2021_2022学年新教材高中数学模块练一含解析新人教B版选择性必修第二册

模块素养评价(一)

(120分钟　150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．如图，从A地到B地要经过C地和D地，从A地到C地有3条路，从C地到D地有2条路，从D地到B地有4条路，则从A地到B地不同走法的种数是(　　)

A．9      B．24      C．3      D．1

【解析】选B.由分步乘法计数原理得，不同走法的种数是3×2×4＝24.

2．甲击中目标的概率是，如果击中赢10分，否则输11分，用X表示他的得分，计算X的均值为(　　)

A．0.5分     B．－0.5分      C．1分      D．5分

【解析】选B.E(X)＝10×＋(－11)×＝－.

3．在两个学习基础相当的班级实行某种教学措施的试验，测试结果见下表，则在犯错误的概率不超过________的前提下，认为试验效果与教学措施有关(　　)

A.0.005      B．0.01

C．0.05      D．0.1

【解析】选A.随机变量χ2值为≈8.306>7.879，则在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“试验效果与教学措施有关”．

4．设随机变量X服从正态分布N(0，1)，P(X>1)＝p，则P(－1<X<0)等于(　　)

A．p     B．1－p     C．1－2p     D．－p

【解析】选D.由于随机变量服从正态分布N(0，1)，由标准正态分布图像可得P(－1<X<1)＝1－2P(X>1)＝1－2p.故P(－1<X<0)＝P(－1<X<1)＝－p.

5．(2021·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为

(　　)

A．     B．     C．     D．

【解析】选C.把位置依次标为1到6.总数：先排2个0，有C＝15种，再排4个1，有一种，故共有15种．满足题设的排法：先排4个1，有1种，其间有5个空，选2个空插入有C＝10种．故P＝＝.

6．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了四局的概率为(　　)

A．     B．     C．     D．

【解析】选B.由题意得，甲获得冠军的概率为P1＝3＋

C＋C＝，比赛进行了四局的概率为P2＝C＝

所以在甲获得冠军的情况下，比赛进行了四局的概率为P＝＝.

7．已知袋中装有除颜色外完全相同的5个球，其中红球2个，白球3个，现从中任取1球，记下颜色后放回，连续摸取3次，设ξ为取得红球的次数，则P(ξ＝2)＝(　　)

A．     B．     C．     D．

【解析】选B.由题意得，每次取到红球的概率p＝，连续摸取3次，设ξ为取得红球的次数，则ξ～B所以P(ξ＝2)＝C＝.

8．某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得－30分；选乙题答对得10分，答错得－10分，若4位同学的总分为0，则这四位同学不同得分情况的种数是(　　)

A．24      B．36      C．40      D．44

【解析】选D.分以下4种情况讨论：

①两位同学选甲题作答，一人答对一人答错，另外两位同学选乙题作答，一人答对一人答错，此时不同得分情况有C×2×2＝24种．

②四位同学都选择甲或乙题作答，两个答对，另两个答错，此时不同得分情况共有CC＝12种．

③一人选甲题且答对，另外三人选乙题作答并且全答错，此时不同得分情况有C＝4种．

④一人选甲题且答错，另外三人选乙题作答且全答对，此时不同得分情况有C＝4种．

综上所述，不同得分情况共有24＋12＋4＋4＝44种．

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

9．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布B(10，0.6)，则E(η)和D(η)的值分别是(　　)

A．E(η)＝6      B．E(η)＝2

C．D(η)＝5.6     D．D(η)＝2.4

【解析】选BD.由已知得E(ξ)＝6，D(ξ)＝2.4，

所以E(η)＝8－E(ξ)＝2，D(η)＝(－1)2D(ξ)＝2.4.

10．正态分布N1(μ1，σ)，N2(μ2，σ)，N3(μ3，σ)(其中σ1，σ2，σ3均大于0)所对应的密度函数图像如图所示，则下列说法正确的是(　　)

A.μ1最大      B．σ1最大

C．μ3最大     D．σ3最大

【解析】选BC.在正态分布N(μ，σ2)中，x＝μ为正态曲线的对称轴，结合图像可知，μ3最大；又参数σ确定了曲线的形状：σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．故由图像知σ1最大．

11．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论正确的是(　　)

A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是

B．从中有放回地取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为

C．现从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为

D．从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为

【解析】选ABD.恰有一个白球的概率P＝＝，故A正确；每次任取一球，取到红球次数X～B(6，)，其方差为6××＝，故B正确；设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}，

则P(A)＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝，故C错；每次取到红球的概率P＝，所以至少有一次取到红球的概率为1－＝，故D正确．

12.的展开式中各项系数的和为2，则其中正确的命题是(　　)

A．a＝1

B．展开式中含x6项的系数是－32

C．展开式中含x－1项

D．展开式中常数项为40

【解析】选AD.因为的展开式中各项系数的和为2，令x＝1得，1＋a＝2，所以a＝1，故A正确．此时＝，展开式中的通项为

＝C25－r(－1)rx6－2r或

＝C25－r(－1)rx4－2r，令6－2r＝6或4－2r＝6解得r＝0或r＝－1(舍去)，所以含x6项的系数是32，故B错误；令6－2r＝－1或4－2r＝－1，都无解，故展开式中不含x－1项，故C错误；令6－2r＝0或4－2r＝0，解得r＝3或r＝2，所以展开式中常数项为40.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)

13．有4名男生，3名女生排成一排，若3名女生中有2名站在一起，但3名女生不能全排在一起，则不同的排法种数有________．

【解析】先从3名女生中选出2名捆绑，再用插空法，不同的排法种数有A·A·A＝2 880.

答案：2 880

14．已知样本容量为11，计算得＝510，＝214，回归方程为＝0.3x＋，则≈________，≈________.(精确到0.01)

【解析】由题意得＝＝≈46.36，＝＝，因为＝0.3＋，

所以＝0.3×＋，可得≈5.55.

答案：46.36　5.55

15．甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制(当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以3∶1获胜的概率是________．

【解析】由题意得，甲队以3∶1获胜的概率P＝0.6×0.5×0.4×0.5＋0.6×0.5×0.6×0.5＋0.4×0.5×0.6×0.5＝0.21.

答案：0.21

16．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，这两个同学各猜1次，则他们的得分之和X的数学期望为________．

【解析】由题意，X＝0，1，2，则P(X＝0)＝0.6×0.5＝0.3，P(X＝1)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.5，P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，所以E(X)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.

答案：0.9

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(10分)带有编号1，2，3，4，5的五个球．

(1)全部投入4个不同的盒子里；

(2)放进4个不同的盒子里，每盒一个；

(3)将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)；

(4)全部投入4个不同的盒子里，没有空盒．

各有多少种不同的放法？

【解析】(1)由分步乘法计数原理知，五个球全部投入4个不同的盒子里共有45种放法．

(2)由排列数公式知，五个不同的球放进4个不同的盒子里(每盒一个)共有A种放法．

(3)将其中的4个球投入一个盒子里共有CC种放法．

(4)全部投入4个不同的盒子里(没有空盒)共有CA种不同的放法．

18．(12分)如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.

(1)求p；(2)求电流能在M与N之间通过的概率．

【解析】记Ai表示事件“电流能通过Ti”，i＝1，2，3，4，A表示事件“T1，T2，T3中至少有一个能通过电流”，

B表示事件“电流能在M与N之间通过”．

(1)，A1，A2，A3相互独立，

P()＝P()＝P(1)P(2)P(3)＝(1－p)3，

又P()＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，

故(1－p)3＝0.001，解得p＝0.9.

(2)B＝A4∪(4A1A3)∪(41A2A3)，

P(B)＝P(A4)＋P(4A1A3)＋P(41A2A3)

＝P(A4)＋P(4)P(A1)P(A3)＋P(4)P(1)P(A2)P(A3)

＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9＝0.989 1.

19．(12分)某班从6名班干部中(其中男生4人，女生2人)，任选3人参加学校的义务劳动．

(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；

(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；

(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A).

【解析】(1)ξ的所有可能取值为0，1，2，

依题意，得P(ξ＝0)＝＝，

P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝.

所以ξ的分布列为

(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，

则P(C)＝＝＝，

所以所求概率为P＝1－P(C)＝1－＝.

(3)P(B)＝＝＝，P(AB)＝＝，P(A)＝＝，P(B|A)＝＝.

20．(12分)《福建省高考改革试点方案》规定：从2018年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2021年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B＋，B，C＋，C，D＋，D，E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，18%，22%，22%，18%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91，100]，[81，90]，[71，80]，[61，70]，[51，60]，[41，50]，[31，40]，[21，30]八个分区间，得到考生的等级成绩，某校高一年级共2 000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六门选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩ξ基本服从正态分布N(70，169).

(1)求化学原始成绩在区间(57，96)的人数；

(2)以各等级人数所占比例作为各分区间发生的概率，按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[71，90]的人数，求事件“X≥2”的概率．

(附：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.682，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.954，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝0.997)

【解析】(1)因为化学原始成绩ξ～N(70，132)，

所以P(57＜ξ＜96)＝P(57＜ξ＜70)＋P(70≤ξ＜96)＝P(70－13＜ξ＜70＋13)＋P(70－2×13≤ξ＜70＋2×13)＝＋＝0.818.

所以化学原始成绩在(57，96)的人数为2 000×0.818＝1 636(人).

(2)因为以各等级人数所占比例作为各分数区间发生的概率，且等级成绩在区间[71，80]，[81，90]的人数所占比例分别为18%，7%，则随机抽取1人，其等级成绩在区间[71，90]内的概率为.所以从全省考生中随机抽取3人，则X的所有可能取值为0，1，2，3且X～，所以P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝C··＋C·＝.

21．(12分)噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解强度D(单位：分贝)与声音能量I(单位：W/cm2)之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii(i＝1，2，…，10)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

表中Wi＝lg Ii，

(1)根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的回归直线方程D＝＋lg I；

(2)当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且＋＝1010.已知点P的声音能量等于声音能量I1与I2之和．请根据(1)中的回归直线方程，判断P点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由．附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，

＝－.

【解析】(1)令Wi＝lg Ii，先建立D关于W的回归直线方程，

因为＝＝＝10，

所以＝－＝160.7，

所以D关于W的回归直线方程是D＝10W＋160.7，

所以D关于I的回归直线方程是D＝10lg I＋160.7.

(2)点P的声音能量I＝I1＋I2，因为＋＝1010，

所以I＝I1＋I2＝(I1＋I2)

＝≥9×10－10，

根据(1)中的回归直线方程，点P的声音强度D的预测值：

D≥10lg (9×)＋160.7＝10lg 9＋60.7>60，

所以点P会受到噪声污染的干扰．

22．(12分)某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如表：

(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；(结果用分数表示)

(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考．

方案1：不分类卖出，单价为20元/kg.

方案2：分类卖出，分类后的水果售价如表：

从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？

(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及数学期望E(X).

【解析】(1)设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A，则P(A)＝＝，现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X，则X～B，所以恰好抽到2个礼品果的概率为：P(X＝2)＝C＝.

(2)设方案2的单价为ξ，则单价的期望值为：

E(ξ)＝16×＋18×＋22×＋24×＝＝20.6，因为E(ξ)>20，所以从采购商的角度考虑，应该采用方案1.

(3)用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个，现从中抽取3个，则精品果的数量X服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3，则P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝，

所以X的分布列如表：

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.