数学人教B版 (2019)4.3.1 一元线性回归模型同步练习题

一元线性回归模型

(15分钟　30分)

1．对变量x，y由观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v由观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图(2).由这两个散点图可以

判断(　　)

A．变量x与y正相关，u与v正相关

B．变量x与y正相关，u与v负相关

C．变量x与y负相关，u与v正相关

D．变量x与y负相关，u与v负相关

【解析】选C.图(1)中的数据y随着x的增大而减小，因此变量x与变量y负相关；图(2)中的数据随着u的增大，v也增大，因此u与v正相关．

2．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：

由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归直线方程是＝－0.7x＋，则等于(　　)

A．10.5    B．5.15    C．5.2    D．5.25

【解析】选D.＝＝，

＝＝，因为＝－0.7x＋a过(，)，即过，所以＝－0.7×＋，所以＝＝5.25.

3．对于指数曲线y＝aebx，令U＝ln y，c＝ln a，经过非线性化回归分析后，可转化的形式为(　　)

A．U＝c＋bx      B．U＝b＋cx

C．y＝c＋bx      D．y＝b＋cx

【解析】选A.由y＝aebx得ln y＝ln (aebx)，所以ln y＝ln a＋ln ebx，所以ln y＝ln a＋bx，所以U＝c＋bx.

4．如图所示的五组数据(x，y)中，去掉________后，剩下的四组数据相关性增强．

【解析】去掉点(4，10)后，其余四点大致在一条直线附近，相关性增强．

答案：(4，10)

【补偿训练】

 如图所示是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图，去掉________点后，两个变量的相关关系更明显．

【解析】A，B，C，D，E五点分布在一条直线附近且贴近该直线，而F点离得远，故去掉点F.

答案：F

5．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系见表：

已知＝280，iyi＝3 487.

(1)求，；

(2)已知纯利y与每天销售件数x线性相关，试求出其回归直线方程．

【解析】(1)＝＝6，

＝＝.

(2)因为y与x有线性相关关系，

所以＝＝＝4.75，

＝－6×4.75＝≈51.36.

故回归直线方程为＝4.75 x＋51.36.

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是(　　)

A．＝0.4x＋2.3    B．＝2x－2.4

C．＝－2x＋9.5    D．＝－0.3x＋4.4

【解析】选A.因为变量x和y正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C和D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3，3.5)的坐标分别代入选项A和B中的直线方程进行检验，可以排除B.

【补偿训练】

 为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如表：

则y对x的线性回归方程为(　　)

A．＝x－1        B．＝x＋1

C．＝88＋x       D．＝176

【解析】选C.计算得，

＝＝176，

＝＝176，根据回归直线经过样本中心(，)，检验知C符合．

2．已知x与y之间的几组数据如表：

假设根据表中数据所得线性回归直线方程为＝x＋．若某同学根据表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的

是(　　)

A．>b′，>a′

B．>b′，<a′

C．<b′，>a′

D．<b′，<a′

【解析】选C.由(1，0)，(2，2)得b′＝＝2，

a′＝0－2×1＝－2.

求，时，iyi＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，

＝3.5，＝，＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，

所以＝＝，＝－×3.5＝－＝－，所以<b′，>a′.

3．变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1).r1表示变量Y与X之间的线性相关系数．r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则(　　)

A．r2＜r1＜0    B．0＜r2＜r1

C．r2＜0＜r1    D．r2＝r1

【解析】选C.对于变量X与Y而言，Y随X的增大而增大，故变量Y与X正相关，即r1＞0；对于变量U与V而言，V随U的增大而减小，故变量V与U负相关，即r2＜0.故r2＜0＜r1.

4．下列数据符合的函数模型为(　　)

A.y＝2＋x

B．y＝2ex

C．y＝2e

D．y＝2＋ln x

【解析】选D.分别将x值代入解析式判断知满足y＝2＋ln x.

【误区警示】可借助于散点图．

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．下列说法正确的是(　　)

A．两个变量之间若没有确定的函数关系，则这两个变量不相关

B．正相关是两个变量相关关系中的一种

C．“庄稼一枝花，全靠粪当家”说明农作物产量与施肥量之间具有相关关系

D．根据散点图可判断两个变量之间有无相关关系

【解析】选BCD.若两个变量之间有关系，但不是确定的函数关系，则它们具有相关关系，所以A是错误的．BCD是正确的．

【补偿训练】

下列有关回归直线方程＝x＋叙述正确的是(　　)

A．反映与x之间的函数关系

B．反映y与x之间的函数关系

C．表示与x之间不确定关系

D．表示最接近y与x之间真实关系的一条直线

【解析】选AD.＝x＋表示与x之间的函数关系，而不是y与x之间的函数关系；但它反映的关系最接近y与x之间的真实关系．

6．如图是统计局公布的2010年～2019年年底的贫困人口和贫困发生率统计表．则下面结论正确的是(　　)

(年底贫困人口的线性回归方程为＝－1 609.9x＋15 768(其中x＝年份－2 019)，贫困发生率的线性回归方程为＝－1.672 9x＋16.348(其中x＝年份－2 009))

A．2010年～2019年十年间脱贫人口逐年减少，贫困发生率逐年下降

B．2012年～2019年连续八年每年减贫超过1 000万，且2019年贫困发生率最低

C．2010年～2019年十年间超过1.65亿人脱贫，其中2015年贫困发生率低于6%

D．根据图中趋势线可以预测，到2020年底我国将实现全面脱贫

【解析】选BD.每年脱贫的人口如表所示：

由于缺少2009年年底数据，故无法统计十年间脱贫人口的数据，故AC选项错误；

根据每年脱贫人口表可知：2012年～2019年连续八年每年减贫超过1 000万，且2019年贫困发生率最低，故B选项正确；

根据每年脱贫人口表可知，2012年～2019年连续八年每年减贫超过1 000万，2019年年底，贫困人口551万，故预计到2020年底我国将实现全面脱贫，故D选项正确．综上所述，正确的选项为BD.

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．对某台机器购置后的运行年限x(x＝1，2，3，…)与当年利润y的统计分析知x，y具备线性相关关系，回归方程为＝10.47－1.3x，估计该台机器最为划算的使用年限为________年．

【解析】当年利润小于或等于零时应该报废该机器，当y＝0时，令10.47－1.3x＝0，解得x≈8，故估计该台机器最为划算的使用年限为8年．

答案：8

8．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，其变换后得到线性回归方程z＝0.3x＋4，则c＝________.

【解析】由题意，得ln (cekx)＝0.3x＋4，

所以ln c＋kx＝0.3x＋4，

所以ln c＝4，所以c＝e4.

答案：e4

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x与冶炼时间Y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一组数据，如表所示：

判断含碳量与冶炼时间的相关关系的强弱．

【解析】由已知数据列出表格．

于是r＝≈0.990 6.故Y与x具有很强的线性相关关系．

10．某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有如下数据：

根据以上数据算得：i＝138，iyi＝418.

(1)求出y对x的回归直线方程＝x＋，并判断变量y与x之间是正相关还是负相关；

(2)若销售收入最少为144万元，则广告支出费用至少需要投入多少万元？

【解析】(1)由表中数据得：＝＝2.5，

＝＝34.5，

所以＝＝＝14.6，

＝－＝34.5－14.6×2.5＝－2，

所以回归直线方程为＝14.6x－2，且变量y与x之间是正相关．

(2)依题意有：＝14.6x－2≥144，解得x≥10，

所以广告支出费用至少需要投入10万元．

1．同一资料，如果将x作为自变量，y作为因变量，得回归系数b；将y作为自变量，x作为因变量，得回归系数b′，则相关系数r与b，b′的关系是________．

【解析】当x作自变量时得b＝.

当y作自变量时得b′＝

而r＝，

从而bb′＝r2，所以＝.

答案：＝

2．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如表：

试建立y与x之间的回归方程．

【解析】由数值表可作散点图如图：

根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，

设y＝，令t＝，

则y＝kt，原数据变为：

由置换后的数值表作散点图如图：

由散点图可以看出y与t近似地呈线性相关关系，列表如下：

所以＝1.55，＝7.2.

所以＝≈4.1.

＝－≈0.8.所以＝4.1t＋0.8.

所以y与x的回归方程是＝＋0.8.

【补偿训练】

 旅游业作为一个第三产业，时间性和季节性非常强，每年11月份来临，全国各地就相继进入旅游淡季，很多旅游景区就变得门庭冷落．为改变这种局面，某旅游公司借助一自媒体平台做宣传推广，销售特惠旅游产品．该公司统计了活动刚推出一周内产品的销售数量，用x表示活动推出的天数，用y表示产品的销售数量(单位：百件)，统计数据如表所示．

根据表中数据，相关人员绘制了的散点图，根据已有的函数知识，发现样本点分布在某一条指数型函数y＝ex＋图象的周围．为求出该回归方程，相关人员的研究方案是：先用其中5个数据建立y关于x的回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．试回答下列问题：

(1)现令t＝ln y，若选取的是x＝1，2，3，4，5这5组数据，已知i＝8ln 2＋6ln 3，iti＝26ln 2＋22ln 3，请求出t关于x的回归方程(结果保留一位有效数字)；

(2)若由回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过10，则认为得到的回归方程是可靠的，试问(1)中所得的回归方程是否可靠？

参考公式及数据：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其经验回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘法估计分别为

＝＝，

＝－；ln 2≈0.69，ln 3≈1.10；e4≈54，

≈1.22.

【解析】(1)由已知y＝ex＋，令t＝ln y，

故有t＝x＋．

因为＝i＝3，

i＝8ln 2＋6ln 3，

iti＝26ln 2＋22ln 3，

所以＝

＝＝≈0.58≈0.6，

＝－·＝－0.6×3≈2.4－1.8＝0.6，

所以t＝0.6x＋0.6；

(2)由(1)可知y＝e0.6x＋0.6，

当x＝6时，y＝e4.2≈66.7，与检验数据的误差为2.7，不超过10；当x＝7时，y＝e4.8≈121.5，与检验数据的误差为8.5，不超过10.故可以认为得到的回归方程y＝e0.6x＋0.6是可靠的．