沪教版 (五四制)七年级下册第十四章 三角形综合与测试课后测评

沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专题练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，在ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∠B=35°，则∠BAD=（   ）

A．110° B．70° C．55° D．35°

2、如图，在中，AD是角平分线，且，若，则的度数是（    ）

A．45° B．50° C．52° D．58°

3、在△ABC中，∠A=50°，∠B、∠C的平分线交于O点，则∠BOC等于（    ）

A．65° B．80° C．115° D．50°

4、如图，ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将ABC绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边AB上，则的度数是（    ）

A．50° B．70° C．110° D．120°

5、如图，，AC，BD相交于点O．添加一个条件，不一定能使≌的是（    ）

A． B．

C． D．

6、下列三个说法：

①有一个内角是30°，腰长是6的两个等腰三角形全等；

②有一个内角是120°，底边长是3的两个等腰三角形全等；

③有两条边长分别为5，12的两个直角三角形全等．

其中正确的个数有（    ）．

A．3 B．2 C．1 D．0

7、已知三角形的两边长分别为和，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（    ）

A． B． C． D．

8、三角形的外角和是（　　）

A．60° B．90° C．180° D．360°

9、有下列说法：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②等腰三角形一腰上的高与底边的夹角与顶角互余；③等腰三角形顶角的平分线是它的对称轴；④等腰三角形两腰上的中线相等．其中正确的说法有（    ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

10、如图，在中，，，AD平分交BC于点D，在AB上截取，则的度数为（    ）

A．30° B．20° C．10° D．15°

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，上午9时，一艘船从小岛A处出发，以12海里/时的速度向正北方向航行，10时40分到达小岛B处，若从灯塔C处分别测得小岛A、B在南偏东34°、68°方向，则小岛B处到灯塔C的距离是______海里．

2、在△ABC中，已知∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A=_____________．

3、如图，在中，，一条线段，P，Q两点分别在线段和的垂线上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则的长为_________．

4、如图，，，BE平分交AD于点E，连接CE，AF交CD的延长线于点F，，若，，则的度数为______．

5、如图，AB＝CD，若要判定△ABD≌△CDB，则需要添加的一个条件是 ____________．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、已知：如图，点D为BC的中点，，求证：是等腰三角形．

2、在等腰中，，点D是BC边上的一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，作等腰，使，，点D，E在直线AC两旁，连接CE．

（1）如图1，当时，直接写出BC与CE的位置关系；

（2）如图2，当时，过点A作于点F，请你在图2中补全图形，用等式表示线段BD，CD，之间的数量关系，并证明．

3、如图，，，求证：．

4、中，CD平分，点E是BC上一动点，连接AE交CD于点D．

（1）如图1，若，AE平分，则的度数为______；

（2）如图2，若，，，则的度数为______；

（3）如图3，在BC的右侧过点C作，交AE延长线于点F，且，．试判断AB与CF的位置关系，并证明你的结论．

5、如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O．求证：OB＝OC．

6、如图，在中，、分别是上的高和中线，，，求的长．

7、如图，E为AB上一点，BD∥AC，AB＝BD，AC＝BE．求证：BC＝DE．

8、如图，在中，是的平分线，点在边上，且．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，，求的大小．

9、在等边中，D、E是BC边上两动点（不与B，C重合）

（1）如图1，，求的度数；

（2）点D在点E的左侧，且AD=AE，点E关于直线AC的对称点为F，连接AF，DF．

①依题意将图2补全；

②求证：．

10、如图，在中，，，，BD是的角平分线，点E在AB边上，．求的周长．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后利用直角三角形两锐角互余的性质解答．

【详解】

解：∵AB＝AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

∵∠B＝35°，

∴∠BAD＝90°−35°＝55°．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．

2、A

【分析】

根据角平分线性质求出∠DCA，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠C和∠B即可．

【详解】

解：∵AD是角平分线，，

∴∠DCA==30°，

∵AD=AC，

∴∠C=（180°－∠DCA）÷2=75°，

∴∠B=180°－∠BAC－∠C=180°－60°－75°=45°，

故选：A．

【点睛】

本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键．

3、C

【分析】

根据题意画出图形，求出∠ABC+∠ACB =130°，根据角平分线的定义得到∠CBD=∠ABC，∠ECB=∠ACB，再根据三角形内角和定理和角的代换即可求解．

【详解】

解：如图，∵∠A=50°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，

∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，

∴∠CBD=∠ABC，∠ECB=∠ACB，

∴∠BOC=180°-∠CBD-∠ECB=180°-（∠CBD+∠ECB）=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°- ×130°=115°．

故选：C

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和定理，并能根据角平分线的定义进行角的代换是解题关键．

4、B

【分析】

根据旋转可得，，得．

【详解】

解：，，

，

将绕点逆时针旋转得到△，使点的对应点恰好落在边上，

，，

．

故选：B．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．

5、C

【分析】

直接利用直角三角形全等的判定定理（定理）即可判断选项；先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形全等的判定定理（定理）即可判断选项；直接利用三角形全等的判定定理（定理）即可判断选项，由此即可得出答案．

【详解】

解：当添加条件是时，

在和中，，

，则选项不符题意；

当添加条件是时，

，

在和中，，

，则选项不符题意；

当添加条件是时，

在和中，，

，则选项不符题意；

当添加条件是时，不一定能使，则选项符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．

6、C

【分析】

根据三角形全等的判定方法，等腰三角形的性质和直角三角形的性质判断即可．

【详解】

解：①当一个是底角是30°，一个是顶角是30°时，两三角形就不全等，故本选项错误；

②有一个内角是120°，底边长是3的两个等腰三角形全等，本选项正确；

③当一条直角边为12，一条斜边为12时，两个直角三角形不全等，故本选项错误；正确的只有1个，

故选：C．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

7、C

【分析】

根据三角形的三边关系可得，再解不等式可得答案．

【详解】

解：设三角形的第三边为，由题意可得：

，

即，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边．

8、D

【分析】

根据三角形的内角和定理、邻补角的性质即可得．

【详解】

解：如图，，

，

又，

，

即三角形的外角和是，

故选：D．

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．

9、B

【分析】

根据轴对称的性质，轴对称图形的概念，等腰三角形的性质判断即可．

【详解】

解：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，说法正确；

②等腰三角形一腰上的高与底边的夹角与底角互余，原说法错误；

③等腰三角形的顶角平分线在它的对称轴上，原说法错误；

④等腰三角形两腰上的中线相等，说法正确．

综上，正确的有①④，共2个，

故选：B．

【点睛】

本题考查了轴对称的性质及等腰三角形的性质，掌握轴对称的性质，轴对称图形的概念，等腰三角形的性质是解题的关键．

10、B

【分析】

利用已知条件证明△ADE≌△ADC（SAS），得到∠DEA＝∠C，根据外角的性质可求的度数．

【详解】

解：∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠EAD＝∠CAD

在△ADE和△ADC中，

，

∴△ADE≌△ADC（SAS），

∴∠DEA＝∠C，

∵，∠DEA＝∠B +，

∴；

故选：B

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明△ADE≌△ADC．

二、填空题

1、20

【分析】

根据所给的角的度数，容易证得是等腰三角形，而的长易求，所以根据等腰三角形的性质，的值也可以求出．

【详解】

解：据题意得，，，

，

，

，

，

（海里）．

故答案是：20．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质及方向角的问题，解题的关键是由已知得到三角形是等腰三角形，要学会把实际问题转化为数学问题，用数学知识进行解决实际问题的方法．

2、40°

【分析】

根据已知得出∠B=2∠A，∠C=∠A+20°，代入∠A+∠B+∠C=180°得出方程∠A+2∠A+∠A+20°=180°，求出即可．

【详解】

解：∵∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，

∴∠B=2∠A，∠C=∠A+20°，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A+2∠A+∠A+20°=180°，

∴∠A=40°，

故答案为：40°．

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理的应用，注意：三角形的内角和等于180°，用了方程思想．

3、6cm或12cm

【分析】

先根据题意得到∠BCA=∠PAQ=90°，则以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，只有△ACB≌△QAP和△ACB≌△PAQ两种情况，由此利用全等三角形的性质求解即可．

【详解】

解：∵AX是AC的垂线，

∴∠BCA=∠PAQ=90°，

∴以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，只有△ACB≌△QAP和△ACB≌△PAQ两种情况，

当△ACB≌△QAP，

∴；

当△ACB≌△PAQ，

∴，

故答案为：6cm或12cm．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的性质是解题的关键．

4、80°

【分析】

先根据，，得出，可证AD∥BC，再证∠BAD=∠BCD，得出∠AEB=∠F，然后证∠ABC=2∠CBE=2∠F，得出∠ADC=2∠F，利用三角形内角和得出∠CED=180°-∠EDC-∠ECD=180°-2∠F-3∠F=180°-5∠F，根据平角得出∠AEB+∠CED=180°-∠BEC=180°-80°=100°，列方程∠F+180°-5∠F=100°求出∠F=20°即可．

【详解】

解：∵，

∴∠ABC+∠BCD=180°，

∵

∴，

∴AD∥BC，

∵，

∴∠BAD+∠ADC=180°，∠BAF+∠F=180°，

∵∠ADC+∠BCD=180°，

∴∠BAD=∠BCD，

∵，

∴，

∵∠BAF=∠BAD+∠DAF，

∴∠BAF+∠AEB=180°，

∴∠AEB=∠F，

∵AD∥BC，

∴∠CBE=∠AEB，

∵BE平分，

∴∠ABC=2∠CBE=2∠F，

∴∠ADC=2∠F，

∵，

在△CED中，∠CED=180°-∠EDC-∠ECD=180°-2∠F-3∠F=180°-5∠F，

∵，

∴∠AEB+∠CED=180°-∠BEC=180°-80°=100°，

∴∠F+180°-5∠F=100°，

解得∠F=20°，

∴，

故答案为80°．

【点睛】

本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和，角平分线定义，平角，解一元一次方程，掌握平行线的判定与性质，三角形内角和，角平分线定义，平角，解一元一次方程，关键是证出∠ADC=2∠F．

5、∠1=∠2（或填AD=CB）

【分析】

根据题意知，在△ABD与△CDB中，AB=CD，BD=DB，所以由三角形判定定理SAS可以推知，只需添加∠1=∠2即可．由三角形判定定理SSS可以推知，只需要添加AD=CB即可.

【详解】

解：∵在△ABD与△CDB中，AB=CD，BD=DB，

∴添加∠1=∠2时，可以根据SAS判定△ABD≌△CDB，

添加AD=CB时，可以根据SSS判定△ABD≌△CDB，，

故答案为∠1=∠2（或填AD=CB）.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

三、解答题

1、证明见解析

【分析】

过点D作，交AB于点M，过点D做，交AC于点N，根据角平分线性质，得；根据全等三角形的性质，通过证明，通过证明，得，结合等腰三角形的性质，即可完成证明．

【详解】

如下图，过点D作，交AB于点M，过点D做，交AC于点N

∵

∴

直角和直角中

∴

∴

∵点D为BC的中点，

∴

直角和直角中

∴

∴

∵，

∴，即是等腰三角形．

【点睛】

本题考查了角平分线、三角形中线、全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、三角形中线，全等三角形的性质，从而完成求解．

2、

（1）

（2）或，见解析

【分析】

（1）根据已知条件求出∠B=∠ACB=45°，证明△BAD≌△CAE，得到∠ACE=∠B=45°，求出∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，即可得到结论；

（2）根据题意作图即可，证明≌．得到，，，推出．延长EF到点G，使，证明≌，推出．由此得到．同理可证．

（1）

解：，，

∴∠B=∠ACB=45°，

∵，

∴，即∠BAD=∠CAE，

∵，，

∴△BAD≌△CAE，

∴∠ACE=∠B=45°，

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，

∴；

（2）

解：如图，补全图形；

．

证明：∵，

∴．

又∵，，

∴≌．

∴，，．

∵，

∴．

∴．

延长EF到点G，使．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴≌．

∴．

∵，

∴．

如图，同理可证．

．

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟记全等三角形的判定及性质是解题的关键．掌握分类思想解题是难点．

3、证明过程见解析

【分析】

先证明，得到，，再证明，即可得解；

【详解】

由题可得，在和中，

，

∴，

∴，，

又∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析证明是解题的关键．

4、（1）40°；（2）10°；（3）AB∥CF，理由见解析

【分析】

（1）根据三角形的角和定理和角平分线的定义可求得∠BAC+∠ACB=140°即可求解；

（2）根据三角形的外角性质求得∠B+∠BAE=47°即可求解；

（3）延长AC到G，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到∠FCG=2∠F，再根据角平分线的定义和等角的余角相等得到∠BCF=2∠F，则有∠B=∠BCF，根据平行线在判定即可得出结论．

【详解】

解：（1）∵∠ADC=110°，

∴∠DAC+∠DCA=180°－110°=70°，

∵AE平分∠BAC，CD平分∠ACB，

∴∠BAC=2∠DAC，∠ACB=2∠DCA，

∴∠BAC+∠ACB=2（∠DAC+∠DCA）=140°，

∴∠B=180°－（∠BAC+∠ACB）=180°－140°=40°，

故答案为：40°；

（2）∵∠ADC=∠DCE+∠DEC=100°，∠DCE=53°，

∴∠DEC=100°－53°=47°，

∴∠B+∠BAE=∠DEC=47°，

∵∠B－∠BAE=27°，

∴∠BAE=10°，

故答案为：10°；

（3）AB∥CF，理由为：

如图，延长AC到G，

∵AC=CF，

∴∠F=∠FAC，

∴∠FCG=∠F+∠FAC=2∠F，

∵CF⊥CD，

∴∠BCF+∠BCD=90°，∠FCG+∠ACD=90°，

∵CD平分∠ACB，

∴∠BCD=∠ACD，

∴∠BCF=∠FCG=2∠F，

∵∠B=2∠F，

∴∠B=∠BCF，

∴AB∥CF．

【点睛】

本题考查角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、平行线的判定，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．

5、见解析

【分析】

根据SAS证明△AEC与△ADB全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．

【详解】

证明：在△AEC与△ADB中，

，

∴△AEC≌△ADB（SAS），

∴∠ACE＝∠ABD，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴OB＝OC．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△AEC≌△ADB是本题的关键．

6、6cm

【分析】

先根据中线的定义结合已知条件求得AB，然后再运用三角形的面积公式求解即可.

【详解】

解：∵是边上的中线，

∴是的中点，

∴，

∵，

∴，

∴=.

【点睛】

本题主要考查了三角形的中线的定义以及三角形的面积公式，掌握三角形中线的定义成为解答本题的关键.

7、见解析

【分析】

根据平行线的性质可得，利用全等三角形的判定定理即可证明．

【详解】

证明：∵，

∴．

在和中，

，

∴，

∴．

【点睛】

题目主要考查全等三角形的判定定理和平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．

8、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【分析】

（Ⅰ）由CD是的平分线得出，由得出

从而得出，由平行线的判断即可得证；

（Ⅱ）由三角形内角和求出，由角平分线得出，由三角形内角和求出即可得出答案．

【详解】

（Ⅰ）∵CD是的平分线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（Ⅱ）∵，，

∴，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查平行线的判定以及三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键

9、（1）；（2）①作图见解析；②证明见解析

【分析】

（1）等边三角形中，由知，，进而求出的值；

（2）①作图见详解；② ，，，点E，F关于直线对称，，，，为等边三角形，进而可得到．

【详解】

解：（1）为等边三角形

．

（2）①补全图形如图所示，

②证明：为等边三角形

  ，

点E，F关于直线对称

，

即

为等边三角形

．

【点睛】

本题考察了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质．解题的关键在于角度的转化．

10、

【分析】

由题意结合角平分线性质和全等三角形判定得出，进而依据的周长进行求解即可.

【详解】

解：∵，，，

∴,

∵BD是的角平分线，

∴,

在和中，

,

∴，

∴，

∵，

∴的周长.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质以及角平分线性质，熟练掌握利用全等三角形的判定与性质以及角平分线性质进行边的等量替换是解题的关键.