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山东省淄博市张店区2021-2022学年七年级上学期期末考试数学试题（word版 含答案）
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这是一份山东省淄博市张店区2021-2022学年七年级上学期期末考试数学试题（word版 含答案），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省淄博市张店区七年级第一学期期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上）
1．下列各数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．3.
2．下列疫情防控宣传图片中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
4．如图，用尺规作∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
5．△ABC中，∠C＝50°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，点F为AE上一点，FD⊥BC于点D，则∠EFD的度数为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．20
6．如图，是棋盘的一部分，建立适当的平面直角坐标系，已知棋子“车”的坐标为（﹣3，1），棋子“炮”的坐标为（1，1），则棋子“马”的坐标为（ ）
A．（3，﹣1） B．（2，﹣2） C．（2，﹣1） D．（2，0）
7．如图，BD是△ABC的中线，点E，F分别为BD，CE的中点，若△ABC的面积为8，则△AEF的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．介于两个连续（相邻）的整数a与b之间，则a+b＝（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
9．如图，△ABC中，AB＝BC，∠C＝60°，AD是BC上的高，DE∥AC，图中与BD（BD除外）相等的线段共有（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．甲、乙两人沿同一条路从A地出发，去往100千米外的B地，甲、乙两人离A地的距离（千米）与时间t（小时）之间的关系如图所示，以下说法正确的是（ ）
A．甲出发2小时后两人第一次相遇
B．乙的速度是30km/h
C．甲乙同时到达B地
D．甲的速度是60km/h
11．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．若AB＝7，AC＝3，则BE＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．记实数x1，x2，…，xn中的最小数为min{x1，x2，…，xn}，例如min{﹣1，1，2}＝﹣1，则函数y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分。不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位罩上）
13．化简＝ ．
14．已知点P（a，b）在第三象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距为5，到点P的坐标为 ．
15．甲、乙、丙三名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：
甲：函数的图象经过点（0，﹣2）；
乙：y随x的增大而减小；
丙：函数的图象不经过第一象限．
根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个一次函数的表达式为 ．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中有两条直线l1：y＝x+3，l2：y＝﹣3x+3，则AB与AC的数量关系为 ，若l2上的一点M到l1的距离是2，则点M的坐标为 ．
三、解答题（本题共7小题，请把解答过程写在答题纸上）
18．（1）计算：；
（2）求满足式子的未知数x：x2＝6．
19．实数与数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴上表示出来．
（1）如图1，点A表示的数是 ；
（2）如图2，直线l垂直数轴于点B，点B对应的数是3，请在数轴上用尺规作出表示1﹣的点C（不写作法，保留作图痕迹），并说明理由．
20．在平面直角坐标系中，点A、点B、点C、点O都在由边长为1的小正方形组成网格的格点上，△ABC的位置如图所示．
（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C′；
（2）△ABC的顶点A关于y轴对称的点A'的坐标为：A′ ；△A′B′C′的顶点B′关于x轴对称的点B″的坐标为：B″ ；
（3）求△ABC的面积．
21．某旅行社要印刷旅游宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收0.2元印刷费，另收500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收0.4元印刷费，不收制版费．
（1）分别写出两个印刷厂的收费y（元）与印刷数量x（份）之间的函数关系式；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象；
（3）如果旅行社要印制2400份宣传材料，那么选择哪家印刷厂比较合算？
（4）旅行社拟拿出2000元用于印制宣传材料，那么选择哪家印刷厂印制得多？多多少份？
22．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图1，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．
（2）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．请判断AC与BF的数量关系，并说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，8）的直线AB与直线OC相交于点C（2，6），与x轴交于点B，动点Q在直线AB上运动，动点P在直线OC上运动．
（1）求直线AB和直线OC的表达式；
（2）当△OBQ的面积S△OBQ＝12时，求此时点Q的坐标；
（3）是否存在点P，使△OBP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
24．问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；
探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，请说明理由；
实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心北偏东60°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向南偏东75°方向以40海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏西75°的方向以30海里/小时的速度前进，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且E处在指挥中心北偏东8°方向，F处在指挥中心北偏东53°方向，试求此时两舰艇之间的距离．
参考答案
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上）
1．下列各数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．3.
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：＝﹣2，﹣2是整数，属于有理数；
是无理数；
是分数，属于有理数；
3.是循环小数，属于有理数．
故选：B．
2．下列疫情防控宣传图片中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
3．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
4．如图，用尺规作∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】由作图可知，OD＝OC＝O′D′＝O′C′，CD＝C′D′，根据SSS证明三角形全等即可解决问题，
解：由作图可知，OD＝OC＝O′D′＝O′C′，CD＝C′D′，
在△DOC和△D′O′C′中，
，
∴△DOC≌△D′O′C′（SSS），
∴∠BOA＝∠B′O′A′．
故选：D．
5．△ABC中，∠C＝50°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，点F为AE上一点，FD⊥BC于点D，则∠EFD的度数为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．20
【分析】根据三角形的内角和为180°即可得出结论．
解：∵∠C＝50°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠A＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝50°，
∴∠FED＝50°+30°＝80°，
又∵DF⊥BC，
∴∠FED+∠EFD＝90°，
∴∠EFD＝90°﹣80°＝10°，
故选：B．
6．如图，是棋盘的一部分，建立适当的平面直角坐标系，已知棋子“车”的坐标为（﹣3，1），棋子“炮”的坐标为（1，1），则棋子“马”的坐标为（ ）
A．（3，﹣1） B．（2，﹣2） C．（2，﹣1） D．（2，0）
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置，进而建立平面直角坐标系，进而得出答案．
解：如图所示：棋子“马”的坐标为（2，﹣1）．
故选：C．
7．如图，BD是△ABC的中线，点E，F分别为BD，CE的中点，若△ABC的面积为8，则△AEF的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，利用BE＝DE得到S△ABE＝S△ADE，S△CBE＝S△CDE，所以S△ACE＝4，然后利用F点为CE的中点得到S△AEF＝S△ACE．
解：∵点E为BD的中点，
∴BE＝DE，
∴S△ABE＝S△ADE，S△CBE＝S△CDE，
∴S△ACE＝S△ABC＝×8＝4，
∵F点为CE的中点，
∴S△AEF＝S△ACE＝×4＝2．
故选：A．
8．介于两个连续（相邻）的整数a与b之间，则a+b＝（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【分析】先估算出的值，然后进行计算即可解答．
解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴1＜﹣1＜2，
∴＜＜1，
∵介于两个连续（相邻）的整数a与b之间，
∴a＝0，b＝1，
∴a+b＝1，
故选：A．
9．如图，△ABC中，AB＝BC，∠C＝60°，AD是BC上的高，DE∥AC，图中与BD（BD除外）相等的线段共有（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由已知条件可判断△ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质可得BD＝CD，再根据平行线的性质可得∠BED＝∠EDB＝60°，可得△BED是等边三角形，即可得出BD＝ED＝BE，再根据BD＝CD，ED∥AC，可得ED是△ABC的中位线，即可得出BE＝AE，即可得出答案．
解：△ABC中，AB＝BC，∠C＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵AD是BC上的高，
∴BD＝CD，
∵DE∥AC，
∴∠BED＝∠EDB＝60°，∠B＝60°，
∴△BED是等边三角形，
∴BD＝ED＝BE，
∵BD＝CD，ED∥AC，
∴ED是△ABC的中位线，
∴BE＝AE，
∴BD＝AE．
∴图中与BD（BD除外）相等的线段有CD、DE、BE、AE共4条．
故选：D．
10．甲、乙两人沿同一条路从A地出发，去往100千米外的B地，甲、乙两人离A地的距离（千米）与时间t（小时）之间的关系如图所示，以下说法正确的是（ ）
A．甲出发2小时后两人第一次相遇
B．乙的速度是30km/h
C．甲乙同时到达B地
D．甲的速度是60km/h
【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出各个选项中的说法是否正确，然后即可判断哪个选项中的说法是否正确．
解：由图可知，乙出发2小时后两人第一次相遇，故A不正确，不符合题意；
乙3小时走了60千米，速度是20km/h，故B不正确，不符合题意；
由图可知，甲到达B地时，乙距B地还有40千米，故C不正确，不符合题意；
甲的速度是（100﹣40）÷（3﹣2）＝60km/h，故D正确，符合题意；
故选：D．
11．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．若AB＝7，AC＝3，则BE＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】连接BD，CD，根据角平分线的性质得DE＝DF，由线段垂直平分线的性质得BD＝CD，从而证明Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），得BE＝CF，从而解决问题．
解：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF，
同理可证△ADE≌Rt△ADF，
∴AE＝AF，
∴AB﹣BE＝AC+CF，
∴BE＝（AB﹣AC）＝×（7﹣3）＝2，
故选：B．
12．记实数x1，x2，…，xn中的最小数为min{x1，x2，…，xn}，例如min{﹣1，1，2}＝﹣1，则函数y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据最小数的定义可知：函数y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}的图象是每一段图象的最低处，即可得函数图象．
解：如图，由2x﹣1＝x得：x＝1，
∴点A的横坐标为1，
由4﹣x＝x得：x＝2，
∴点C的横坐标为2，
当x≤1时，y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}＝2x﹣1，
当1＜x≤2时，y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}＝x，
当x＞2时，y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}＝4﹣x，
则函数y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}的图象大致为B．
故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分。不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位罩上）
13．化简＝ 4 ．
【分析】根据二次根式的定义直接解答即可．
解：∵﹣4＜0，
∴＝4．
14．已知点P（a，b）在第三象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距为5，到点P的坐标为 （﹣5，﹣3） ．
【分析】根据第三象限的点的横坐标和纵坐标都是负数，以及点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可．
解：∵点P（a，b）在第三象限，
∴a＜0，b＜0，
又∵点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为5，
∴点P的横坐标为﹣5，纵坐标为﹣3，
∴点P的坐标是（﹣5，﹣3）．
故答案为：（﹣5，﹣3）．
15．甲、乙、丙三名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：
甲：函数的图象经过点（0，﹣2）；
乙：y随x的增大而减小；
丙：函数的图象不经过第一象限．
根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个一次函数的表达式为 y＝﹣x﹣2 ．
【分析】设一次函数解析式为y＝kx+b，利用函数的图象经过点（0，﹣2）得到b＝﹣2，再利用一次函数的性质得到k＜0，所以当k取﹣1时，一次函数解析式为y＝﹣x﹣2．
解：设一次函数解析式为y＝kx+b，
∵函数的图象经过点（0，﹣2）；
∴b＝﹣2，
∵y随x的增大而减小，函数的图象不经过第一象限．
∴k＜0，
当k取﹣1时，一次函数解析式为y＝﹣x﹣2．
故答案为：y＝﹣x﹣2．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为 ．
【分析】设CE＝x，由矩形的性质得出AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，∠A＝∠D＝90°．由折叠的性质得出BF＝BC＝5，EF＝CE＝x，DE＝CD﹣CE＝3﹣x．在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的长度，进而求出DF的长度；然后在Rt△DEF根据勾股定理列出关于x的方程即可解决问题．
解：设CE＝x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，∠A＝∠D＝90°．
∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，
∴BF＝BC＝5，EF＝CE＝x，DE＝CD﹣CE＝3﹣x．
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
AF2＝52﹣32＝16，
∴AF＝4，DF＝5﹣4＝1．
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
EF2＝DE2+DF2，
即x2＝（3﹣x）2+12，
解得：x＝，
故答案为．
17．如图，在平面直角坐标系中有两条直线l1：y＝x+3，l2：y＝﹣3x+3，则AB与AC的数量关系为 AB＝AC ，若l2上的一点M到l1的距离是2，则点M的坐标为 （，1）或（﹣，5） ．
【分析】根据两条直线的函数关系式求出点A，B，C的坐标，然后进行计算即可求出AB和AC的值，因为若l2上的一点M到l1的距离是2，所以分两种情况，点M在BC边上，点M在CB的延长线上，最后利用面积法即可解答．
解：把x＝0代入y＝x+3中可得：
y＝0，
∴B（0，3），
把y＝0代入y＝x+3中可得：
0＝x+3，
∴x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
∴AB＝＝5，
把y＝0代入y＝﹣3x+3中可得：
0＝﹣3x+3，
∴x＝1，
∴C（1，0），
∴AC＝1﹣（﹣4）＝1+4＝5，
∴AB＝AC，
若l2上的一点M到l1的距离是2，
分两种情况：
当点M在BC边上，如图：
过点M作MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别为D，E，连接AM，
∵△ABM的面积+△ACM的面积＝△ABC的面积，
∴AB•DM+AC•ME＝AC•BO，
∴5×2+5ME＝5×3，
∴ME＝1，
把y＝1代入y＝﹣3x+3中可得：
1＝﹣3x+3，
∴x＝，
∴M（，1），
当点M在CB的延长线上，如图：
过点M作MF⊥AB，MG⊥AC，垂足分别为F，G，连接AM，
∵△ABM的面积+△ABC的面积＝△ACM的面积，
∴AB•FM+AC•BO＝AC•MG，
∴5×2+5×3＝5MG，
∴MG＝5，
把y＝5代入y＝﹣3x+3中可得：
5＝﹣3x+3，
∴x＝﹣，
∴M（﹣，1），
综上所述：点M的坐标为：（，1）或（﹣，1）．
三、解答题（本题共7小题，请把解答过程写在答题纸上）
18．（1）计算：；
（2）求满足式子的未知数x：x2＝6．
【分析】（1）首先计算乘方、开方和开立方，然后从左向右依次计算即可．
（2）根据平方根的含义和求法，求出x的值即可．
解：（1）
＝5+（﹣3）﹣
＝2﹣
＝1．
（2）∵x2＝6，
∴x＝±．
19．实数与数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴上表示出来．
（1）如图1，点A表示的数是 ；
（2）如图2，直线l垂直数轴于点B，点B对应的数是3，请在数轴上用尺规作出表示1﹣的点C（不写作法，保留作图痕迹），并说明理由．
【分析】（1）利用勾股定理求出斜边长度即可得答案；
（2）1﹣可以看作点1向左移动个单位长度，由＝可知，从点表示1的点出发，构造直角边分别为2和3的直角三角形，斜边即为．
解：（1）如图：
∵OA＝OB＝＝，
∴点A表示的数是，
故答案为：；
（2）如图所示：
1﹣可以看作点1向左移动个单位长度，由＝可知，
从点表示1的点出发，构造直角边分别为2和3的直角三角形，斜边即为．
点P即为所求．
20．在平面直角坐标系中，点A、点B、点C、点O都在由边长为1的小正方形组成网格的格点上，△ABC的位置如图所示．
（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C′；
（2）△ABC的顶点A关于y轴对称的点A'的坐标为：A′ （2，6） ；△A′B′C′的顶点B′关于x轴对称的点B″的坐标为：B″ （4，﹣3） ；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出图形；
（2）根据轴对称的性质可得答案；
（3）利用△ABC所在的矩形的面积减去周围三个三角形面积即可．
解：（1）如图，△A'B'C′即为所求；
（2）由（1）知，A'（2，6），B'（4，3）关于x轴对称点B''（4，﹣3），
故答案为：（2，6），（4，﹣3）；
（3）S△ABC＝6×6﹣×6×3﹣×2×3﹣×4×6＝36﹣9﹣3﹣12＝12．
21．某旅行社要印刷旅游宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收0.2元印刷费，另收500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收0.4元印刷费，不收制版费．
（1）分别写出两个印刷厂的收费y（元）与印刷数量x（份）之间的函数关系式；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象；
（3）如果旅行社要印制2400份宣传材料，那么选择哪家印刷厂比较合算？
（4）旅行社拟拿出2000元用于印制宣传材料，那么选择哪家印刷厂印制得多？多多少份？
【分析】（1）本题的等量关系式为：甲厂的费用＝每份的印刷费×印刷的数量+500元制版费，乙厂的费用＝每份的印刷费×印刷数量．可根据这两个等量关系求出两厂的y与x的关系式；
（2）由x＝0时，y甲＝500，y乙＝0；x＝2500时，y甲＝1000，y乙＝1000，描点画出函数图象即可
（3）先把x＝2400代入（1）中所求的代数式，分别计算出此时甲、乙两印刷厂的收费，然后比较即可；
（4）将y＝2000分别代入（1）的两个式子中，看看哪个的x的值大，然后求出它们的差即可．
解：（1）根据题意得：y甲＝0.2x+500，y乙＝0.4x；
（2）x＝0时，y甲＝500，y乙＝0；x＝2500时，y甲＝1000，y乙＝1000，描点画出函数图象如下：
（3）选择乙印刷厂比较合算，理由如下：
当x＝2400时，甲印刷费为：0.2x+500＝980（元），乙印刷费为：0.4x＝960（元）．
∵980＞960，
∴选择乙印刷厂比较合算；
（4）根据（1）中的式子可得：
由0.2x+500＝2000，解得x＝7500，
由0.4x＝2000，解得x＝5000，
∵7500﹣5000＝2500，
∴选择甲印刷厂印制得多，多2500份．
22．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图1，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．
（2）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．请判断AC与BF的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）延长AD到点E，使DE＝AD，利用SAS证明△ADC≌△EDB，得AC＝BE＝3，再利用三角形三边关系可得答案；
（2）延长AD到点G，使DG＝AD，由（1）同理得，△ACD≌△GBD（SAS），得AC＝BG，∠CAD＝∠G，再证明BF＝BG，从而证明结论．
解：（1）延长AD到点E，使DE＝AD，
∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∵∠BDE＝∠ADC，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝3，
∴AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∵AB＝5，BE＝3，
∴2＜AE＜8，
∴1＜AD＜4；
（2）AC＝BF，理由如下：
如图，延长AD到点G，使DG＝AD，
由（1）同理得，△ACD≌△GBD（SAS），
∴AC＝BG，∠CAD＝∠G，
∵AE＝FE，
∴∠EAF＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠AFG，
∴∠BFG＝∠G，
∴BF＝BG，
∴AC＝BF．
23．如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，8）的直线AB与直线OC相交于点C（2，6），与x轴交于点B，动点Q在直线AB上运动，动点P在直线OC上运动．
（1）求直线AB和直线OC的表达式；
（2）当△OBQ的面积S△OBQ＝12时，求此时点Q的坐标；
（3）是否存在点P，使△OBP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB和直线OC的解析式；
（2）设Q（n，﹣n+8），根据三角形的面积公式解方程即可得到结论；
（3）分点P在线段OC（不包括端点O）上和点P在线段BC（不包含两端点）上两种情况考虑：①当点P在线段OC（不包括端点O）上时，过点P作PM⊥x轴于点M，易证△OPM∽△PBM，利用相似三角形的性质可求出m的值，结合直线OC的解析式可得出点P的坐标；②当点P在线段BC（不包含两端点）上时，过点P作PN⊥x轴于点N，易证△OPN∽△PBN，利用相似三角形的性质可求出m的值，结合直线AB的解析式可得出点P的坐标．
解：（1）设直线AB的表达式为y＝kx+b，把A（0，8），C（2，6）代入得：，解得：，
设直线OC的解析式为y＝mx，把点C（2，6）代入得，6＝2m，
∴m＝3，
∴直线AB和直线OC的表达式分别为y＝﹣x+8和y＝3x；
（2）对于y＝﹣x+8，令y＝0时，x＝8，
∴B（8，0），
∵动点Q在直线AB上运动，
∴设Q（n，﹣n+8），
∵S△OBQ＝12，
∴×8×|﹣n+8|＝12，
∴n＝5或n＝﹣11，
∴Q（5，3）或（11，﹣3）；
（3）①当点P在线段OC（不包括端点O）上时，过点P作PM⊥x轴于点M，如图1所示．
设P（m，3m），
∵△OBP是直角三角形，
∴∠OPB＝90°，
∴∠OPM+∠BPM＝90°．
又∵∠POM+∠OPM＝90°，
∴∠POM＝∠BPM．
∵∠PMO＝∠BMP＝90°，
∴△OPM∽△PBM，
∴＝，即＝，
∴m＝，
经检验，m＝是原方程的解，且符合题意，
∴点P的坐标为（，）；
②当点P在射线OC上时，∠PBO＝90°，
∴PB⊥x轴，
∴P（8，24），
∴点P的坐标为（8，24）．
综上所述，存在点P，使△OBP是直角三角形，点P的坐标为（，）或（8，24）．
24．问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF＝BE+DF ；
探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，请说明理由；
实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心北偏东60°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向南偏东75°方向以40海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏西75°的方向以30海里/小时的速度前进，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且E处在指挥中心北偏东8°方向，F处在指挥中心北偏东53°方向，试求此时两舰艇之间的距离．
【分析】（1）根据△ABE≌△ADG可得BE＝DG，根据△AEF≌△AGF得EF＝GF，进而求得结果；
（2）延长CD至H，使DH＝BE，可证得△ADH≌△ABE，进而证得△FAH≌△FAE，进一步求得结论；
（3）作AM∥y轴∥NBP，连接EF，先计算得出点A、E、F、B共线，然后可将△BOF绕点O逆时针旋转90°至△AOG，连接EG，可证得△EOG≌△EOF，所以EG＝EF，于是BF2+AE2＝EF2，进一步求得结果．
解：（1）根据△ABE≌△ADG可得BE＝DG，
根据△AEF≌△AGF得EF＝GF，
∴EF＝DG+DF＝BE+DF，
故答案是：EF＝BE+DF；
（2）如图1，
结论仍然成立，理由如下：
延长CD至H，使DH＝BE，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADH+∠ADC＝180°，
∴∠ADH＝∠B，
在△ADH和△ABE中，
，
∴△ADH≌△ABE（SAS），
∴AH＝AE，
∴∠BAE＝∠DAH，
∵∠EAF＝60°，∠BAD＝120°，
∴∠BAE+∠DAF＝60°，
∴∠DAH+∠DAF＝60°，
即∠FAH＝60°，
∴∠FAH＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△FAH≌△FAE（SAS），
∴EF＝FH，
∵FH＝DH+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
（3）如图2，
作AM∥y轴∥BP，连接EF，
由题意得，∠MAE＝75°，∠MAO＝∠AON＝30°，∠PBO＝∠BON＝60°，∠NBF＝75°，
∴∠OAN＝∠MAN﹣∠MAO＝45°，∠OBF＝180°﹣∠NBF﹣∠OBP＝45°，
∵∠AOB＝∠AON+∠BON＝90°，OA＝AB，
∴点A、E、F、B共线，
将△BOF绕点O逆时针旋转90°至△AOG，连接EG，
∴EG＝EF，AG＝BF＝30×2＝60，∠GAO＝∠OBF＝45°，
∵∠OAB＝45°，
∴∠GAE＝∠OAB+∠GAO＝90°，
∴AG2+AE2＝EG2，
由上可得：△EOG≌△EOF，
∴EG＝EF，
∴BF2+AE2＝EF2，
∵AE＝40×2＝80，
∴602+802＝EF2，
∴EF＝100，
即：两个舰艇之间的距离是100海里．
2021-2022学年山东省淄博市张店区七年级第一学期期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上）
1．下列各数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．3.
2．下列疫情防控宣传图片中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
4．如图，用尺规作∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
5．△ABC中，∠C＝50°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，点F为AE上一点，FD⊥BC于点D，则∠EFD的度数为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．20
6．如图，是棋盘的一部分，建立适当的平面直角坐标系，已知棋子“车”的坐标为（﹣3，1），棋子“炮”的坐标为（1，1），则棋子“马”的坐标为（ ）
A．（3，﹣1） B．（2，﹣2） C．（2，﹣1） D．（2，0）
7．如图，BD是△ABC的中线，点E，F分别为BD，CE的中点，若△ABC的面积为8，则△AEF的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．介于两个连续（相邻）的整数a与b之间，则a+b＝（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
9．如图，△ABC中，AB＝BC，∠C＝60°，AD是BC上的高，DE∥AC，图中与BD（BD除外）相等的线段共有（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．甲、乙两人沿同一条路从A地出发，去往100千米外的B地，甲、乙两人离A地的距离（千米）与时间t（小时）之间的关系如图所示，以下说法正确的是（ ）
A．甲出发2小时后两人第一次相遇
B．乙的速度是30km/h
C．甲乙同时到达B地
D．甲的速度是60km/h
11．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．若AB＝7，AC＝3，则BE＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．记实数x1，x2，…，xn中的最小数为min{x1，x2，…，xn}，例如min{﹣1，1，2}＝﹣1，则函数y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分。不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位罩上）
13．化简＝ ．
14．已知点P（a，b）在第三象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距为5，到点P的坐标为 ．
15．甲、乙、丙三名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：
甲：函数的图象经过点（0，﹣2）；
乙：y随x的增大而减小；
丙：函数的图象不经过第一象限．
根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个一次函数的表达式为 ．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中有两条直线l1：y＝x+3，l2：y＝﹣3x+3，则AB与AC的数量关系为 ，若l2上的一点M到l1的距离是2，则点M的坐标为 ．
三、解答题（本题共7小题，请把解答过程写在答题纸上）
18．（1）计算：；
（2）求满足式子的未知数x：x2＝6．
19．实数与数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴上表示出来．
（1）如图1，点A表示的数是 ；
（2）如图2，直线l垂直数轴于点B，点B对应的数是3，请在数轴上用尺规作出表示1﹣的点C（不写作法，保留作图痕迹），并说明理由．
20．在平面直角坐标系中，点A、点B、点C、点O都在由边长为1的小正方形组成网格的格点上，△ABC的位置如图所示．
（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C′；
（2）△ABC的顶点A关于y轴对称的点A'的坐标为：A′ ；△A′B′C′的顶点B′关于x轴对称的点B″的坐标为：B″ ；
（3）求△ABC的面积．
21．某旅行社要印刷旅游宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收0.2元印刷费，另收500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收0.4元印刷费，不收制版费．
（1）分别写出两个印刷厂的收费y（元）与印刷数量x（份）之间的函数关系式；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象；
（3）如果旅行社要印制2400份宣传材料，那么选择哪家印刷厂比较合算？
（4）旅行社拟拿出2000元用于印制宣传材料，那么选择哪家印刷厂印制得多？多多少份？
22．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图1，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．
（2）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．请判断AC与BF的数量关系，并说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，8）的直线AB与直线OC相交于点C（2，6），与x轴交于点B，动点Q在直线AB上运动，动点P在直线OC上运动．
（1）求直线AB和直线OC的表达式；
（2）当△OBQ的面积S△OBQ＝12时，求此时点Q的坐标；
（3）是否存在点P，使△OBP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
24．问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；
探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，请说明理由；
实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心北偏东60°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向南偏东75°方向以40海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏西75°的方向以30海里/小时的速度前进，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且E处在指挥中心北偏东8°方向，F处在指挥中心北偏东53°方向，试求此时两舰艇之间的距离．
参考答案
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上）
1．下列各数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．3.
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：＝﹣2，﹣2是整数，属于有理数；
是无理数；
是分数，属于有理数；
3.是循环小数，属于有理数．
故选：B．
2．下列疫情防控宣传图片中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
3．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
4．如图，用尺规作∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】由作图可知，OD＝OC＝O′D′＝O′C′，CD＝C′D′，根据SSS证明三角形全等即可解决问题，
解：由作图可知，OD＝OC＝O′D′＝O′C′，CD＝C′D′，
在△DOC和△D′O′C′中，
，
∴△DOC≌△D′O′C′（SSS），
∴∠BOA＝∠B′O′A′．
故选：D．
5．△ABC中，∠C＝50°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，点F为AE上一点，FD⊥BC于点D，则∠EFD的度数为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．20
【分析】根据三角形的内角和为180°即可得出结论．
解：∵∠C＝50°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠A＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝50°，
∴∠FED＝50°+30°＝80°，
又∵DF⊥BC，
∴∠FED+∠EFD＝90°，
∴∠EFD＝90°﹣80°＝10°，
故选：B．
6．如图，是棋盘的一部分，建立适当的平面直角坐标系，已知棋子“车”的坐标为（﹣3，1），棋子“炮”的坐标为（1，1），则棋子“马”的坐标为（ ）
A．（3，﹣1） B．（2，﹣2） C．（2，﹣1） D．（2，0）
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置，进而建立平面直角坐标系，进而得出答案．
解：如图所示：棋子“马”的坐标为（2，﹣1）．
故选：C．
7．如图，BD是△ABC的中线，点E，F分别为BD，CE的中点，若△ABC的面积为8，则△AEF的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，利用BE＝DE得到S△ABE＝S△ADE，S△CBE＝S△CDE，所以S△ACE＝4，然后利用F点为CE的中点得到S△AEF＝S△ACE．
解：∵点E为BD的中点，
∴BE＝DE，
∴S△ABE＝S△ADE，S△CBE＝S△CDE，
∴S△ACE＝S△ABC＝×8＝4，
∵F点为CE的中点，
∴S△AEF＝S△ACE＝×4＝2．
故选：A．
8．介于两个连续（相邻）的整数a与b之间，则a+b＝（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【分析】先估算出的值，然后进行计算即可解答．
解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴1＜﹣1＜2，
∴＜＜1，
∵介于两个连续（相邻）的整数a与b之间，
∴a＝0，b＝1，
∴a+b＝1，
故选：A．
9．如图，△ABC中，AB＝BC，∠C＝60°，AD是BC上的高，DE∥AC，图中与BD（BD除外）相等的线段共有（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由已知条件可判断△ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质可得BD＝CD，再根据平行线的性质可得∠BED＝∠EDB＝60°，可得△BED是等边三角形，即可得出BD＝ED＝BE，再根据BD＝CD，ED∥AC，可得ED是△ABC的中位线，即可得出BE＝AE，即可得出答案．
解：△ABC中，AB＝BC，∠C＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵AD是BC上的高，
∴BD＝CD，
∵DE∥AC，
∴∠BED＝∠EDB＝60°，∠B＝60°，
∴△BED是等边三角形，
∴BD＝ED＝BE，
∵BD＝CD，ED∥AC，
∴ED是△ABC的中位线，
∴BE＝AE，
∴BD＝AE．
∴图中与BD（BD除外）相等的线段有CD、DE、BE、AE共4条．
故选：D．
10．甲、乙两人沿同一条路从A地出发，去往100千米外的B地，甲、乙两人离A地的距离（千米）与时间t（小时）之间的关系如图所示，以下说法正确的是（ ）
A．甲出发2小时后两人第一次相遇
B．乙的速度是30km/h
C．甲乙同时到达B地
D．甲的速度是60km/h
【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出各个选项中的说法是否正确，然后即可判断哪个选项中的说法是否正确．
解：由图可知，乙出发2小时后两人第一次相遇，故A不正确，不符合题意；
乙3小时走了60千米，速度是20km/h，故B不正确，不符合题意；
由图可知，甲到达B地时，乙距B地还有40千米，故C不正确，不符合题意；
甲的速度是（100﹣40）÷（3﹣2）＝60km/h，故D正确，符合题意；
故选：D．
11．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．若AB＝7，AC＝3，则BE＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】连接BD，CD，根据角平分线的性质得DE＝DF，由线段垂直平分线的性质得BD＝CD，从而证明Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），得BE＝CF，从而解决问题．
解：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF，
同理可证△ADE≌Rt△ADF，
∴AE＝AF，
∴AB﹣BE＝AC+CF，
∴BE＝（AB﹣AC）＝×（7﹣3）＝2，
故选：B．
12．记实数x1，x2，…，xn中的最小数为min{x1，x2，…，xn}，例如min{﹣1，1，2}＝﹣1，则函数y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据最小数的定义可知：函数y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}的图象是每一段图象的最低处，即可得函数图象．
解：如图，由2x﹣1＝x得：x＝1，
∴点A的横坐标为1，
由4﹣x＝x得：x＝2，
∴点C的横坐标为2，
当x≤1时，y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}＝2x﹣1，
当1＜x≤2时，y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}＝x，
当x＞2时，y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}＝4﹣x，
则函数y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}的图象大致为B．
故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分。不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位罩上）
13．化简＝ 4 ．
【分析】根据二次根式的定义直接解答即可．
解：∵﹣4＜0，
∴＝4．
14．已知点P（a，b）在第三象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距为5，到点P的坐标为 （﹣5，﹣3） ．
【分析】根据第三象限的点的横坐标和纵坐标都是负数，以及点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可．
解：∵点P（a，b）在第三象限，
∴a＜0，b＜0，
又∵点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为5，
∴点P的横坐标为﹣5，纵坐标为﹣3，
∴点P的坐标是（﹣5，﹣3）．
故答案为：（﹣5，﹣3）．
15．甲、乙、丙三名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：
甲：函数的图象经过点（0，﹣2）；
乙：y随x的增大而减小；
丙：函数的图象不经过第一象限．
根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个一次函数的表达式为 y＝﹣x﹣2 ．
【分析】设一次函数解析式为y＝kx+b，利用函数的图象经过点（0，﹣2）得到b＝﹣2，再利用一次函数的性质得到k＜0，所以当k取﹣1时，一次函数解析式为y＝﹣x﹣2．
解：设一次函数解析式为y＝kx+b，
∵函数的图象经过点（0，﹣2）；
∴b＝﹣2，
∵y随x的增大而减小，函数的图象不经过第一象限．
∴k＜0，
当k取﹣1时，一次函数解析式为y＝﹣x﹣2．
故答案为：y＝﹣x﹣2．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为 ．
【分析】设CE＝x，由矩形的性质得出AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，∠A＝∠D＝90°．由折叠的性质得出BF＝BC＝5，EF＝CE＝x，DE＝CD﹣CE＝3﹣x．在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的长度，进而求出DF的长度；然后在Rt△DEF根据勾股定理列出关于x的方程即可解决问题．
解：设CE＝x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，∠A＝∠D＝90°．
∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，
∴BF＝BC＝5，EF＝CE＝x，DE＝CD﹣CE＝3﹣x．
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
AF2＝52﹣32＝16，
∴AF＝4，DF＝5﹣4＝1．
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
EF2＝DE2+DF2，
即x2＝（3﹣x）2+12，
解得：x＝，
故答案为．
17．如图，在平面直角坐标系中有两条直线l1：y＝x+3，l2：y＝﹣3x+3，则AB与AC的数量关系为 AB＝AC ，若l2上的一点M到l1的距离是2，则点M的坐标为 （，1）或（﹣，5） ．
【分析】根据两条直线的函数关系式求出点A，B，C的坐标，然后进行计算即可求出AB和AC的值，因为若l2上的一点M到l1的距离是2，所以分两种情况，点M在BC边上，点M在CB的延长线上，最后利用面积法即可解答．
解：把x＝0代入y＝x+3中可得：
y＝0，
∴B（0，3），
把y＝0代入y＝x+3中可得：
0＝x+3，
∴x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
∴AB＝＝5，
把y＝0代入y＝﹣3x+3中可得：
0＝﹣3x+3，
∴x＝1，
∴C（1，0），
∴AC＝1﹣（﹣4）＝1+4＝5，
∴AB＝AC，
若l2上的一点M到l1的距离是2，
分两种情况：
当点M在BC边上，如图：
过点M作MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别为D，E，连接AM，
∵△ABM的面积+△ACM的面积＝△ABC的面积，
∴AB•DM+AC•ME＝AC•BO，
∴5×2+5ME＝5×3，
∴ME＝1，
把y＝1代入y＝﹣3x+3中可得：
1＝﹣3x+3，
∴x＝，
∴M（，1），
当点M在CB的延长线上，如图：
过点M作MF⊥AB，MG⊥AC，垂足分别为F，G，连接AM，
∵△ABM的面积+△ABC的面积＝△ACM的面积，
∴AB•FM+AC•BO＝AC•MG，
∴5×2+5×3＝5MG，
∴MG＝5，
把y＝5代入y＝﹣3x+3中可得：
5＝﹣3x+3，
∴x＝﹣，
∴M（﹣，1），
综上所述：点M的坐标为：（，1）或（﹣，1）．
三、解答题（本题共7小题，请把解答过程写在答题纸上）
18．（1）计算：；
（2）求满足式子的未知数x：x2＝6．
【分析】（1）首先计算乘方、开方和开立方，然后从左向右依次计算即可．
（2）根据平方根的含义和求法，求出x的值即可．
解：（1）
＝5+（﹣3）﹣
＝2﹣
＝1．
（2）∵x2＝6，
∴x＝±．
19．实数与数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴上表示出来．
（1）如图1，点A表示的数是 ；
（2）如图2，直线l垂直数轴于点B，点B对应的数是3，请在数轴上用尺规作出表示1﹣的点C（不写作法，保留作图痕迹），并说明理由．
【分析】（1）利用勾股定理求出斜边长度即可得答案；
（2）1﹣可以看作点1向左移动个单位长度，由＝可知，从点表示1的点出发，构造直角边分别为2和3的直角三角形，斜边即为．
解：（1）如图：
∵OA＝OB＝＝，
∴点A表示的数是，
故答案为：；
（2）如图所示：
1﹣可以看作点1向左移动个单位长度，由＝可知，
从点表示1的点出发，构造直角边分别为2和3的直角三角形，斜边即为．
点P即为所求．
20．在平面直角坐标系中，点A、点B、点C、点O都在由边长为1的小正方形组成网格的格点上，△ABC的位置如图所示．
（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C′；
（2）△ABC的顶点A关于y轴对称的点A'的坐标为：A′ （2，6） ；△A′B′C′的顶点B′关于x轴对称的点B″的坐标为：B″ （4，﹣3） ；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出图形；
（2）根据轴对称的性质可得答案；
（3）利用△ABC所在的矩形的面积减去周围三个三角形面积即可．
解：（1）如图，△A'B'C′即为所求；
（2）由（1）知，A'（2，6），B'（4，3）关于x轴对称点B''（4，﹣3），
故答案为：（2，6），（4，﹣3）；
（3）S△ABC＝6×6﹣×6×3﹣×2×3﹣×4×6＝36﹣9﹣3﹣12＝12．
21．某旅行社要印刷旅游宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收0.2元印刷费，另收500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收0.4元印刷费，不收制版费．
（1）分别写出两个印刷厂的收费y（元）与印刷数量x（份）之间的函数关系式；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象；
（3）如果旅行社要印制2400份宣传材料，那么选择哪家印刷厂比较合算？
（4）旅行社拟拿出2000元用于印制宣传材料，那么选择哪家印刷厂印制得多？多多少份？
【分析】（1）本题的等量关系式为：甲厂的费用＝每份的印刷费×印刷的数量+500元制版费，乙厂的费用＝每份的印刷费×印刷数量．可根据这两个等量关系求出两厂的y与x的关系式；
（2）由x＝0时，y甲＝500，y乙＝0；x＝2500时，y甲＝1000，y乙＝1000，描点画出函数图象即可
（3）先把x＝2400代入（1）中所求的代数式，分别计算出此时甲、乙两印刷厂的收费，然后比较即可；
（4）将y＝2000分别代入（1）的两个式子中，看看哪个的x的值大，然后求出它们的差即可．
解：（1）根据题意得：y甲＝0.2x+500，y乙＝0.4x；
（2）x＝0时，y甲＝500，y乙＝0；x＝2500时，y甲＝1000，y乙＝1000，描点画出函数图象如下：
（3）选择乙印刷厂比较合算，理由如下：
当x＝2400时，甲印刷费为：0.2x+500＝980（元），乙印刷费为：0.4x＝960（元）．
∵980＞960，
∴选择乙印刷厂比较合算；
（4）根据（1）中的式子可得：
由0.2x+500＝2000，解得x＝7500，
由0.4x＝2000，解得x＝5000，
∵7500﹣5000＝2500，
∴选择甲印刷厂印制得多，多2500份．
22．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图1，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．
（2）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．请判断AC与BF的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）延长AD到点E，使DE＝AD，利用SAS证明△ADC≌△EDB，得AC＝BE＝3，再利用三角形三边关系可得答案；
（2）延长AD到点G，使DG＝AD，由（1）同理得，△ACD≌△GBD（SAS），得AC＝BG，∠CAD＝∠G，再证明BF＝BG，从而证明结论．
解：（1）延长AD到点E，使DE＝AD，
∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∵∠BDE＝∠ADC，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝3，
∴AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∵AB＝5，BE＝3，
∴2＜AE＜8，
∴1＜AD＜4；
（2）AC＝BF，理由如下：
如图，延长AD到点G，使DG＝AD，
由（1）同理得，△ACD≌△GBD（SAS），
∴AC＝BG，∠CAD＝∠G，
∵AE＝FE，
∴∠EAF＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠AFG，
∴∠BFG＝∠G，
∴BF＝BG，
∴AC＝BF．
23．如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，8）的直线AB与直线OC相交于点C（2，6），与x轴交于点B，动点Q在直线AB上运动，动点P在直线OC上运动．
（1）求直线AB和直线OC的表达式；
（2）当△OBQ的面积S△OBQ＝12时，求此时点Q的坐标；
（3）是否存在点P，使△OBP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB和直线OC的解析式；
（2）设Q（n，﹣n+8），根据三角形的面积公式解方程即可得到结论；
（3）分点P在线段OC（不包括端点O）上和点P在线段BC（不包含两端点）上两种情况考虑：①当点P在线段OC（不包括端点O）上时，过点P作PM⊥x轴于点M，易证△OPM∽△PBM，利用相似三角形的性质可求出m的值，结合直线OC的解析式可得出点P的坐标；②当点P在线段BC（不包含两端点）上时，过点P作PN⊥x轴于点N，易证△OPN∽△PBN，利用相似三角形的性质可求出m的值，结合直线AB的解析式可得出点P的坐标．
解：（1）设直线AB的表达式为y＝kx+b，把A（0，8），C（2，6）代入得：，解得：，
设直线OC的解析式为y＝mx，把点C（2，6）代入得，6＝2m，
∴m＝3，
∴直线AB和直线OC的表达式分别为y＝﹣x+8和y＝3x；
（2）对于y＝﹣x+8，令y＝0时，x＝8，
∴B（8，0），
∵动点Q在直线AB上运动，
∴设Q（n，﹣n+8），
∵S△OBQ＝12，
∴×8×|﹣n+8|＝12，
∴n＝5或n＝﹣11，
∴Q（5，3）或（11，﹣3）；
（3）①当点P在线段OC（不包括端点O）上时，过点P作PM⊥x轴于点M，如图1所示．
设P（m，3m），
∵△OBP是直角三角形，
∴∠OPB＝90°，
∴∠OPM+∠BPM＝90°．
又∵∠POM+∠OPM＝90°，
∴∠POM＝∠BPM．
∵∠PMO＝∠BMP＝90°，
∴△OPM∽△PBM，
∴＝，即＝，
∴m＝，
经检验，m＝是原方程的解，且符合题意，
∴点P的坐标为（，）；
②当点P在射线OC上时，∠PBO＝90°，
∴PB⊥x轴，
∴P（8，24），
∴点P的坐标为（8，24）．
综上所述，存在点P，使△OBP是直角三角形，点P的坐标为（，）或（8，24）．
24．问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF＝BE+DF ；
探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，请说明理由；
实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心北偏东60°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向南偏东75°方向以40海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏西75°的方向以30海里/小时的速度前进，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且E处在指挥中心北偏东8°方向，F处在指挥中心北偏东53°方向，试求此时两舰艇之间的距离．
【分析】（1）根据△ABE≌△ADG可得BE＝DG，根据△AEF≌△AGF得EF＝GF，进而求得结果；
（2）延长CD至H，使DH＝BE，可证得△ADH≌△ABE，进而证得△FAH≌△FAE，进一步求得结论；
（3）作AM∥y轴∥NBP，连接EF，先计算得出点A、E、F、B共线，然后可将△BOF绕点O逆时针旋转90°至△AOG，连接EG，可证得△EOG≌△EOF，所以EG＝EF，于是BF2+AE2＝EF2，进一步求得结果．
解：（1）根据△ABE≌△ADG可得BE＝DG，
根据△AEF≌△AGF得EF＝GF，
∴EF＝DG+DF＝BE+DF，
故答案是：EF＝BE+DF；
（2）如图1，
结论仍然成立，理由如下：
延长CD至H，使DH＝BE，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADH+∠ADC＝180°，
∴∠ADH＝∠B，
在△ADH和△ABE中，
，
∴△ADH≌△ABE（SAS），
∴AH＝AE，
∴∠BAE＝∠DAH，
∵∠EAF＝60°，∠BAD＝120°，
∴∠BAE+∠DAF＝60°，
∴∠DAH+∠DAF＝60°，
即∠FAH＝60°，
∴∠FAH＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△FAH≌△FAE（SAS），
∴EF＝FH，
∵FH＝DH+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
（3）如图2，
作AM∥y轴∥BP，连接EF，
由题意得，∠MAE＝75°，∠MAO＝∠AON＝30°，∠PBO＝∠BON＝60°，∠NBF＝75°，
∴∠OAN＝∠MAN﹣∠MAO＝45°，∠OBF＝180°﹣∠NBF﹣∠OBP＝45°，
∵∠AOB＝∠AON+∠BON＝90°，OA＝AB，
∴点A、E、F、B共线，
将△BOF绕点O逆时针旋转90°至△AOG，连接EG，
∴EG＝EF，AG＝BF＝30×2＝60，∠GAO＝∠OBF＝45°，
∵∠OAB＝45°，
∴∠GAE＝∠OAB+∠GAO＝90°，
∴AG2+AE2＝EG2，
由上可得：△EOG≌△EOF，
∴EG＝EF，
∴BF2+AE2＝EF2，
∵AE＝40×2＝80，
∴602+802＝EF2，
∴EF＝100，
即：两个舰艇之间的距离是100海里．
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