初中数学沪教版 (五四制)七年级下册第十四章 三角形综合与测试当堂检测题

沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专题攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列三角形与下图全等的三角形是（    ）

A． B． C． D．

2、如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为（　　）

A．21 B．24 C．27 D．30

3、在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则∠C＝（　　）

A．70° B．80° C．100° D．120°

4、如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，则∠AOD的度数是（    ）

A．50° B．60° C．40° D．30°

5、已知，，，的相关数据如图所示，则下列选项正确的是（    ）

A． B． C． D．

6、若三条线段中a＝3，b＝5，c为奇数，那么以a、b、c为边组成的三角形共有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7、如图，△ ABC≌△CDA，∠BAC=80°，∠ABC=65°，则∠CAD的度数为（    ）

A．35° B．65° C．55° D．40°

8、如图，点D、E分别在∠ABC的边BA、BC上，DE⊥AB，过BA上的点F（位于点D上方）作FG∥BC，若∠AFG=42°，则∠DEB的度数为（     ）

A．42° B．48° C．52° D．58°

9、三角形的外角和是（　　）

A．60° B．90° C．180° D．360°

10、下列四个命题是真命题的有（　　）

①同位角相等；

②相等的角是对顶角；

③直角三角形两个锐角互余；

④三个内角相等的三角形是等边三角形．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B、C的坐标分别为(0，3)、(4，0)、(0，0)，AB=5，点P为x轴上一点，若使得△ABP为等腰三角形，那么点P的坐标除点(，0)外，还可以是_____．

2、已知直角三角形△ABC的三条边长分别为3，4，5，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画___条．

3、已知：如图，AB = DB．只需添加一个条件即可证明．这个条件可以是______．（写出一个即可）．

4、等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为________．

5、如图，，点G分别为AD与CF的中点，若，则AC=______．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，AE=AC．求证：AD∥CE．

2、如图，在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于点E，AD是△ABC边BC上的高，AD与CE相交于点F，且∠ACB＝80°，求∠AFE的度数．

3、如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O．求证：OB＝OC．

4、在复习课上，老师布置了一道思考题：如图所示，点M，N分别在等边的边上，且，，交于点Q．求证：．同学们利用有关知识完成了解答后，老师又提出了下列问题：

（1）若将题中“”与“”的位置交换，得到的是否仍是真命题？请你给出答案并说明理由．

（2）若将题中的点M，N分别移动到的延长线上，是否仍能得到？请你画出图形，给出答案并说明理由．

5、如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，AF⊥AD，垂足为A．求证：∠1＝∠2

6、如图，在中，、分别是上的高和中线，，，求的长．

7、如图，是等边三角形，D点是BC上一点，，于点E，CE交AD于点P．求的度数．

8、中，CD平分，点E是BC上一动点，连接AE交CD于点D．

（1）如图1，若，AE平分，则的度数为______；

（2）如图2，若，，，则的度数为______；

（3）如图3，在BC的右侧过点C作，交AE延长线于点F，且，．试判断AB与CF的位置关系，并证明你的结论．

9、如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．

（1）求AE的长度；

（2）求∠AED的度数．

10、如图，CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，BD＝CD．

（1）求证：△BDE≌△CDF；

（2）求证：AE＝AF．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

根据已知的三角形求第三个内角的度数，由全等三角形的判定定理即可得出答案．

【详解】

由题可知，第三个内角的度数为，

A.只有两边，故不能判断三角形全等，故此选项错误；

B.两边夹的角度数不相等，故两三角形不全等，故此选项错误；

C.两边相等且夹角相等，故能判断两三角形全等，故此选项正确；

D. 两边夹的角度数不相等，故两三角形不全等，故此选项错误．

故选：C．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

2、C

【分析】

根据题意在AB上截取BE=BC，由“SAS”可证△CBD≌△EBD，可得∠CDB=∠BDE，∠C=∠DEB，可证∠ADE=∠AED，可得AD=AE，进而即可求解．

【详解】

解：如图，在AB上截取BE＝BC，连接DE，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

在△CBD和△EBD中，

，

∴△CBD≌△EBD（SAS），

∴∠CDB＝∠BDE，∠C＝∠DEB，

∵∠C＝2∠CDB，

∴∠CDE＝∠DEB，

∴∠ADE＝∠AED，

∴AD＝AE，

∴△ABC的周长＝AD+AE+BE+BC+CD＝AB+AB+CD＝27，

故选：C．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，注意掌握添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．

3、D

【分析】

根据三角形的内角和，①，进而根据已知条件，将代入①即可求得

【详解】

解：∵在△ABC中，，∠A＝∠B＝∠C，

∴

解得

故选D

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．

4、A

【分析】

根据旋转的性质求解再利用三角形的内角和定理求解再利用角的和差关系可得答案.

【详解】

解： 将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，

∠A的度数为110°，∠D的度数为40°，

故选A

【点睛】

本题考查的是三角形的内角和定理的应用，旋转的性质，掌握“旋转前后的对应角相等”是解本题的关键.

5、D

【分析】

根据三角形内角和定理分别求出三个三角形中未知角的度数，然后依据全等三角形的判定定理，从三个三角形中寻找条件证明全等，即可得出选项．

【详解】

解：，

，

在与中，

，

∴≅，

∴，

A、B、C三个选项均不能证明，

故选：D．

【点睛】

题目主要考查三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质，理解题意，熟练运用全等三角形的判定定理是解题关键．

6、C

【分析】

根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形的个数．

【详解】

解：c的范围是：5﹣3＜c＜5+3，即2＜c＜8．

∵c是奇数，

∴c＝3或5或7，有3个值．

则对应的三角形有3个．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了三角形三边关系，准确分析判断是解题的关键．

7、A

【分析】

先根据三角形内角和定理求出∠ACB=35°，再根据全等三角形性质即可求出∠CAD=35°．

【详解】

解：∵∠BAC=80°，∠ABC=65°，

∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=35°，

∵△ABC≌△CDA，

∴∠CAD=∠ACB=35°．

故选：A

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质，熟知两个定理是解题关键．

8、B

【分析】

根据两直线平行，同位角相等可得，再由垂直的性质及三角形内角和定理即可得．

【详解】

解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查平行线及垂线的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练运用平行线的性质是解题关键．

9、D

【分析】

根据三角形的内角和定理、邻补角的性质即可得．

【详解】

解：如图，，

，

又，

，

即三角形的外角和是，

故选：D．

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．

10、B

【分析】

利用平行线的性质、对顶角的定义、直角三角形的性质及等边三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

①两直线平行，同位角相等，故错误，是假命题；

②相等的角是对顶角，错误，是假命题；

③直角三角形两个锐角互余，正确，是真命题；

④三个内角相等的三角形是等边三角形，正确，是真命题，

综上所述真命题有2个，

故选：B．

【点睛】

本题考查了命题真假的判断，要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明、推理、证明，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题．

二、填空题

1、（，0）、（，0）、（9，0）

【分析】

先表示出PB=|a-4|，PB2=a2+9，AB=5，再分三种情况①当PB=AB时．②当PA=PB时，③当PA=AB时，讨论计算即可．

【详解】

设P（a，0），

∵A（0，3），B（4，0），

∴PB=|a-4|，PA2=a2+9，AB=5，

∵△ABP是等腰三角形，

∴①当PB=AB时，

∴|a-4|=5，

∴a=-1或9，

∴P（-1，0）或（9，0），

②当PA=PB时，

∴（a-4）2=a2+9，

∴a=，

∴P（，0），

③当PA=AB时，

∴a2+9=25，

∴a=4（舍）或a=-4，

∴P（-4，0）．

即：满足条件的点P的坐标为（-1，0）、（-4，0）、（9，0）．

【点睛】

本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律，等腰三角形的性质，分类讨论和用方程思想解决问题是解本题的关键．

2、6

【分析】

根据等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可．

【详解】

解：如图所示：

当BC2=CC2，AC1=AC，BC=BC3，BC=CC4，BC=CC5，C6A=C6B都能得到符合题意的等腰三角形．

故答案为：6．

【点睛】

此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．

3、AC=DC

【分析】

由题意可得，BC为公共边，AB=DB，即添加一组边对应相等，可证△ABC与△DBC全等．

【详解】

解：∵AB=DB，BC=BC，

添加AC=DC，

∴在△ABC与△DBC中，

，

∴△ABC≌△DBC（SSS），

故答案为：AC=DC．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．

4、22

【分析】

分两种情况讨论：当腰长为时， 当腰长为时，再结合三角形的三边关系，从而可得答案.

【详解】

解： 等腰三角形的两边长分别是和，

当腰长为时，此时 不符合题意，舍去，

当腰长为时，此时 符合题意，

所以三角形的周长为：

故答案为：

【点睛】

本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的三边关系，掌握“等腰三角形的两腰相等，再分情况讨论”是解本题的关键.

5、4

【分析】

根据SAS证明，由全等三角形的性质得，，由，得，推出，都是等腰三角形，故得，设，则，，，列出等量关系式解出，即可得出．

【详解】

∵点G分别为AD与CF的中点，

∴，，，

∴，

∴，，

∵，，

∴，

∴，都是等腰三角形，

∴，

设，则，，，

∴，

解得：，

∴．

故答案为：4．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，根据题意找出关系式是解题的关键．

三、解答题

1、见解析．

【分析】

先根据角平分线的定义得到∠BAD=∠BAC，再根据等腰三角形的性质和三角形外角定理得到∠E=∠BAC，从而得到∠BAD=∠E，即可证明AD∥CE．

【详解】

解：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠BAC，

∵AE=AC，

∴∠E=∠ACE，

∵∠E+∠ACE=∠BAC，

∴∠E=∠BAC，

∴∠BAD=∠E，

∴AD∥CE．

【点睛】

本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形外角定理，熟知相关定理并灵活应用是解题关键．

2、∠AFE=50°．

【分析】

根据CE平分∠ACB，∠ACB＝80°，得出∠ECB=，根据高线性质得出∠ADC=90°，根据三角形内角和得出∠DFC=180°-∠ADC-∠ECB=180°-90°-40°=50°，利用对顶角性质得出∠AFE=∠DFC=50°即可．

【详解】

解：∵CE平分∠ACB，∠ACB＝80°，

∴∠ECB=，

∵AD是△ABC边BC上的高，AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∴∠DFC=180°-∠ADC-∠ECB=180°-90°-40°=50°，

∴∠AFE=∠DFC=50°．

【点睛】

本题考查角平分线定义，垂线性质，三角形内角和，对顶角性质，掌握角平分线定义，垂线性质，三角形内角和，对顶角性质是解题关键．

3、见解析

【分析】

根据SAS证明△AEC与△ADB全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．

【详解】

证明：在△AEC与△ADB中，

，

∴△AEC≌△ADB（SAS），

∴∠ACE＝∠ABD，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴OB＝OC．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△AEC≌△ADB是本题的关键．

4、

（1）仍是真命题，证明见解析

（2）仍能得到，作图和证明见解析

【分析】

（1）由角边角得出和全等，对应边相等即可．

（2）由（1）问可知BM=CN，故可由边角边得出和全等，对应角相等，即可得出．

（1）

∵

∴

∵

∴

在和中有

∴

∴

故结论仍为真命题．

（2）

∵BM=CN

∴CM=AN

∵AB=AC，，

在和中有

∴

∴

∴

故仍能得到，如图所示

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边角迅速、准确地确定要补充的边角，有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路．

5、见详解．

【分析】

根据等腰三角形三合一性质以及等边对等角性质得出AD⊥BC，∠B=∠C，根据AF⊥AD，利用在同一平面内垂直同一直线的两直线平行得出AF∥BC，利用平行线性质得出∠1=∠B，∠2=∠C即可．

【详解】

证明：∵△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，

∴AD⊥BC，∠B=∠C，

∵AF⊥AD，

∴AF∥BC，

∴∠1=∠B，∠2=∠C，

∴∠1＝∠2．

【点睛】

本题考查等腰三角形性质，平行线的判定与性质，掌握等腰三角形性质，平行线的判定与性质是解题关键．

6、6cm

【分析】

先根据中线的定义结合已知条件求得AB，然后再运用三角形的面积公式求解即可.

【详解】

解：∵是边上的中线，

∴是的中点，

∴，

∵，

∴，

∴=.

【点睛】

本题主要考查了三角形的中线的定义以及三角形的面积公式，掌握三角形中线的定义成为解答本题的关键.

7、

【分析】

由题意易得，，则有，然后可得，进而可证，则有，最后问题可求解．

【详解】

解：∵是等边三角形，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴（SAS），

∴，

∵，

∴．

【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．

8、（1）40°；（2）10°；（3）AB∥CF，理由见解析

【分析】

（1）根据三角形的角和定理和角平分线的定义可求得∠BAC+∠ACB=140°即可求解；

（2）根据三角形的外角性质求得∠B+∠BAE=47°即可求解；

（3）延长AC到G，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到∠FCG=2∠F，再根据角平分线的定义和等角的余角相等得到∠BCF=2∠F，则有∠B=∠BCF，根据平行线在判定即可得出结论．

【详解】

解：（1）∵∠ADC=110°，

∴∠DAC+∠DCA=180°－110°=70°，

∵AE平分∠BAC，CD平分∠ACB，

∴∠BAC=2∠DAC，∠ACB=2∠DCA，

∴∠BAC+∠ACB=2（∠DAC+∠DCA）=140°，

∴∠B=180°－（∠BAC+∠ACB）=180°－140°=40°，

故答案为：40°；

（2）∵∠ADC=∠DCE+∠DEC=100°，∠DCE=53°，

∴∠DEC=100°－53°=47°，

∴∠B+∠BAE=∠DEC=47°，

∵∠B－∠BAE=27°，

∴∠BAE=10°，

故答案为：10°；

（3）AB∥CF，理由为：

如图，延长AC到G，

∵AC=CF，

∴∠F=∠FAC，

∴∠FCG=∠F+∠FAC=2∠F，

∵CF⊥CD，

∴∠BCF+∠BCD=90°，∠FCG+∠ACD=90°，

∵CD平分∠ACB，

∴∠BCD=∠ACD，

∴∠BCF=∠FCG=2∠F，

∵∠B=2∠F，

∴∠B=∠BCF，

∴AB∥CF．

【点睛】

本题考查角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、平行线的判定，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．

9、（1）；（2）．

【分析】

（1）先根据全等三角形的性质可得，再根据线段的和差即可得；

（2）先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得．

【详解】

解：（1）∵，

∴，

∵，

∴；

（2）∵，

∴，

∵，

∴．

【点睛】

本题考查全等三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的对应角和对应边相等是解题关键．

10、（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）根据CE⊥AB，BF⊥AC就可以得出∠BED=∠CFD=90°，就可以由AAS得出结论；

（2）由（1）得DE=DF，就可以得出BF=CE，由AAS就可以得出△AFB≌△AEC就可以得出结论．

【详解】

证明：（1）∵CE⊥AB，BF⊥AC，

∴∠BED＝∠CFD＝90°，

在△BED和△CFD中，

，

∴△BED≌△CFD（AAS）；

（2）∵△BED≌△CFD，

∴DE＝DF，

∴BD+DF＝CD+DE，

∴BF＝CE，

在△ABF和△ACE中，

，

∴△ABF≌△ACE（AAS），

∴AE＝AF．

【点睛】

本题考查了垂直的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，等式的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．