该海港持续的时间为．

44．如图，连接四边形的对角线，已知，，，，．
（1）求证：是直角三角形；
（2）求四边形的面积．

【解答】（1）证明：，，，
，
，，
，
是直角三角形；
（2）解：，，
．
45．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村庄为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点、、在同一直线上），并新建一条路，测得千米，千米，千米．
（1）是不是从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路比原路短多少千米？

【解答】解：（1）是从村庄到河边的最近路．
理由如下：
千米，千米，千米，
，
为直角三角形，，
，
为点到的最短路线；
（2）设，则，，
在中，，解得，
即，
，
答：新路比原路少0.25千米．
46．已知一个数的两个不相等的平方根分别为和．
（1）求的值；
（2）求这个数．
【解答】解：（1）数的两个不相等的平方根为和，
，
，
解得；
（2），，
，
的值是9．
47．已知一个正数的两个不相等的平方根是与．
（1）求的值及这个正数；
（2）求关于的方程的解．
【解答】解：（1）由题意可知：，
，
，
，
这个正数为49．
（2）由（1）可知：，
，
，
．
48．（1）已知的平方根是，的平方根是，求的平方根；
（2）若与是同一个正数的平方根，求的值．
【解答】解：（1）依题意，得且，
，．
．
的平方根为，
即；

（2）与是同一个正数的平方根，
或，
解得：或．
49．已知，，解下列问题：
（1）求的值；
（2）若，求的平方根．
【解答】解：（1），，
，．
当，，则；
当，，则；
当，，则；
当，，则．
综上：或．
（2），
．
或7．
当时，的平方根为；
当时，的平方根为．
综上：的平方根为或．
50．已知某正数的两个不同的平方根是和；的立方根为．
（1）求、的值；
（2）求的平方根．
【解答】解：（1）正数的两个不同的平方根是和，
，
解得，
的立方根为，
，
解得
、；
（2）、代入
得，
的平方根是．
51．已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根．
【解答】解：的平方根是，
，
，
的立方根是2，
，
把的值代入解得：
，
，
的算术平方根为5．
52．已知的算术平方根是3，的立方根是，试求的值．
【解答】解：根据题意得，
解得，
所以，，
所以．
53．定义新运算：对于任意实数，，都有⊕，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：
2⊕



（1）求⊕3的值；
（2）若3⊕的值是最小的正整数，求的值．
【解答】解：（1）⊕


；
（2）⊕

，
⊕的值是最小的正整数
，
，
的值为3．
54．数学课上，老师出了一道题：比较与的大小．
小华的方法是：
因为，所以　　2，所以　　（填“”或“” ；
小英的方法是：
，因为，所以　　0，所以　　0，所以　　（填“”或“” ．
（1）根据上述材料填空；
（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小．
【解答】解：（1）小华的方法是：
因为，所以，所以，
小英的方法是：
，因为，，因为，所以，所以，所以，
故答案为：，，，，；
（2）如果选择小华的方法，
，
，
，
如果选择小英的方法，
，
，
，
，
，
．
55．定义：有、两只电子跳蚤在同一条数轴上跳动，它们在数轴上对应的实数分别为、．若实数、满足时，则称、处于“和谐位置”， 、之间的距离为“和谐距离”．
（1）当在原点位置，且、处于“和谐位置”时，“和谐距离”为 　2　．
（2）当、之间的“和谐距离”为2022时，求、的值．
【解答】解：（1）将代入中得到，
所以和谐距离为2；
故答案为：2；
（2），处于和谐位置，
，
，
，
，或，．
56．如图，为原点，长方形与的面积都为12，且能够完全重合，边在数轴上，．长方形可以沿数轴水平移动，移动后的长方形与重叠部分的面积记为．

（1）如图1，求出数轴上点表示的数．
（2）当恰好等于长方形面积的一半时，求出数轴上点表示的数．
（3）在移动过程中，设为线段的中点，点，所表示的数能否互为相反数？若能，求点移动的距离；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）长方形的面积为12，边长为3，
，
长方形与的面积都为12，
，，
数轴上点表示的数为，
（2）恰好等于原长方形面积的一半，
，
①当点在上时，，
表示的数为2，
②当点在点右侧时，如图，

，
，
，
综上，表示的数为2或5．
（3）能，理由如下：设，分两种情况：
①当原长方形向左移动时，点所表示的数为，点所表示的数为，
点是的中点，
点所表示的数为：；
，
；
②当原长方形向右移动时，点所表示的数为，点所表示的数为；
点是的中点，
点所表示的数为：，
，
．
点移动的距离为：．
57．有理数、、在数轴上的对应点的位置如图所示，且．解答下列问题：
（1）用“”、“ ”或“”填空．
①　　；
②　　；
③　　0；
④　　0；
⑤　　0；
⑥　　0．
（2）化简：．

【解答】解：（1）由题意得：
，，
①，
②，
③，
④，
⑤，
⑥，
故答案为：①，②，③，④，⑤，⑥；
（2），，，



．
58．计算与求值：
（1）计算：；
（2）求下列各式中的
①；
②．
【解答】解：（1）原式

；
（2）①，
．
是4的平方根．
．
②，
是的立方根，
．
．
59．已知，如图，实数，，在数轴上表示的点分别是点，，，且，，满足．
（1）求，，的值；
（2）若点沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向右运动，速度分别是2个单位秒，3个单位秒．设运动时间为（秒．
①2秒后，点，，表示的数分别是 　　，　　，　　；
②运动秒后，求点和点之间的距离（用“”表示）和点和点之间的距离（用“”表示）；（用含的代数式表示）
③在②的基础上，请问：的值是否随着时间的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围．

【解答】解：（1）、、满足，
，，，
解得，，，
答：，，；
（2） 表示的数为，表示的数为，表示的数为3，
又点沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向右运动，速度分别是2个单位秒、3个单位秒，
秒后表示的数为、表示的数为、表示的数为，
①2秒后，表示，表示， 表示，
故答案为：，2，9；
②秒后，点始终在点的左侧，，
点始终在点的右侧，，
所以，；
③是定值，
的值不随着时间的变化而变化，始终是9．
60．如图1，正方形和长方形的周长相等，且各有一条边在数轴上，点，，，对应的数分别是，，2，8．正方形以每秒2个单位长度的速度向右移动，同时长方形以每秒1个单位长度的速度向左移动．设正方形和长方形重叠部分的面积为，移动时间为．
（1）长方形的面积是 　60　．
（2）当是长方形面积的一半时，求的值．
（3）如图2，当正方形和长方形运动到点和点重合时，停止运动，将正方形绕点顺时针旋转，旋转角度为，点、分别在线段、线段的延长线上，平分，判断和之间的数量关系，用等式表示，并说明理由．

【解答】解：（1）点，，，对应的数分别是，，2，8，
，，
正方形和长方形的周长相等，
，即，
长方形的面积是．
故答案为：60；
（2）①如图，

秒后，点表示的数是，点表示的数是，
，
四边形的面积为，
即，
解得；
②如图，

秒后，点表示的数是，点表示的数是，
，
四边形的面积为，
即，
解得．
故的值为或；
（3）①当时，

由题意可得，，
，
，
，
②当时，

由题意可得，，
，
，
．
综上，或．
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