人教版 (2019)必修 第二册第七章 万有引力与宇宙航行综合与测试习题

这是一份人教版 (2019)必修 第二册第七章 万有引力与宇宙航行综合与测试习题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，论述等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，第1～6小题只有一个选项符合题目要求，第7～10小题有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分)
1．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是( D )
解析：由万有引力公式F＝Geq \f(Mm,R＋h2)可知，探测器与地球表面距离h越大，F越小，排除B、C；而F与h不是一次函数关系，排除A。
2．(2021·广东卷，2)2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是( D )
A．核心舱的质量和绕地半径B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
解析：根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，可得
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r
可得M＝eq \f(v2r,G)＝eq \f(ω2r3,G)＝eq \f(4π2r3,GT2)
可知已知核心舱的质量和绕地半径、已知核心舱的质量和绕地周期以及已知核心舱的角速度和绕地周期，都不能求解地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径可求解地球的质量。故选D。
3．(2021·北京市第四十三中学高三月考)我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是( A )
A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
解析：当发射速度大于第二宇宙速度时，探测器将脱离地球的引力在太阳系的范围内运动，火星在太阳系内，所以火星探测器的发射速度应大于第二宇宙速度，故A正确；第二宇宙速度是探测器脱离地球的引力到太阳系中的临界条件，当发射速度介于地球的第一和第二宇宙速度之间时，探测器将围绕地球运动，故B错误；万有引力提供向心力，则有eq \f(GMm,R2)＝eq \f(mv\\al(2,1),R)，解得第一宇宙速度为v1＝eq \r(\f(GM,R))，所以火星的第一宇宙速度为v火＝eq \r(\f(10%,50%))v地＝eq \f(\r(5),5)v地，所以火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误； 万有引力近似等于重力，则有eq \f(GMm,R2)＝mg，解得火星表面的重力加速度g火＝eq \f(GM火,R\\al(2,火))＝eq \f(10%,50%2)g地＝eq \f(2,5)g地，所以火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D错误。
4．由于运行在椭圆轨道上的卫星在其远地点附近有较长的停留时间，如果选择轨道远地点作为覆盖区域上空，则可以取得很好的覆盖效果。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度大小分别为v1、v2，向心加速度大小分别为a1、a2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则( C )
A．v1>v2，v1＝eq \r(\f(GM,r)) B．v1eq \r(\f(GM,r))
C．a1>a2，a1a2，a1＝eq \f(v\\al(2,1),r)
解析：根据开普勒第二定律可知：对于在椭圆轨道上运行的卫星，它与中心天体连线在相等时间内扫过的面积相等。由于地球卫星在近地点的运行轨道半径小，远地点的运行轨道半径大，故可判断v1>v2。若卫星绕地心做轨道半径为r的圆周运动时，线速度大小为v1＝eq \r(\f(GM,r))，将卫星从半径为r的圆轨道变轨到图示的椭圆轨道，必须在近地点加速，所以有v1>eq \r(\f(GM,r))，故A、B错误；卫星在近地点、远地点的向心加速度均由万有引力来提供，即F万＝Geq \f(Mm,r2)＝ma，即a＝eq \f(GM,r2)，近地点的运行轨道半径小，故a1>a2。又因为v1>eq \r(\f(GM,r))，所以可得在近地点向心加速度a15．(2021·重庆新高考适应性考试)近地卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动，若其轨道半径近似等于地球半径R，运行周期为T，地球质量为M，引力常量为G，则( D )
A．近地卫星绕地球运动的向心加速度大小近似为eq \f(2π2R,T2)
B．近地卫星绕地球运动的线速度大小近似为eq \r(\f(R,GM))
C．地球表面的重力加速度大小近似为eq \f(M,GR2)
D．地球的平均密度近似为eq \f(3π,GT2)
解析：由向心加速度公式可知，近地卫星绕地球运动的向心加速度大小an＝ω2R＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2R＝eq \f(4π2R,T2)，故A错误；近地卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供，由向心力公式得Geq \f(Mm,R2)＝eq \f(mv2,R)，解得近地卫星绕地球运动的线速度大小v＝eq \r(\f(GM,R))，故B错误；地球表面的重力等于万有引力，所以有mg＝Geq \f(Mm,R2)，地球表面的重力加速度大小为g＝eq \f(GM,R2)，故C错误；近地卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供，由向心力公式得Geq \f(Mm,R2)＝mrω2＝mReq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2，解得地球的质量为M＝eq \f(4πR3,GT2)，地球的平均密度近似为ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(\f(4πR3,GT2),\f(4πR3,3))＝eq \f(3π,GT2)，故D正确。
6．(2021·河北卷，4)“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日，假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日，已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为( D )
A．eq \r(3,4)B．eq \r(3,\f(1,4))
C．eq \r(3,\f(5,2))D．eq \r(3,\f(2,5))
解析：绕中心天体做圆周运动，根据万有引力提供向心力，可得eq \f(GMm,R2)＝meq \f(4π2,T2)R
则T＝eq \r(\f(4π2R3,GM))，R＝eq \r(3,\f(GMT2,4π2))
由于一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则飞船的轨道半径R飞＝eq \r(3,\f(GM火2T2,4π2))＝eq \r(3,\f(G×0.1M地×4×\f(4π2R\\al(3,同),GM地),4π2))＝eq \r(3,\f(2,5))R同
则eq \f(R飞,R同)＝eq \r(3,\f(2,5))，故选D。
7．关于万有引力和万有引力定律理解正确的有( BD )
A．不能看作质点的两物体之间不存在相互作用的引力
B．可看作质点的两物体间的引力可用F＝Geq \f(m1m2,r2)计算
C．由F＝Geq \f(m1m2,r2)知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大，紧靠在一起时，万有引力无穷大
D．引力常量的大小首先是由卡文迪什测出来的，约等于6.67×10－11 N·m2/ kg2
解析：只有可看作质点的两物体间的引力可用F＝Geq \f(m1m2,r2)计算，但是不能看作质点的两个物体之间依然有万有引力，只是不能用此公式计算，选项A错误，B正确；万有引力随物体间距离的减小而增大，但是当距离比较近时，计算公式就不再适用，所以说万有引力无穷大是错误的，选项C错误；引力常量的大小首先是由卡文迪什通过扭秤装置测出来的，约等于6.67×10－11 N·m2/ kg2，选项D正确。
8．如图所示，卫星a、b、c沿圆形轨道绕地球运行。a是极地轨道卫星，在地球两极上空约1 000 km处运行；b是低轨道卫星，距地球表面高度与a相等；c是地球同步卫星，则( AC )
A．a、b的周期比c小B．a、b的向心力一定相等
C．a、b的速度大小相等D．a、b的向心加速度比c小
解析：万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律：Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，解得：T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))，轨道半径越大，周期越大，根据题意可知a、b的周期比c小，故A正确；万有引力提供向心力：Geq \f(Mm,r2)＝ma0，解得：a0＝eq \f(GM,r2)，a、b的轨道半径相同，所以向心加速度大小相同，方向不同，c的轨道半径最大，向心加速度最小，故B、D错误；万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律：Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，解得：v＝eq \r(\f(GM,r))，a、b的轨道半径相同，所以速度大小相同，方向不同，故C正确。
9．(2021·湖南新高考适应性考试)在“嫦娥五号”任务中，有一个重要环节，轨道器和返回器的组合体(简称“甲”)与上升器(简称“乙”)要在环月轨道上实现对接，以便将月壤样品从上升器转移到返回器中，再由返回器带回地球。对接之前，甲、乙分别在各自的轨道上做匀速圆周运动，且甲的轨道半径比乙小，如图所示，为了实现对接，处在低轨的甲要抬高轨道。下列说法正确的是( BD )
A．在甲抬高轨道之前，甲的线速度小于乙
B．甲可以通过增大速度来抬高轨道
C．在甲抬高轨道的过程中，月球对甲的万有引力逐渐增大
D．返回地球后，月壤样品的重量比在月球表面时大
解析：在甲抬高轨道之前，两卫星均绕月球做匀速圆周运动，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，可得线速度为v＝eq \r(\f(GM,r))，因r甲10．(2021·河南信阳市信阳高中高一月考)某国际天文研究小组观测到了一组双星系统，它们绕二者连线上的某点做匀速圆周运动， 双星系统中质量较小的星体能“吸食”质量较大的星体的表面物质，达到质量转移的目的。 根据大爆炸宇宙学可知，双星间的距离在缓慢增大。下列说法正确的是( BD )
A．质量较小的星体做圆周运动的轨道半径减小
B．质量较大的星体做圆周运动的轨道半径增大
C．双星做圆周运动的角速度不变
D．双星做圆周运动的角速度不断减小
解析：双星是由相互作用的万有引力来提供各自做圆周运动的向心力的，设质量大、小的双星的质量为M、m，轨道半径为R、r，之间的距离为L，有
eq \f(GMm,L2)＝MRω2＝mrω2，R＋r＝L
解得r＝eq \f(ML,M＋m)，R＝eq \f(mL,M＋m)，ω＝eq \r(\f(GM＋m,L3))
说明L增大时，ω在不断减小；m增大、L增大时，R在增大，r的变化不确定。故选BD。
第Ⅱ卷(非选择题 共60分)
二、填空题(2小题，共14分。把答案直接填在横线上)
11．(5分)卡文迪什利用如图所示的扭秤实验装置测量了引力常量：
(1)横梁一端固定有一质量为m半径为r的均匀铅球A，旁边有一质量为m，半径为r的相同铅球B，A、B两球表面的最近距离L，已知引力常量为G，则A、B两球间的万有引力大小为F＝__Geq \f(m2,2r＋L2)__###。
(2)为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采取使“微小量放大”的措施是__CD__###。
A．增大石英丝的直径B．减小T型架横梁的长度
C．利用平面镜对光线的反射D．增大刻度尺与平面镜的距离
解析：(1)万有引力定律适用于质点模型，对于质量均匀分布的球，可以看作质量集中在重心上，两个重心的间距为L＋2r，故它们间的万有引力大小为F＝Geq \f(m2,2r＋L2)；
(2)当增大石英丝的直径时，会导致石英丝不容易转动，对“微小量放大”，没有作用，故A错误；当减小T型架横梁的长度时，会导致石英丝不容易转动，对“微小量放大”没有作用；故B错误；为了测量石英丝极微小的扭转角，利用平面镜对光线的反射，当增大刻度尺与平面镜的距离时，转动的角度更明显，故C、D正确。
12．(9分)未来中国宇航员将会登月成功，假设宇航员在登月前后做两次物理实验，分别测量物体的质量和月球的质量。
实验一：宇宙飞船绕月球做匀速圆周运动时处于完全失重状态，在这种环境中无法用天平直接称量物体的质量，宇航员在飞船中用如图所示的装置来间接测量小球的质量，给小球一个初速度，让它在细线的拉力下做匀速圆周运动，飞船中还有刻度尺、秒表两种测量工具。
实验二：宇航员抵达半径为R的月球后，仍用同样的装置做实验，给质量为m(实验一已测出)的小球一个初速度，使其在竖直平面内做变速圆周运动，月球表面没有空气，拉力传感器显示小球在最低点、最高点读数差的绝对值为ΔF，根据圆周运动的动力学公式和机械能守恒定律可得ΔF恒为小球在月球表面重力的6倍，已知引力常量为G。
根据题中提供的条件和测量结果回答下列问题：
(1)实验一：若已知小球做匀速圆周运动时拉力传感器的示数为F，还需要测量的物理量是__小球做匀速圆周运动的半径r__和周期，为了减小测量周期的误差，可测量n转对应的时间t，则待测小球质量的表达式为m＝__eq \f(Ft2,4π2n2r)__；
(2)实验二：测得月球表面的重力加速度为__eq \f(ΔF,6m)__，月球的质量为__eq \f(ΔFR2,6Gm)__。(小球的质量用m表示)
解析：(1)拉力传感器已测出拉力F，可知要间接测量小球的质量，还需要测量的物理量是小球做匀速圆周运动的半径r；根据测量n转对应的时间t，得其做匀速圆周运动的周期为
T＝eq \f(t,n)，根据牛顿第二定律得F＝mreq \f(4π2,T2)，解得m＝eq \f(Ft2,4π2n2r)。
(2)设月球表面的重力加速度为g月，ΔF恒为小球在月球表面重力的6倍，有ΔF＝6mg月，
解得月球表面的重力加速度为g月＝eq \f(ΔF,6m)，
根据月球表面上物体受到的万有引力等于其所受重力，得Geq \f(Mm′,R2)＝m′g月，
联立解得月球的质量为M＝eq \f(△FR2,6Gm)。
三、论述、计算题(本题共4小题，共46分。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤，只写出最后答案不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位)
13．(10分)宇宙中两颗靠得较近的天体是以两者连线上的某点为圆心做周期相同的匀速圆周运动，因而不至于因引力作用而吸引到一起，人们称之为“双星系统”。如图所示，若忽略其他星体的影响，天体A、B可看做“双星系统”。已知天体A、B的质量分别为m1、m2，它们绕O点运动的周期均为T，引力常量为G，求：
(1)天体A、B的线速度之比；
(2)天体A、B之间的距离。
答案：(1)eq \f(m2,m1) (2)eq \r(3,\f(Gm1＋m2T2,4π2))
解析：设天体A、B之间的距离为L，根据万有引力提供天体运动的向心力有Geq \f(m1m2,L2)＝m1v1ω，
Geq \f(m1m2,L2)＝m2v2ω
联立解得天体A、B的线速度之比eq \f(v1,v2)＝eq \f(m2,m1)。
(2)设天体A、B运动的轨道半径分别为r1、r2，则对天体A有Geq \f(m1m2,L2)＝m1eq \f(4π2,T2)r1
对天体B有Geq \f(m1m2,L2)＝m2eq \f(4π2,T2)r2
又L＝r1＋r2
联立解得L＝eq \r(3,\f(Gm1＋m2T2,4π2))。
14．(10分)假如你将来成为一名宇航员，你驾驶一艘宇宙飞船飞临一未知星球，你发现当你关闭动力装置后，你的飞船贴着星球表面飞行一周用时为t秒，而飞船仪表盘上显示你的飞行速度大小为v。已知引力常量为G。问该星球的：
(1)半径R多大？
(2)第一宇宙速度v1多大？
(3)质量M多大？
(4)表面重力加速度g多大？
答案：(1)eq \f(vt,2π) (2)v (3)eq \f(v3t,2πG) (4)eq \f(2πv,t)
解析：(1)由2πR＝vt 得：R＝eq \f(vt,2π)。
(2)第一宇宙速度v1＝v。
(3)由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R) 得：M＝eq \f(Rv2,G)＝eq \f(v3t,2πG)。
(4)根据mg＝meq \f(v2,R) 得：g＝eq \f(v2,R)＝eq \f(2πv,t)。
15．(12分)航天器交会对接技术，即两个航天器(宇宙飞船、航天飞机等)在空间轨道上会合并在结构上连成一个整体的技术，是一个国家航天技术实力的体现。宇宙飞船与航天器在太空对接，首先要把宇宙飞船发射到离地面很近的圆轨道，然后经过多次变轨，最终与在距地面高度为h的圆形轨道上绕地球飞行的航天器完成对接，假设之后整体保持在距地面高度仍为h的圆形轨道上绕地球继续运动。已知地球半径为R0；地面附近的重力加速度为g。求：
(1)地球的第一宇宙速度；
(2)宇宙飞船在近地圆轨道运行的速度与对接后整体的运行速度之比。(用题中字母表示)
答案：(1)eq \r(gR) (2)eq \r(\f(R＋h,R))
解析：(1)设地球第一宇宙速度为v，在近地轨道上运行的卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，故有Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)①
又因为在地面附近卫星受到的万有引力等于卫星的重力，即Geq \f(Mm,R2)＝mg②
由①和②得地球的第一宇宙速度v＝eq \r(gR)。
(2)根据题意可知，飞船在近地圆轨道运行的速度为
v1＝v＝eq \r(gR)
对接后，整体的运行速度为v2根据万有引力提供整体圆周运动的向心力得
Geq \f(Mm,R＋h2)＝meq \f(v\\al(2,2),R＋h)③
由②和③可得，对接后整体运动的速度为v2＝eq \r(\f(gR2,R＋h))
所以v1∶v2＝eq \r(\f(R＋h,R))。
16．(14分)如图所示，A是地球的同步卫星，另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h。已知地球半径为R，地球自转角速度为ω，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心。
(1)求卫星B的运行周期；
(2)若卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？
答案：(1)2πeq \r(\f(R＋h3,gR2)) (2) eq \f(2π,\r(\f(gR2,R＋h3))－ω0)
解析：(1)设地球质量为M，卫星B的质量为m，万有引力提供卫星B做匀速圆周运动的向心力，有Geq \f(Mm,R＋h2)＝meq \f(4π2,T\\al(2,B))(R＋h)，在地球表面有Geq \f(Mm0,R2)＝m0g
联立解得TB＝2πeq \r(\f(R＋h3,gR2))。
(2)它们再一次相距最近时，B比A多转了一圈，
有ωBt－ω0t＝2π
其中ωB＝eq \f(2π,TB)，解得t＝eq \f(2π,\r(\f(gR2,R＋h3))－ω0)。