数学沪教版 (五四制)第十四章 三角形综合与测试同步测试题

沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形章节练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，AD是的角平分线，，垂足为F．若，，则的度数为（    ）

A．35° B．40° C．45° D．50°

2、如图，等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边中点，则下列结论不正确的是（   ）

A．B＝C B．AD⊥BC C．BAD＝CAD D．AB＝2BC

3、以下长度的三条线段，能组成三角形的是（    ）

A．2，3，5 B．4，4，8 C．3，4.8，7 D．3，5，9

4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝40°，直线a∥b，若BC在直线b上，则∠1的度数为（　　）

A．40° B．45° C．50° D．60°

5、在平面直角坐标系xOy中，点A(0，2)，B(a，0)，C(m，n)（）．若ABC是等腰直角三角形，且，当时，点C的横坐标m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6、下列四个命题是真命题的有（　　）

①同位角相等；

②相等的角是对顶角；

③直角三角形两个锐角互余；

④三个内角相等的三角形是等边三角形．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7、如图，AD∥BC，∠C＝30°，∠ADB：∠BDC＝1：2，∠EAB＝72°，以下四个说法：

①∠CDF＝30°；②∠ADB＝50°；

③∠ABD＝22°；④∠CBN＝108°

其中正确说法的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8、如图，钝角中，为钝角，为边上的高，为的平分线，则与、之间有一种等量关系始终不变，下面有一个规律可以表示这种关系，你发现的是（    ）

A． B．

C． D．

9、如图，在中，，，AD平分交BC于点D，在AB上截取，则的度数为（    ）

A．30° B．20° C．10° D．15°

10、如图，和全等，且，对应．若，，，则的长为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．无法确定

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、若一个立体图形从正面看和从左面看都是等腰三角形，从上面看是带有圆心的圆，则这个立体图形是_____．

2、如图，点D是的平分线OC上一点，过点D作交射线OA于点E，则线段DE与OE的数量关系为：DE______OE（填“＞”或“＝”或“＜”）．

3、如图，在△中，已知点分别为的中点，若△的面积为，则阴影部分的面积为 _________

4、如图，正三角形ABC中，D是AB的中点，于点E，过点E作与BC交于点F．若，则的周长为______．

5、中，比大10°，，则______．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、如图，E为AB上一点，BD∥AC，AB＝BD，AC＝BE．求证：BC＝DE．

2、阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

任务：

如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

3、人教版初中数学教科书八年级上册第36、37页告诉我们作一个角等于已知角的方法：

已知：∠AOB．

求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．

作图：

（1）以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；

（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；

（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D′；

（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．

请你根据以上材料完成下列问题：

（1）完成下面证明过程（将正确答案写在相应的横线上）．

证明：由作图可知，在△O′C′D′和△OCD中，

，

∴△O′C′D′≌         ，

∴∠A′O′B'＝∠AOB．

（2）这种作一个角等于已知角的方法依据是       ．（填序号）

①AAS；②ASA；③SSS；④SAS

4、如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE．

5、如图，AD，BC相交于点O，AO＝DO．

（1）如果只添加一个条件，使得△AOB≌△DOC，那么你添加的条件是        （要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）；

（2）根据已知及（1）中添加的一个条件，证明AB＝DC．

6、如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O．求证：OB＝OC．

7、在中，，，点D是直线AC上一动点，连接BD并延长至点E，使．过点E作于点F．

（1）如图1，当点D在线段AC上（点D不与点A和点C重合）时，此时DF与DC的数量关系是______．

（2）如图2，当点D在线段AC的延长线上时，依题意补全图形，并证明：．

（3）当点D在线段CA的延长线上时，直接用等式表示线段AD，AF，EF之间的数量关系是______．

8、已知：如图，点D为BC的中点，，求证：是等腰三角形．

9、如图，是等边三角形，D点是BC上一点，，于点E，CE交AD于点P．求的度数．

10、如图，在四边形ABCD中，E是CB上一点，分别延长AE，DC相交于点F，，．

（1）求证：；

（2）若，求BE的长．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

根据三角形的内角和求出∠ACB＝90°，利用三角形全等，求出DC＝DE，再利用外角求出答案．

【详解】

解：∵∠CAB＝40°，∠B＝50°，

∴∠ACB＝180°−40°−50°＝90°，

∵CE⊥AD，

∴∠AFC＝∠AFE＝90°，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠CAD＝∠EAD＝×40°＝20°，

又∵AF＝AF，

∴△ACF≌△AEF（ASA）

∴AC＝AE，

∵AD＝AD，∠CAD＝∠EAD，

∴△ACD≌△AED  （SAS），

∴DC＝DE，

∴∠DCE＝∠DEC，

∵∠ACE＝90°−20°＝70°，

∴∠DCE＝∠DEC＝∠ACB−∠ACE＝90°−70°＝20°，

∴∠BDE＝∠DCE＋∠DEC＝20°＋20°＝40°，

故选：B．

【点睛】

考查角平分线、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识，根据三角形的内角和求出相应各个角的度数是解决问题的关键．

2、D

【分析】

根据等腰三角形的等边对等角的性质及三线合一的性质判断．

【详解】

解：∵AB＝AC，点D是BC边中点，

∴B＝C，AD⊥BC，BAD＝CAD，

故选：D．

【点睛】

此题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，三线合一，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．

3、C

【分析】

由题意根据三角形的三条边必须满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行分析即可．

【详解】

解：A、2+3=5，不能组成三角形，不符合题意；

B、4+4=8，不能组成三角形，不符合题意；

C、3+4.8＞7，能组成三角形，符合题意；

D、3+5＜9，不能组成三角形，不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．注意掌握判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数即可．

4、C

【分析】

根据三角形内角和定理确定，然后利用平行线的性质求解即可．

【详解】

解：∵，，

∴，

∵，

∴，

故选：C．

【点睛】

题目主要考查平行线的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．

5、B

【分析】

过点作轴于，由“”可证，可得，，即可求解．

【详解】

解：如图，过点作轴于，

点，

，

是等腰直角三角形，且，

，

，

，

在和中，

，

，

，，

，

，

，

故选：B．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是画图及添加恰当辅助线构造全等三角形．

6、B

【分析】

利用平行线的性质、对顶角的定义、直角三角形的性质及等边三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

①两直线平行，同位角相等，故错误，是假命题；

②相等的角是对顶角，错误，是假命题；

③直角三角形两个锐角互余，正确，是真命题；

④三个内角相等的三角形是等边三角形，正确，是真命题，

综上所述真命题有2个，

故选：B．

【点睛】

本题考查了命题真假的判断，要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明、推理、证明，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题．

7、D

【分析】

根据AD∥BC，∠C＝30°，利用内错角相等得出∠FDC=∠C=30°，可判断①正确；根据邻补角性质可求∠ADC=180°-∠FDC=180°-30°=150°，根据∠ADB：∠BDC＝1：2，得出方程3∠ADB=150°，解方程可判断②正确；根据∠EAB＝72°，可求邻补角∠DAN=180°-∠EAB=180°-72°=108°，利用三角形内角和可求∠ABD=180°-∠NAD-∠ADB=180°-108°-50°=22°可判断③正确，利用AD∥BC，同位角相等的∠CBN=∠DAN=108°可判断④正确即可．

【详解】

解：∵AD∥BC，∠C＝30°，

∴∠FDC=∠C=30°，故①正确；

∴∠ADC=180°-∠FDC=180°-30°=150°，

∵∠ADB：∠BDC＝1：2，

∴∠BDC=2∠ADB，

∵∠ADC=∠ADB+∠BDC=∠ADB+2∠ADB=3∠ADB=150°，

解得∠ADB=50°，故②正确

∵∠EAB＝72°，

∴∠DAN=180°-∠EAB=180°-72°=108°，

∴∠ABD=180°-∠NAD-∠ADB=180°-108°-50°=22°，故③正确

∵AD∥BC，

∴∠CBN=∠DAN=108°，故④正确

其中正确说法的个数是4个．

故选择D．

【点睛】

本题考查平行线性质，角的倍分，邻补角性质，三角形内角和，一元一次方程，掌握平行线性质，邻补角性质，三角形内角和，一元一次方程地解题关键．

8、B

【分析】

根据三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外角的性质依次推理即可得出结论．

【详解】

解：由三角形内角和知∠BAC=180°-∠2-∠1，

∵AE为∠BAC的平分线，

∴∠BAE=∠BAC=（180°-∠2-∠1）．

∵AD为BC边上的高，

∴∠ADC=90°=∠DAB+∠ABD．

又∵∠ABD=180°-∠2，

∴∠DAB=90°-（180°-∠2）=∠2-90°，

∴∠EAD=∠DAB+∠BAE=∠2-90°+（180°-∠2-∠1）=（∠2-∠1）．

故选：B

【点睛】

本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义、三角形外角性质及三角形的高的定义，解答的关键是找到已知角和所求角之间的联系．

9、B

【分析】

利用已知条件证明△ADE≌△ADC（SAS），得到∠DEA＝∠C，根据外角的性质可求的度数．

【详解】

解：∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠EAD＝∠CAD

在△ADE和△ADC中，

，

∴△ADE≌△ADC（SAS），

∴∠DEA＝∠C，

∵，∠DEA＝∠B +，

∴；

故选：B

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明△ADE≌△ADC．

10、A

【分析】

全等三角形对应边相等，对应角相等，根据题中信息得出对应关系即可．

【详解】

∵和全等，，对应

∴

∴AB=DF=4

故选：A．

【点睛】

本题考查了全等三角形的概念及性质，应注意①对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系②可以进一步推广到全等三角形对应边上的高相等，对应角的平分线相等，对应边上的中线相等，周长及面积相等③全等三角形有传递性．

二、填空题

1、圆锥

【分析】

根据立体图形视图、等腰三角形的性质分析，即可得到答案．

【详解】

根据题意，这个立体图形是圆锥

故答案为：圆锥．

【点睛】

本题考查了等腰三角形、圆锥、立体图形视图的知识；解题的关键是熟练掌握立体图形视图的性质，从而完成求解．

2、＝

【分析】

首先由平行线的性质求得∠EDO=∠DOB，然后根据角平分线的定义求得∠EOD=∠DOB，最后根据等腰三角形的判定和性质即可判断．

【详解】

解：∵ED∥OB，

∴∠EDO=∠DOB，

∵D是∠AOB平分线OC上一点，

∴∠EOD=∠DOB，

∴∠EOD=∠EDO，

∴DE=OE，

故答案为：=．

【点睛】

本题主要考查的是平行线的性质、角平分线的定义以及等角对等边，根据平行线的性质和角平分线的定义求得∠EOD=∠EDO是解题的关键．

3、1

【分析】

根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．

【详解】

解：∵点E是AD的中点，

∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，

∴S△ABE＋S△ACE＝S△ABC＝×4＝2cm2，

∴S△BCE＝S△ABC＝×4＝2cm2，

∵点F是CE的中点，

∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1cm2．

故答案为：1．

【点睛】

本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．

4、18

【分析】

利用正三角形ABC以及平行关系，求出是等边三角形，在中，利用含角的直角三角形的性质，求出的长，进而得到长，最后即可求出的周长．

【详解】

解：是等边三角形，

，，

，

，

为等边三角形，

，

由于D是AB的中点，故,

，

，

在中,，

，

，

，

故答案为：18．

【点睛】

本题主要是考查了等边三角形的判定及性质、含角的直角三角形的性质，熟练地综合应用等边三角形和含角的直角三角形的性质求解边长，是解决该题的关键．

5、70°

【分析】

根据三角形内角和定理可得，由题意比大，可得，组成方程组求解即可．

【详解】

解：∵，

∴，

∵比大，

∴，

∴，

解得：，

故答案为：．

【点睛】

题目主要考查三角形内角和定理及二元一次方程组的应用，理解题意，列出代数式组成方程组是解题关键．

三、解答题

1、见解析

【分析】

根据平行线的性质可得，利用全等三角形的判定定理即可证明．

【详解】

证明：∵，

∴．

在和中，

，

∴，

∴．

【点睛】

题目主要考查全等三角形的判定定理和平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．

2、成立，证明见解析

【分析】

根据阅读材料将△ADF旋转120°再证全等即可求得EF= BE+DF ．

【详解】

解：成立．

证明：将绕点顺时针旋转，得到，

，，，，，

，、、三点共线，

．

，，，

，

．

【点睛】

本题考查旋转中的三角形全等，读懂材料并运用所学的全等知识是本题关键．

3、

（1）CD，O′D′，△OCD，

（2）③

【分析】

（1）根据SSS证明△D′O′C′≌△DOC，可得结论；

（2）根据SSS证明三角形全等．

（1）

证明：由作图可知，在△D′O′C′和△DOC中，

，

∴△O′C′D′≌△OCD（SSS），

∴∠A′O′B′＝∠AOB．

故答案为：CD，O′D′，△OCD，

（2）

解：上述证明过程中利用三角形全等的方法依据是SSS，

故答案为：③

【点睛】

本题考查三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．

4、见解析

【分析】

过A作AF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得出BF=CF，DF=EF，即可求出答案．

【详解】

证明：如图，过A作AF⊥BC于F，

∵AB=AC，AD=AE，

∴BF=CF，DF=EF，

∴BF-DF=CF-EF，

∴BD=CE．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质的应用，注意：等腰三角形的底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合．

5、（1）OB=OC（或，或）；（2）见解析

【分析】

（1）根据SAS添加OB=OC即可；

（2）由（1）得△AOB≌△DOC，由全等三角形的性质可得结论．

【详解】

解：（1）添加的条件是：OB=OC（或，或）

证明：在和中

所以，△AOB≌△DOC

（2）由（1）知，△AOB≌△DOC

所以，AB＝DC．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键

6、见解析

【分析】

根据SAS证明△AEC与△ADB全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．

【详解】

证明：在△AEC与△ADB中，

，

∴△AEC≌△ADB（SAS），

∴∠ACE＝∠ABD，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴OB＝OC．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△AEC≌△ADB是本题的关键．

7、（1）（2）见解析（3）

【分析】

（1）利用边相等和角相等，直接证明，即可得到结论．

（2）利用边相等和角相等，直接证明，得到和，最后通过边与边之间的关系，即可证明结论成立．

（3）要证明，先利用边相等和角相等，直接证明，得到和，最后通过边与边之间的关系，即可证明结论成立．

【详解】

（1）解：

，，

，

在和中，

，

．

（2）解：当点D在线段AC的延长线上时，如下图所示：

，，

，

在和中，

，

，，

．

（3）解：，如下图所示：

，，

，

在和中，

，

，，

．

【点睛】

本题主要是考查了三角形全等的判定和性质，熟练利用条件证明三角形全等，然后利用边相等以及边与边之间关系，即可证明结论成立，这是解决该题的关键．

8、证明见解析

【分析】

过点D作，交AB于点M，过点D做，交AC于点N，根据角平分线性质，得；根据全等三角形的性质，通过证明，通过证明，得，结合等腰三角形的性质，即可完成证明．

【详解】

如下图，过点D作，交AB于点M，过点D做，交AC于点N

∵

∴

直角和直角中

∴

∴

∵点D为BC的中点，

∴

直角和直角中

∴

∴

∵，

∴，即是等腰三角形．

【点睛】

本题考查了角平分线、三角形中线、全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、三角形中线，全等三角形的性质，从而完成求解．

9、

【分析】

由题意易得，，则有，然后可得，进而可证，则有，最后问题可求解．

【详解】

解：∵是等边三角形，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴（SAS），

∴，

∵，

∴．

【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．

10、

（1）见解析

（2）

【分析】

(1)利用是的外角,以及证明即可．

(2)证明≌,可知,从而得出答案．

（1）

证明：∵是的外角，

∴．

又∵，∴．

（2）

解：在和中，

，

∴≌．

∴．

∵，

∴．

【点睛】

本题考查了三角形的外角以及三角形全等的性质和判定,掌握三角形全等的性质和判定是解题的关键．