初中数学沪教版 (五四制)七年级下册第十四章 三角形综合与测试练习题

沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形章节练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（    ）

A．10 B．15 C．17 D．19

2、三角形的外角和是（　　）

A．60° B．90° C．180° D．360°

3、尺规作图：作角等于已知角．示意图如图所示，则说明的依据是（    ）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS

4、如图，E为线段BC上一点，∠ABE=∠AED=∠ECD=90°，AE=ED，BC=20，AB=8，则BE的长度为（    ）

A．12 B．10 C．8 D．6

5、如图，AD∥BC，∠C＝30°，∠ADB：∠BDC＝1：2，∠EAB＝72°，以下四个说法：

①∠CDF＝30°；②∠ADB＝50°；

③∠ABD＝22°；④∠CBN＝108°

其中正确说法的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6、满足下列条件的两个三角形不一定全等的是（    ）

A．周长相等的两个三角形 B．有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形

C．三边都对应相等的两个三角形 D．两条直角边对应相等的两个直角三角形

7、已知三角形的两边长分别为2cm和3cm，则第三边长可能是（    ）

A．6cm B．5cm C．3cm D．1cm

8、如图，BD是的角平分线，，交AB于点E．若，，则的度数是（    ）

A．10° B．20° C．30° D．50°

9、我们称网格线的交点为格点．如图，在4×4的长方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

10、如图，点D、E分别在∠ABC的边BA、BC上，DE⊥AB，过BA上的点F（位于点D上方）作FG∥BC，若∠AFG=42°，则∠DEB的度数为（     ）

A．42° B．48° C．52° D．58°

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，一把直尺的一边缘经过直角三角形的直角顶点，交斜边于点；直尺的另一边缘分别交、于点、，若，，则___________度．

2、在△ABC中，已知∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A=_____________．

3、如图，已知，请添加一个条件，使得，则添加的条件可以为___（只填写一个即可）．

4、如图，已知AB＝3，AC＝CD＝1，∠D＝∠BAC＝90°，则△ACE的面积是 _____．

5、如图，在△ABC中，AB＝AC．在AB、AC上分别截取AP，AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．若BC＝6，则BD的长为______________．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O．求证：OB＝OC．

2、阅读填空，将三角尺（△MPN，∠MPN=90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图①所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C，我们来研究∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．

（1）特例探索：

若∠A=50°，则∠PBC+∠PCB=       度，∠ABP+∠ACP=       度．

（2）类比探索：

∠ABP、∠ACP、∠A的关系是                      ．

（3）变式探索：

如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是                      ．

3、如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD交于点F，，，．求和的度数．

4、如图，已知点E、C在线段BF上，，，．求证：．

5、已知：

（1）O是∠BAC内部的一点．

①如图1，求证：∠BOC＞∠A；

②如图2，若OA＝OB＝OC，试探究∠BOC与∠BAC的数量关系，给出证明．

（2）如图3，当点O在∠BAC的外部，且OA＝OB＝OC，继续探究∠BOC与∠BAC的数量关系，给出证明．

6、在ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．

（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=         度；

（2）设，．

①如图2，当点在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；

②当点在直线BC上（线段BC之外）移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

7、如图，和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边．求证．

8、如图，AD，BC相交于点O，AO＝DO．

（1）如果只添加一个条件，使得△AOB≌△DOC，那么你添加的条件是        （要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）；

（2）根据已知及（1）中添加的一个条件，证明AB＝DC．

9、已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，AE=AC．求证：AD∥CE．

10、如图，在中，是的平分线，点在边上，且．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，，求的大小．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．

【详解】

解：①当腰是3，底边是7时，3+3＜7，不满足三角形的三边关系，因此舍去．

②当底边是3，腰长是7时，3+7＞7，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．

故选：C．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．

2、D

【分析】

根据三角形的内角和定理、邻补角的性质即可得．

【详解】

解：如图，，

，

又，

，

即三角形的外角和是，

故选：D．

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．

3、A

【分析】

利用基本作图得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，则根据全等三角形的判定方法可根据“SSS”可判断△OCD≌△O′C′D′，然后根据全等三角形的性质得到∠A′OB′＝∠AOB．

【详解】

解：由作法可得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，

所以根据“SSS”可判断△OCD≌△O′C′D′，

所以∠A′OB′＝∠AOB．

故选：A．

【点睛】

本题考查了作图﹣基本作图和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握基本作图和全等三角形的判定定理．

4、A

【分析】

利用角相等和边相等证明，利用全等三角形的性质以及边的关系，即可求出BE的长度．

【详解】

解：由题意可知：∠ABE=∠AED=∠ECD=90°，

，，

，

在和中，

，

，

，

故选：A．

【点睛】

本题主要是考查了全等三角形的判定和性质，熟练通过已知条件证明三角形全等，利用全等性质及边的关系，来求解未知边的长度，这是解决本题的主要思路．

5、D

【分析】

根据AD∥BC，∠C＝30°，利用内错角相等得出∠FDC=∠C=30°，可判断①正确；根据邻补角性质可求∠ADC=180°-∠FDC=180°-30°=150°，根据∠ADB：∠BDC＝1：2，得出方程3∠ADB=150°，解方程可判断②正确；根据∠EAB＝72°，可求邻补角∠DAN=180°-∠EAB=180°-72°=108°，利用三角形内角和可求∠ABD=180°-∠NAD-∠ADB=180°-108°-50°=22°可判断③正确，利用AD∥BC，同位角相等的∠CBN=∠DAN=108°可判断④正确即可．

【详解】

解：∵AD∥BC，∠C＝30°，

∴∠FDC=∠C=30°，故①正确；

∴∠ADC=180°-∠FDC=180°-30°=150°，

∵∠ADB：∠BDC＝1：2，

∴∠BDC=2∠ADB，

∵∠ADC=∠ADB+∠BDC=∠ADB+2∠ADB=3∠ADB=150°，

解得∠ADB=50°，故②正确

∵∠EAB＝72°，

∴∠DAN=180°-∠EAB=180°-72°=108°，

∴∠ABD=180°-∠NAD-∠ADB=180°-108°-50°=22°，故③正确

∵AD∥BC，

∴∠CBN=∠DAN=108°，故④正确

其中正确说法的个数是4个．

故选择D．

【点睛】

本题考查平行线性质，角的倍分，邻补角性质，三角形内角和，一元一次方程，掌握平行线性质，邻补角性质，三角形内角和，一元一次方程地解题关键．

6、A

【分析】

根据全等三角形的判定方法求解即可．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS对各选项进行一一判断即可．

【详解】

解：A、周长相等的两个三角形不一定全等，符合题意；

B、有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形根据三边对应相等判定定理可判定全等，不符合题意；

C、三边都对应相等的两个三角形根据三边对应相等判定定理可判定全等，不符合题意；

D、两条直角边对应相等的两个直角三角形根据SAS判定定理可判定全等，不符合题意．

故选：A．

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．

7、C

【分析】

根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．

【详解】

解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：

3-2＜x＜3+2，

解得：1＜x＜5，

只有C选项在范围内．

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．

8、B

【分析】

由外角的性质可得∠ABD＝20°，由角平分线的性质可得∠DBC＝20°，由平行线的性质即可求解.

【详解】

解：（1）∵∠A＝30°，∠BDC＝50°，∠BDC＝∠A＋∠ABD，

∴∠ABD＝∠BDC−∠A＝50°−30°＝20°，

∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠DBC＝∠ABD＝20°，

∵DE∥BC，

∴∠EDB=∠DBC＝20°，

故选：B．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活应用这些性质解决问题是解决本题的关键．

9、A

【分析】

根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．

【详解】

解：如图：分情况讨论：

①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的格点C点有0个；

②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的格点C点有3个．

故共有3个点，

故选：A．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．

10、B

【分析】

根据两直线平行，同位角相等可得，再由垂直的性质及三角形内角和定理即可得．

【详解】

解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查平行线及垂线的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练运用平行线的性质是解题关键．

二、填空题

1、20

【分析】

利用平行线的性质求出∠1，再利用三角形外角的性质求出∠DCB即可．

【详解】

解：∵EF∥CD，

∴，

∵∠1是△DCB的外角，

∴∠1-∠B=50°-30°=20º，

故答案为：20．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．

2、40°

【分析】

根据已知得出∠B=2∠A，∠C=∠A+20°，代入∠A+∠B+∠C=180°得出方程∠A+2∠A+∠A+20°=180°，求出即可．

【详解】

解：∵∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，

∴∠B=2∠A，∠C=∠A+20°，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A+2∠A+∠A+20°=180°，

∴∠A=40°，

故答案为：40°．

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理的应用，注意：三角形的内角和等于180°，用了方程思想．

3、或

【分析】

根据全等三角形的判定方法即可解决问题．

【详解】

解：由题意，，

根据，可以添加，使得，

根据，可以添加，使得．

故答案为：或

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法——边角边、角边角、角角边、边边边是解题的关键．

4、##

【分析】

先根据三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，然后利用三角形的面积公式即可得．

【详解】

解：在和中，，

，

，

则的面积是，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定定理与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．

5、3

【分析】

根据题意依据等腰三角形的性质，即可得到BD=BC，进而分析计算即可得出结论．

【详解】

解：由题可得，AR平分∠BAC，

又∵AB=AC，

∴AD是三角形ABC的中线，

∴BD=BC=×6=3.

故答案为：3．

【点睛】

本题主要考查基本作图以及等腰三角形的性质，注意掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．

三、解答题

1、见解析

【分析】

根据SAS证明△AEC与△ADB全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．

【详解】

证明：在△AEC与△ADB中，

，

∴△AEC≌△ADB（SAS），

∴∠ACE＝∠ABD，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴OB＝OC．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△AEC≌△ADB是本题的关键．

2、（1）90，40 ；（2）∠ABP+∠ACP+∠A=90°；（3）∠A+∠ACP－∠ABP=90°．

【分析】

（1）由三角形内角和为180°计算和中的角的关系即可．

（2）由（1）所得即可得出∠ABP、∠ACP、∠A的关系为∠ABP+∠ACP+∠A=90°．

（3）由三角形外角的性质即可推出∠A+∠ACP－∠ABP=90°．

【详解】

（1）在中

∵∠MPN=90°

∴∠PBC+∠PCB=180°-∠MPN=180°-90°=90°

在中

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°

又∵∠ABC=∠PBC+∠ABP，∠ACB=∠ACP+∠BCP

∴∠A+∠PBC+∠ABP +∠ACP+∠BCP =180°

∵∠PBC+∠PCB=90°，∠A=50°

∴∠ABP +∠ACP=180°-90°-50°=40°

（2）由（1）问可知∠A+∠PBC+∠ABP +∠ACP+∠BCP =180°

又∵∠PBC+∠PCB=90°

∴∠A+∠ABP +∠ACP=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-90°=90°

（3）如图所示，设PN与AB交于点H

∵∠A+∠ACP=∠AHP

又∵∠ABP+∠MPN =∠AHP

∴∠A+∠ACP=∠ABP+∠MPN

又∵∠MPN =90°

∴∠A+∠ACP =90°+∠ABP

∴∠A+∠ACP－∠ABP=90°．

【点睛】

本题考查了三角形的性质以及三角尺的角度计算问题，三角板的角度分别为90°，45°，45°；90°，60°，30°两种直角三角尺，三角形内角和是180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

3、87°，40°

【分析】

根据三角形外角的性质可得，，代入计算即可求出，再根据三角形内角和定理求解即可．

【详解】

解：∵，，

∴，

∵，

∴．

【点睛】

本题考查了三角形内角和和外角的性质，解题关键是准确识图，理清角之间的关系，准确进行计算．

4、见解析

【分析】

由平行线的性质可证明．再由，可推出．最后即可利用“ASA”直接证明．

【详解】

证明：

，即．

∴在和中，

．

【点睛】

本题考查三角形全等的判定，平行线的性质，线段的和与差．掌握三角形全等的判定条件是解答本题的关键．

5、（1）①见解析；②∠BOC＝2∠A，见解析；（2）∠BOC＝2∠BAC，见解析

【分析】

（1）①连接AO并延长AO至点E，根据三角形外角性质解答即可；

②延长AO至点E，根据三角形外角性质解答即可；

（2）根据三角形外角性质和三角形内角和定理解答即可．

【详解】

证明：（1）①如图所示：连接AO并延长AO至点E，则∠BOE＞∠BAO，∠COE＞∠CAO，

∴∠BOC＞∠A；

②∠BOC与∠BAC的数量关系：∠BOC＝2∠A；

证明：如图所示，延长AO至点E，则∠BOE＝∠BAO+∠B，∠COE＝∠CAO+∠C，

∵OA＝OB＝OC，

∴∠BAO＝∠B，∠CAO＝∠C，

∴∠BOC＝∠COE+∠COE＝∠BAO+∠B+∠CAO+∠C＝2（∠BAO+∠CAO）＝2∠BAC；

（2）∠BOC与∠BAC的数量关系：∠BOC＝2∠BAC；

证明：如图所示，设∠B＝x，

∵OA＝OB＝OC，

∴∠B＝∠BAO＝x，∠C＝∠OAC＝∠BAC+x；

在△BEO和△AEC中，有：∠B+∠BOC＝∠C+∠CAE；

即x+∠BOC＝∠CAE+x+∠CAE＝2∠BAC+x；

即∠BOC＝2∠BAC．

【点睛】

此题考查三角形综合题，关键是根据三角形外角性质和三角形内角和定理解答．

6、（1）90；（2），见解析；②或

【分析】

（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABC＝∠ACE＝45°，可求∠BCE的度数；

（2）①由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论；②分两种情况，由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论．

【详解】

解：（1）∵，

∴，

∵AB=AC，AD=AE，

∴，，

∵，

∴，

在和中

∴，

∴

（2）或．

理由：①∵，

∴．

即．

在和中

，

∴．

∴．

∴．

∴．

∵，

∴．

②如图：

∵，

∴．

即．

在和中

，

∴．

∴．

∵，，

，

．

综上所述：点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β．

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定方法及性质是关键．

7、见解析

【分析】

由和是顶角相等的等腰三角形，得出知、、，证即可得证．

【详解】

解：和是顶角相等的等腰三角形，得出，

，，，

在和中，

，

，

．

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质与全等三角形的判定和性质．

8、（1）OB=OC（或，或）；（2）见解析

【分析】

（1）根据SAS添加OB=OC即可；

（2）由（1）得△AOB≌△DOC，由全等三角形的性质可得结论．

【详解】

解：（1）添加的条件是：OB=OC（或，或）

证明：在和中

所以，△AOB≌△DOC

（2）由（1）知，△AOB≌△DOC

所以，AB＝DC．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键

9、见解析．

【分析】

先根据角平分线的定义得到∠BAD=∠BAC，再根据等腰三角形的性质和三角形外角定理得到∠E=∠BAC，从而得到∠BAD=∠E，即可证明AD∥CE．

【详解】

解：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠BAC，

∵AE=AC，

∴∠E=∠ACE，

∵∠E+∠ACE=∠BAC，

∴∠E=∠BAC，

∴∠BAD=∠E，

∴AD∥CE．

【点睛】

本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形外角定理，熟知相关定理并灵活应用是解题关键．

10、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【分析】

（Ⅰ）由CD是的平分线得出，由得出

从而得出，由平行线的判断即可得证；

（Ⅱ）由三角形内角和求出，由角平分线得出，由三角形内角和求出即可得出答案．

【详解】

（Ⅰ）∵CD是的平分线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（Ⅱ）∵，，

∴，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查平行线的判定以及三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键