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山东省济南市莱芜区2021-2022学年七年级上学期期末考试数学试卷（word版 含答案）
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这是一份山东省济南市莱芜区2021-2022学年七年级上学期期末考试数学试卷（word版 含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省济南市莱芜区七年级第一学期期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共48分）
1．“疫情就是命令，防控就是责任”，面对疫情，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识图片，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知三角形的三边长分别为2、x、8，则x的值可能是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．10
3．若点P（﹣2，1）关于y轴的对称点为Q（a，b），则点Q的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）
4．在平面直角坐标系中，下列各点中到x轴的距离是4，且在第四象限的是（ ）
A．（4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（﹣5，4） D．（5，﹣4）
5．一个正比例函数的图象经过点A（﹣2，3），B（a，﹣3），则a的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
6．盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其窗框不变形（如图所示），这样做的数学依据是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
7．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC，如果BC＝8cm，则△DEC的周长是（ ）
A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm
8．如图，直线l上有三个正方形A、B、C，若正方形A、C的边长分别为4和6，则正方形B的面积为（ ）
A．26 B．49 C．52 D．64
9．已知k＜0，则一次函数y＝﹣kx+k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论不正确的是（ ）
A．△ACE≌△BCD B．∠DAB＝45°
C．AD+DB＝DE D．△ABD是直角三角形
11．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行3600米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发6分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了48分钟；
③乙用12分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有1200米．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，直线y＝x+8分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD值最小时，点P的坐标为（ ）
A．（﹣4，0） B．（﹣3，0） C．（﹣2，0） D．（﹣1，0）
二、填空题（本大题共6小题，每小题填对得4分，共24分。请填在答题卡上）
13．计算：25的平方根是 ．
14．如图，将△ABC沿着DE对折，点A落到A'处，若∠BDA'+∠CEA'＝80°，则∠A＝ 度．
15．汽车开始行驶时，油箱中有油30升，如果每小时耗油4升，那么油箱中的剩余油量y（升）和工作时间x（时）之间的函数关系式是 ．
16．如图，△ABC中，直线DE是AB边的对称轴，交AC于D，交AB于E，如果BC＝5，△BCD的周长为15，那么AC边的长是 ．
17．有一个三角形的两边长是1和，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边边长的平方是 ．
18．漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当h为8cm时，对应的时间t为 min．
t（min）
…
1
2
3
5
…
h（cm）
…
2.4
2.8
3.4
4
…
三、解答题（本大题共9小题，共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．计算：|﹣2|++×．
20．已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a+2和3a﹣6．
（1）求a的值；
（2）求这个数m．
21．如图，已知点A、E、B、D在同一直线上，且AE＝DB，EF＝BC，EF∥BC，∠A与∠D相等吗？请说明理由．
22．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（3，2），C（2，3）．
（1）画出△ABC的关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）写出△A1B1C1各顶点的坐标．
（3）求△ABC的面积．
23．如图，有一个水池，水面是一个边长为16尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是多少尺？请你用所学知识解答这个问题．
24．阅读下面的材料，然后解答问题：
我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做可爱三角形．
（1）根据可爱三角形的定义，等边三角形是可爱三角形吗？请说明理由；
（2）若某三角形的三边长分别为2、、3，试判断该三角形是否为可爱三角形，请说明理由．
25．某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费y（元），用水量x（立方米）．
用水量x（立方米）
应交水费y（元）
不超过10立方米
每立方米4元
超过10立方米
超过的部分每立方米5元
（1）若某户居民某月用水8立方米，应交水费 元；若用水15立方米，应交水费 元．
（2）求每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）（x＞10）之间的函数关系式；
（3）若某户居民某月交水费80元，则该户居民用水多少立方米？
26．如图，直线AB与x轴相交于点A，与y轴相交于点B（0，4），点C（﹣2，6）在直线AB上，连结OC．
（1）求直线AB对应的函数表达式和△OBC的面积；
（2）点P为直线AB上一动点，△AOP的面积与△OBC的面积相等，求点P的坐标．
27．如图1，将两个完全相同的直角三角形纸片ACB和DEF重合放置，其中∠C＝∠E＝90°，∠B＝∠F＝30°，量得它们的斜边长为8cm．
（1）固定△ACB，将△DEF按图2放置，使点A、点E重合，点C恰好在EF边上，DF与AB交于点G，求出DG的长度；
（2）固定△ACB，将△DEF按图3放置，使点C、点E重合，点D恰好在AB边上，试说明线段DF与AC的位置关系；
（3）固定△ACB，将△DEF按图4放置，仍然使点C、点E重合，设△BDC的面积为S1，△AFC的面积为S2，猜想S1与S2的数量关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共48分）
1．“疫情就是命令，防控就是责任”，面对疫情，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识图片，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对几个常见图形进行判断．
解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：B．
2．已知三角形的三边长分别为2、x、8，则x的值可能是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．10
【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进而得出答案．
解：∵三角形三边长分别为2，8，x，
∴8﹣2＜x＜8+2，
即：6＜x＜10，
只有9符合，
故选：C．
3．若点P（﹣2，1）关于y轴的对称点为Q（a，b），则点Q的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特征进行判断即可．关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
解：由关于y轴的对称点的坐标特征可得，
点P（﹣2，1）关于y轴的对称点为Q（a，b），则点Q的坐标为（2，1），
故选：A．
4．在平面直角坐标系中，下列各点中到x轴的距离是4，且在第四象限的是（ ）
A．（4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（﹣5，4） D．（5，﹣4）
【分析】根据点的坐标特点解决此题．
解：A．根据点的坐标的特点，（4，﹣5）到x轴距离是5，且在第四象限，故A不符合题意．
B．根据点的坐标的特点，（﹣4，5）到x轴距离是5，且在第二象限，故B不符合题意．
C．根据点的坐标的特点，（﹣5，4）到x轴距离是4，且在第二象限，故C不符合题意．
D．根据点的坐标的特点，（5，﹣4）到x轴距离是4，且在第四象限，故D符合题意．
故选：D．
5．一个正比例函数的图象经过点A（﹣2，3），B（a，﹣3），则a的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【分析】由正比例函数的图象经过点A，利用待定系数法可求出正比例函数的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a的值．
解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0）．
将A（﹣2，3）代入y＝kx得：3＝﹣2k，
∴k＝﹣，
∴正比例函数的解析式为y＝﹣x．
又∵点B（a，﹣3）在正比例函数y＝﹣x的图象上，
∴﹣3＝﹣a，
∴a＝2．
故选：B．
6．盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其窗框不变形（如图所示），这样做的数学依据是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【分析】用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：A．
7．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC，如果BC＝8cm，则△DEC的周长是（ ）
A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm
【分析】根据角平分线性质求出AD＝DE，根据勾股定理求出AB＝BF＝AC，求出△DEC的周长＝BC，即可得出答案．
解：∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC，
∴AD＝DE，
由勾股定理得：AB2＝BD2﹣AD2，BE2＝BD2﹣DE2，
∴AB＝BE＝AC，
∴△DEC的周长是DE+EC+CD
＝AD+EC+CD
＝AC+EC
＝BE+EC
＝BC
＝8（cm），
故选：B．
8．如图，直线l上有三个正方形A、B、C，若正方形A、C的边长分别为4和6，则正方形B的面积为（ ）
A．26 B．49 C．52 D．64
【分析】证△EFG≌△GMH，推出FG＝MH＝6，GM＝EF＝4，则EF2＝16，HM2＝36，再证EG2＝EF2+FG2＝EF2+HM2，代入求出即可．
解：如图，
∵正方形A，C的边长分别为4和6，
∴EF＝4，MH＝6，
由正方形的性质得：∠EFG＝∠EGH＝∠GMH＝90°，EG＝GH，
∵∠FEG+∠EGF＝90°，∠EGF+∠MGH＝90°，
∴∠FEG＝∠MGH，
在△EFG和△GMH中，
，
∴△EFG≌△GMH（AAS），
∴FG＝MH＝6，GM＝EF＝4，
∴EF2＝42＝16，HM2＝62＝36，
∴正方形B的面积为EG2＝EF2+FG2＝EF2+HM2＝16+36＝52，
故选：C．
9．已知k＜0，则一次函数y＝﹣kx+k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】判断一次函数y＝﹣kx+k的图象经过象限即可．
解：∵k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝﹣kx+k的图象经过一、三、四象限；
故选：D．
10．如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论不正确的是（ ）
A．△ACE≌△BCD B．∠DAB＝45°
C．AD+DB＝DE D．△ABD是直角三角形
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，则可根据“SAS”证明△ACE≌△BCD，于是可对A进行判断；利用三角形外角性质得到∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE，加上∠CAB＝∠E＝45°，得出∠DAB＝∠ACE，而∠ACE不一定是45°，则可得对B进行判断；根据△ACE≌△BCD得出AE＝BD，进而可对C进行判断；根据△ACE≌△BCD得到∠BDC＝∠E＝45°，则可对D进行判断．
解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，
∵∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠BCD，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），所以A正确；
∵∠DAC＝∠E+∠ACE，
∴∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE，
∵∠CAB＝∠E＝45°，
∴∠DAB＝∠ACE，
而∠ACE不一定是45°，所以B错误；
∵△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，
∴AD+DB＝AD+AE＝DE，所以C正确；
∵△ACE≌△BCD，
∴∠BDC＝∠E＝45°，
∵∠CDE＝45°，
∴∠ADB＝∠ADC+∠BDC＝45°+45°＝90°，
∴△ABD为直角三角形，所以D正确．
故选：B．
11．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行3600米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发6分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了48分钟；
③乙用12分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有1200米．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
解：由题意可得：甲步行速度＝＝60（米/分）；
故①结论正确；
设乙的速度为：x米/分，
由题意可得：18×60＝（18﹣6）x，
解得x＝90，
∴乙的速度为90米/分；
∴乙走完全程的时间＝＝40（分），
故②结论错误；
由图可得，乙追上甲的时间为：18﹣6＝12（分）；
故③结论正确；
乙到达终点时，甲离终点距离是：3600﹣（6+40）×60＝840（米），
故④结论错误；
故正确的结论有①③共2个．
故选：B．
12．如图，直线y＝x+8分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD值最小时，点P的坐标为（ ）
A．（﹣4，0） B．（﹣3，0） C．（﹣2，0） D．（﹣1，0）
【分析】根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y＝0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．
解：作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，最小值为CD′，如图．
令y＝x+8中x＝0，则y＝8，
∴点B的坐标为（0，8）；
令y＝x+8中y＝0，则x+8＝0，解得：x＝﹣8，
∴点A的坐标为（﹣8，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（﹣4，4），点D（0，4）．
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，﹣4）．
设直线CD′的解析式为y＝kx+b，
∵直线CD′过点C（﹣4，4），D′（0，﹣4），
∴，解得：，
∴直线CD′的解析式为y＝﹣2x﹣4．
令y＝0，则0＝﹣2x﹣4，解得：x＝﹣2，
∴点P的坐标为（﹣2，0）．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题填对得4分，共24分。请填在答题卡上）
13．计算：25的平方根是 ±5 ．
【分析】根据平方根的定义，结合（±5）2＝25即可得出答案．
解：∵（±5）2＝25
∴25的平方根±5．
故答案为：±5．
14．如图，将△ABC沿着DE对折，点A落到A'处，若∠BDA'+∠CEA'＝80°，则∠A＝ 40 度．
【分析】根据折叠的性质得∠ADE＝∠A'DE，∠AED＝∠A'ED，再根据平角的定义得∠BDA'+∠CEA'+2∠ADE+2∠AED＝360°，从而有∠ADE+∠AED＝140°，再利用三角形内角和定理求出∠A的度数．
解：∵将△ABC沿着DE对折，点A落到A'处，
∴∠ADE＝∠A'DE，∠AED＝∠A'ED，
∵∠BDA'+∠A'DE+∠ADE＝180°，∠AED+∠A'ED+∠CEA'＝180°，
∴∠BDA'+∠CEA'+2∠ADE+2∠AED＝360°，
∵∠BDA'+∠CEA'＝80°，
∴2（∠ADE+∠AED）＝360°﹣80°＝280°，
∴∠ADE+∠AED＝140°，
∴∠A＝180°﹣（∠ADE+∠AED）＝180°﹣140°＝40°，
故答案为：40．
15．汽车开始行驶时，油箱中有油30升，如果每小时耗油4升，那么油箱中的剩余油量y（升）和工作时间x（时）之间的函数关系式是 y＝30﹣4x ．
【分析】剩油量＝原有油量﹣工作时间内耗油量，把相关数值代入即可．
解：∵每小时耗油4升，
∵工作x小时内耗油量为4x，
∵油箱中有油30升，
∴剩余油量y＝30﹣4x，
故答案为：y＝30﹣4x．
16．如图，△ABC中，直线DE是AB边的对称轴，交AC于D，交AB于E，如果BC＝5，△BCD的周长为15，那么AC边的长是 12 ．
【分析】根据轴对称的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算即可．
解：∵直线DE是AB边的对称轴，
∴DA＝DB，
∵△BCD的周长为15，
∴CD+BD+BC＝15，
∴CD+AD+BC＝15，即AC+BC＝17，
∵BC＝5，
∴AC＝12，
故答案为：12．
17．有一个三角形的两边长是1和，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边边长的平方是 1或3 ．
【分析】分第三边是直角边与斜边两种情况进行讨论，利用勾股定理即可求解．
解：当第三边是斜边时，第三边边长的平方是：12+（）2＝3；
当第三边是直角边时，第三边边长的平方是：（）2﹣12＝1；
故答案是：1或3．
18．漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当h为8cm时，对应的时间t为 15 min．
t（min）
…
1
2
3
5
…
h（cm）
…
2.4
2.8
3.4
4
…
【分析】先根据一次函数的性质判断出错误的h值，再利用待定系数法求出h与t的关系式，最后将h＝8代入即可．
解：设一次函数的表达式为h＝kt+b，t每增加一个单位h增加或减少k个单位，
∴由表可知，当t＝3时，h的值记录错误．
将（1，2.4）（2，2.8）代入得，，
解得k＝0.4，b＝2，
∴h＝0.4t+2，
将h＝8代入得，t＝15．
故答案为：15．
三、解答题（本大题共9小题，共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．计算：|﹣2|++×．
【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质、立方根的性质分别化简，进而利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
解：原式＝2+3+×（﹣2）
＝2+3﹣1
＝4．
20．已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a+2和3a﹣6．
（1）求a的值；
（2）求这个数m．
【分析】（1）根据平方根的定义列方程解出即可；
（2）将a的值代入a+2和3a﹣6中，平方后可得m的值．
解：（1）∵数m的两个不相等的平方根为a+2和3a﹣6，
∴（a+2）+（3a﹣6）＝0，
∴4a＝4，
解得a＝1；
（2）∴a+2＝1+2＝3，3a﹣6＝3﹣6＝﹣3，
∴m＝（±3）2＝9，
∴m的值是9．
21．如图，已知点A、E、B、D在同一直线上，且AE＝DB，EF＝BC，EF∥BC，∠A与∠D相等吗？请说明理由．
【分析】利用SAS证明△EFD≌△BCA，从而解决问题．
解：相等，理由如下：
∵AE＝DB，
∴AB＝DE，
∵EF∥BC，
∴∠FED＝∠CBA，
在△EFD与△BCA中，
，
∴△EFD≌△BCA（SAS），
∴∠A＝∠D．
22．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（3，2），C（2，3）．
（1）画出△ABC的关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）写出△A1B1C1各顶点的坐标．
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出图形；
（2）根据点的位置，即可得出坐标；
（3）利用△ABC所在的矩形面积减去周围三个直角三角形面积．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）由图象可知：A1（﹣1，1），B1（﹣3，2），C1（﹣2，3）；
（3）S×2×1＝．
23．如图，有一个水池，水面是一个边长为16尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是多少尺？请你用所学知识解答这个问题．
【分析】根据勾股定理列出方程，解方程即可．
解：设水池里水的深度是x尺，
由题意得，x2+62＝（x+2）2，
解得：x＝8，
答：水池里水的深度是8尺．
24．阅读下面的材料，然后解答问题：
我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做可爱三角形．
（1）根据可爱三角形的定义，等边三角形是可爱三角形吗？请说明理由；
（2）若某三角形的三边长分别为2、、3，试判断该三角形是否为可爱三角形，请说明理由．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，可爱三角形的定义判断即可；
（2）根据可爱三角形的定义判断即可．
解：（1）等边三角形是可爱三角形，
理由：设等边三角形的边长为a，
∵a2+a2＝2a2，
∴等边三角形是可爱三角形；
（2）该三角形不是可爱三角形，
理由：∵22＝4，（）2＝17，32＝9，
∴22+（）2≠2×32，
22+32≠2×（）2，
（）2+32≠2×22，
∴该三角形不是可爱三角形．
25．某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费y（元），用水量x（立方米）．
用水量x（立方米）
应交水费y（元）
不超过10立方米
每立方米4元
超过10立方米
超过的部分每立方米5元
（1）若某户居民某月用水8立方米，应交水费 32 元；若用水15立方米，应交水费 65 元．
（2）求每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）（x＞10）之间的函数关系式；
（3）若某户居民某月交水费80元，则该户居民用水多少立方米？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出相应的水费；
（2）根据题意和表格中的数据，可以每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）（x＞10）之间的函数关系式；
（3）将y＝80代入（2）中的函数解析式，求出相应的x的值即可．
解：（1）由题意可得，
某户居民某月用水8立方米，应交水费：8×4＝32（元）；用水15立方米，应交水费：10×4+（15﹣10）×5＝65（元）；
故答案为：32，65；
（2）由题意可得，
y＝10×4+（x﹣10）×5＝5x﹣10，
即每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）（x＞10）之间的函数关系式是y＝5x﹣10；
（3）当y＝80时，
80＝5x﹣10，
解得x＝18，
答：该户居民用水18立方米．
26．如图，直线AB与x轴相交于点A，与y轴相交于点B（0，4），点C（﹣2，6）在直线AB上，连结OC．
（1）求直线AB对应的函数表达式和△OBC的面积；
（2）点P为直线AB上一动点，△AOP的面积与△OBC的面积相等，求点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求直线AB的解析式；利用三角形面积公式求△OBC的面积；
（2）先确定A点坐标，设P（t，﹣t+4），利用三角形面积公式得到×|﹣t+4|×4＝4，然后解方程求出t，从而得到P点坐标．
解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把（0，4），C（﹣2，6）分别代入得，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
△OBC的面积＝×4×2＝4；
（2）设P（t，﹣t+4），
当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝4，则A（4，0），
∵△AOP的面积与△OBC的面积相等，
∴×|﹣t+4|×4＝4，
解得t＝2或t＝6，
∴P点坐标为（2，2）或（6，﹣2）．
27．如图1，将两个完全相同的直角三角形纸片ACB和DEF重合放置，其中∠C＝∠E＝90°，∠B＝∠F＝30°，量得它们的斜边长为8cm．
（1）固定△ACB，将△DEF按图2放置，使点A、点E重合，点C恰好在EF边上，DF与AB交于点G，求出DG的长度；
（2）固定△ACB，将△DEF按图3放置，使点C、点E重合，点D恰好在AB边上，试说明线段DF与AC的位置关系；
（3）固定△ACB，将△DEF按图4放置，仍然使点C、点E重合，设△BDC的面积为S1，△AFC的面积为S2，猜想S1与S2的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由∠F＝30°，∠DAF＝90°且DF＝8cm知AD＝4cm，再证∠DAG＝30°、∠DGA＝90°，从而得DG＝AD＝2cm；
（2）由∠ACB＝90°，∠B＝30°知∠BAC＝60°，由△DEC绕点C旋转，点D恰好落在AB边上知AC＝CD，从而得△ACD是等边三角形，据此知∠ACD＝∠FDC＝60°，从而得出DF∥AC；
（3）过点D作DM⊥BC于M，过点A作AN⊥CF交FC的延长线于N，由旋转的性质得出BC＝CF，AC＝CD，证明△ACN≌△DCM（AAS），则可得出答案．
解：（1）∵∠F＝30°，∠DAF＝90°且DF＝8cm，
∴AD＝4cm，
∵∠BAC＝∠D＝60°，∠DAC＝90°，
∴∠DAG＝30°，
∴∠DGA＝90°，
在Rt△ADG中，DG＝AD＝2cm；
（2）DF∥AC，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°．
∴∠BAC＝60°，
∵△DEC绕点C旋转，点D恰好落在AB边上．
∴AC＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝∠FDC＝60°，
∴DF∥AC．
（3）S1＝S2，理由如下：
如图3，过点D作DM⊥BC于M，过点A作AN⊥CF交FC的延长线于N，
∵△DCF是由△ABC绕点C旋转得到，
∴BC＝CF，AC＝CD，
∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ACN＝∠DCM，
在△ACN和△DCM中，
，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN＝DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1＝S2．
2021-2022学年山东省济南市莱芜区七年级第一学期期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共48分）
1．“疫情就是命令，防控就是责任”，面对疫情，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识图片，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知三角形的三边长分别为2、x、8，则x的值可能是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．10
3．若点P（﹣2，1）关于y轴的对称点为Q（a，b），则点Q的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）
4．在平面直角坐标系中，下列各点中到x轴的距离是4，且在第四象限的是（ ）
A．（4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（﹣5，4） D．（5，﹣4）
5．一个正比例函数的图象经过点A（﹣2，3），B（a，﹣3），则a的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
6．盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其窗框不变形（如图所示），这样做的数学依据是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
7．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC，如果BC＝8cm，则△DEC的周长是（ ）
A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm
8．如图，直线l上有三个正方形A、B、C，若正方形A、C的边长分别为4和6，则正方形B的面积为（ ）
A．26 B．49 C．52 D．64
9．已知k＜0，则一次函数y＝﹣kx+k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论不正确的是（ ）
A．△ACE≌△BCD B．∠DAB＝45°
C．AD+DB＝DE D．△ABD是直角三角形
11．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行3600米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发6分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了48分钟；
③乙用12分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有1200米．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，直线y＝x+8分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD值最小时，点P的坐标为（ ）
A．（﹣4，0） B．（﹣3，0） C．（﹣2，0） D．（﹣1，0）
二、填空题（本大题共6小题，每小题填对得4分，共24分。请填在答题卡上）
13．计算：25的平方根是 ．
14．如图，将△ABC沿着DE对折，点A落到A'处，若∠BDA'+∠CEA'＝80°，则∠A＝ 度．
15．汽车开始行驶时，油箱中有油30升，如果每小时耗油4升，那么油箱中的剩余油量y（升）和工作时间x（时）之间的函数关系式是 ．
16．如图，△ABC中，直线DE是AB边的对称轴，交AC于D，交AB于E，如果BC＝5，△BCD的周长为15，那么AC边的长是 ．
17．有一个三角形的两边长是1和，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边边长的平方是 ．
18．漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当h为8cm时，对应的时间t为 min．
t（min）
…
1
2
3
5
…
h（cm）
…
2.4
2.8
3.4
4
…
三、解答题（本大题共9小题，共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．计算：|﹣2|++×．
20．已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a+2和3a﹣6．
（1）求a的值；
（2）求这个数m．
21．如图，已知点A、E、B、D在同一直线上，且AE＝DB，EF＝BC，EF∥BC，∠A与∠D相等吗？请说明理由．
22．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（3，2），C（2，3）．
（1）画出△ABC的关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）写出△A1B1C1各顶点的坐标．
（3）求△ABC的面积．
23．如图，有一个水池，水面是一个边长为16尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是多少尺？请你用所学知识解答这个问题．
24．阅读下面的材料，然后解答问题：
我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做可爱三角形．
（1）根据可爱三角形的定义，等边三角形是可爱三角形吗？请说明理由；
（2）若某三角形的三边长分别为2、、3，试判断该三角形是否为可爱三角形，请说明理由．
25．某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费y（元），用水量x（立方米）．
用水量x（立方米）
应交水费y（元）
不超过10立方米
每立方米4元
超过10立方米
超过的部分每立方米5元
（1）若某户居民某月用水8立方米，应交水费 元；若用水15立方米，应交水费 元．
（2）求每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）（x＞10）之间的函数关系式；
（3）若某户居民某月交水费80元，则该户居民用水多少立方米？
26．如图，直线AB与x轴相交于点A，与y轴相交于点B（0，4），点C（﹣2，6）在直线AB上，连结OC．
（1）求直线AB对应的函数表达式和△OBC的面积；
（2）点P为直线AB上一动点，△AOP的面积与△OBC的面积相等，求点P的坐标．
27．如图1，将两个完全相同的直角三角形纸片ACB和DEF重合放置，其中∠C＝∠E＝90°，∠B＝∠F＝30°，量得它们的斜边长为8cm．
（1）固定△ACB，将△DEF按图2放置，使点A、点E重合，点C恰好在EF边上，DF与AB交于点G，求出DG的长度；
（2）固定△ACB，将△DEF按图3放置，使点C、点E重合，点D恰好在AB边上，试说明线段DF与AC的位置关系；
（3）固定△ACB，将△DEF按图4放置，仍然使点C、点E重合，设△BDC的面积为S1，△AFC的面积为S2，猜想S1与S2的数量关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共48分）
1．“疫情就是命令，防控就是责任”，面对疫情，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识图片，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对几个常见图形进行判断．
解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：B．
2．已知三角形的三边长分别为2、x、8，则x的值可能是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．10
【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进而得出答案．
解：∵三角形三边长分别为2，8，x，
∴8﹣2＜x＜8+2，
即：6＜x＜10，
只有9符合，
故选：C．
3．若点P（﹣2，1）关于y轴的对称点为Q（a，b），则点Q的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特征进行判断即可．关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
解：由关于y轴的对称点的坐标特征可得，
点P（﹣2，1）关于y轴的对称点为Q（a，b），则点Q的坐标为（2，1），
故选：A．
4．在平面直角坐标系中，下列各点中到x轴的距离是4，且在第四象限的是（ ）
A．（4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（﹣5，4） D．（5，﹣4）
【分析】根据点的坐标特点解决此题．
解：A．根据点的坐标的特点，（4，﹣5）到x轴距离是5，且在第四象限，故A不符合题意．
B．根据点的坐标的特点，（﹣4，5）到x轴距离是5，且在第二象限，故B不符合题意．
C．根据点的坐标的特点，（﹣5，4）到x轴距离是4，且在第二象限，故C不符合题意．
D．根据点的坐标的特点，（5，﹣4）到x轴距离是4，且在第四象限，故D符合题意．
故选：D．
5．一个正比例函数的图象经过点A（﹣2，3），B（a，﹣3），则a的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【分析】由正比例函数的图象经过点A，利用待定系数法可求出正比例函数的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a的值．
解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0）．
将A（﹣2，3）代入y＝kx得：3＝﹣2k，
∴k＝﹣，
∴正比例函数的解析式为y＝﹣x．
又∵点B（a，﹣3）在正比例函数y＝﹣x的图象上，
∴﹣3＝﹣a，
∴a＝2．
故选：B．
6．盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其窗框不变形（如图所示），这样做的数学依据是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【分析】用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：A．
7．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC，如果BC＝8cm，则△DEC的周长是（ ）
A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm
【分析】根据角平分线性质求出AD＝DE，根据勾股定理求出AB＝BF＝AC，求出△DEC的周长＝BC，即可得出答案．
解：∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC，
∴AD＝DE，
由勾股定理得：AB2＝BD2﹣AD2，BE2＝BD2﹣DE2，
∴AB＝BE＝AC，
∴△DEC的周长是DE+EC+CD
＝AD+EC+CD
＝AC+EC
＝BE+EC
＝BC
＝8（cm），
故选：B．
8．如图，直线l上有三个正方形A、B、C，若正方形A、C的边长分别为4和6，则正方形B的面积为（ ）
A．26 B．49 C．52 D．64
【分析】证△EFG≌△GMH，推出FG＝MH＝6，GM＝EF＝4，则EF2＝16，HM2＝36，再证EG2＝EF2+FG2＝EF2+HM2，代入求出即可．
解：如图，
∵正方形A，C的边长分别为4和6，
∴EF＝4，MH＝6，
由正方形的性质得：∠EFG＝∠EGH＝∠GMH＝90°，EG＝GH，
∵∠FEG+∠EGF＝90°，∠EGF+∠MGH＝90°，
∴∠FEG＝∠MGH，
在△EFG和△GMH中，
，
∴△EFG≌△GMH（AAS），
∴FG＝MH＝6，GM＝EF＝4，
∴EF2＝42＝16，HM2＝62＝36，
∴正方形B的面积为EG2＝EF2+FG2＝EF2+HM2＝16+36＝52，
故选：C．
9．已知k＜0，则一次函数y＝﹣kx+k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】判断一次函数y＝﹣kx+k的图象经过象限即可．
解：∵k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝﹣kx+k的图象经过一、三、四象限；
故选：D．
10．如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论不正确的是（ ）
A．△ACE≌△BCD B．∠DAB＝45°
C．AD+DB＝DE D．△ABD是直角三角形
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，则可根据“SAS”证明△ACE≌△BCD，于是可对A进行判断；利用三角形外角性质得到∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE，加上∠CAB＝∠E＝45°，得出∠DAB＝∠ACE，而∠ACE不一定是45°，则可得对B进行判断；根据△ACE≌△BCD得出AE＝BD，进而可对C进行判断；根据△ACE≌△BCD得到∠BDC＝∠E＝45°，则可对D进行判断．
解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，
∵∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠BCD，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），所以A正确；
∵∠DAC＝∠E+∠ACE，
∴∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE，
∵∠CAB＝∠E＝45°，
∴∠DAB＝∠ACE，
而∠ACE不一定是45°，所以B错误；
∵△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，
∴AD+DB＝AD+AE＝DE，所以C正确；
∵△ACE≌△BCD，
∴∠BDC＝∠E＝45°，
∵∠CDE＝45°，
∴∠ADB＝∠ADC+∠BDC＝45°+45°＝90°，
∴△ABD为直角三角形，所以D正确．
故选：B．
11．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行3600米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发6分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了48分钟；
③乙用12分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有1200米．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
解：由题意可得：甲步行速度＝＝60（米/分）；
故①结论正确；
设乙的速度为：x米/分，
由题意可得：18×60＝（18﹣6）x，
解得x＝90，
∴乙的速度为90米/分；
∴乙走完全程的时间＝＝40（分），
故②结论错误；
由图可得，乙追上甲的时间为：18﹣6＝12（分）；
故③结论正确；
乙到达终点时，甲离终点距离是：3600﹣（6+40）×60＝840（米），
故④结论错误；
故正确的结论有①③共2个．
故选：B．
12．如图，直线y＝x+8分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD值最小时，点P的坐标为（ ）
A．（﹣4，0） B．（﹣3，0） C．（﹣2，0） D．（﹣1，0）
【分析】根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y＝0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．
解：作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，最小值为CD′，如图．
令y＝x+8中x＝0，则y＝8，
∴点B的坐标为（0，8）；
令y＝x+8中y＝0，则x+8＝0，解得：x＝﹣8，
∴点A的坐标为（﹣8，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（﹣4，4），点D（0，4）．
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，﹣4）．
设直线CD′的解析式为y＝kx+b，
∵直线CD′过点C（﹣4，4），D′（0，﹣4），
∴，解得：，
∴直线CD′的解析式为y＝﹣2x﹣4．
令y＝0，则0＝﹣2x﹣4，解得：x＝﹣2，
∴点P的坐标为（﹣2，0）．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题填对得4分，共24分。请填在答题卡上）
13．计算：25的平方根是 ±5 ．
【分析】根据平方根的定义，结合（±5）2＝25即可得出答案．
解：∵（±5）2＝25
∴25的平方根±5．
故答案为：±5．
14．如图，将△ABC沿着DE对折，点A落到A'处，若∠BDA'+∠CEA'＝80°，则∠A＝ 40 度．
【分析】根据折叠的性质得∠ADE＝∠A'DE，∠AED＝∠A'ED，再根据平角的定义得∠BDA'+∠CEA'+2∠ADE+2∠AED＝360°，从而有∠ADE+∠AED＝140°，再利用三角形内角和定理求出∠A的度数．
解：∵将△ABC沿着DE对折，点A落到A'处，
∴∠ADE＝∠A'DE，∠AED＝∠A'ED，
∵∠BDA'+∠A'DE+∠ADE＝180°，∠AED+∠A'ED+∠CEA'＝180°，
∴∠BDA'+∠CEA'+2∠ADE+2∠AED＝360°，
∵∠BDA'+∠CEA'＝80°，
∴2（∠ADE+∠AED）＝360°﹣80°＝280°，
∴∠ADE+∠AED＝140°，
∴∠A＝180°﹣（∠ADE+∠AED）＝180°﹣140°＝40°，
故答案为：40．
15．汽车开始行驶时，油箱中有油30升，如果每小时耗油4升，那么油箱中的剩余油量y（升）和工作时间x（时）之间的函数关系式是 y＝30﹣4x ．
【分析】剩油量＝原有油量﹣工作时间内耗油量，把相关数值代入即可．
解：∵每小时耗油4升，
∵工作x小时内耗油量为4x，
∵油箱中有油30升，
∴剩余油量y＝30﹣4x，
故答案为：y＝30﹣4x．
16．如图，△ABC中，直线DE是AB边的对称轴，交AC于D，交AB于E，如果BC＝5，△BCD的周长为15，那么AC边的长是 12 ．
【分析】根据轴对称的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算即可．
解：∵直线DE是AB边的对称轴，
∴DA＝DB，
∵△BCD的周长为15，
∴CD+BD+BC＝15，
∴CD+AD+BC＝15，即AC+BC＝17，
∵BC＝5，
∴AC＝12，
故答案为：12．
17．有一个三角形的两边长是1和，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边边长的平方是 1或3 ．
【分析】分第三边是直角边与斜边两种情况进行讨论，利用勾股定理即可求解．
解：当第三边是斜边时，第三边边长的平方是：12+（）2＝3；
当第三边是直角边时，第三边边长的平方是：（）2﹣12＝1；
故答案是：1或3．
18．漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当h为8cm时，对应的时间t为 15 min．
t（min）
…
1
2
3
5
…
h（cm）
…
2.4
2.8
3.4
4
…
【分析】先根据一次函数的性质判断出错误的h值，再利用待定系数法求出h与t的关系式，最后将h＝8代入即可．
解：设一次函数的表达式为h＝kt+b，t每增加一个单位h增加或减少k个单位，
∴由表可知，当t＝3时，h的值记录错误．
将（1，2.4）（2，2.8）代入得，，
解得k＝0.4，b＝2，
∴h＝0.4t+2，
将h＝8代入得，t＝15．
故答案为：15．
三、解答题（本大题共9小题，共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．计算：|﹣2|++×．
【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质、立方根的性质分别化简，进而利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
解：原式＝2+3+×（﹣2）
＝2+3﹣1
＝4．
20．已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a+2和3a﹣6．
（1）求a的值；
（2）求这个数m．
【分析】（1）根据平方根的定义列方程解出即可；
（2）将a的值代入a+2和3a﹣6中，平方后可得m的值．
解：（1）∵数m的两个不相等的平方根为a+2和3a﹣6，
∴（a+2）+（3a﹣6）＝0，
∴4a＝4，
解得a＝1；
（2）∴a+2＝1+2＝3，3a﹣6＝3﹣6＝﹣3，
∴m＝（±3）2＝9，
∴m的值是9．
21．如图，已知点A、E、B、D在同一直线上，且AE＝DB，EF＝BC，EF∥BC，∠A与∠D相等吗？请说明理由．
【分析】利用SAS证明△EFD≌△BCA，从而解决问题．
解：相等，理由如下：
∵AE＝DB，
∴AB＝DE，
∵EF∥BC，
∴∠FED＝∠CBA，
在△EFD与△BCA中，
，
∴△EFD≌△BCA（SAS），
∴∠A＝∠D．
22．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（3，2），C（2，3）．
（1）画出△ABC的关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）写出△A1B1C1各顶点的坐标．
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出图形；
（2）根据点的位置，即可得出坐标；
（3）利用△ABC所在的矩形面积减去周围三个直角三角形面积．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）由图象可知：A1（﹣1，1），B1（﹣3，2），C1（﹣2，3）；
（3）S×2×1＝．
23．如图，有一个水池，水面是一个边长为16尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是多少尺？请你用所学知识解答这个问题．
【分析】根据勾股定理列出方程，解方程即可．
解：设水池里水的深度是x尺，
由题意得，x2+62＝（x+2）2，
解得：x＝8，
答：水池里水的深度是8尺．
24．阅读下面的材料，然后解答问题：
我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做可爱三角形．
（1）根据可爱三角形的定义，等边三角形是可爱三角形吗？请说明理由；
（2）若某三角形的三边长分别为2、、3，试判断该三角形是否为可爱三角形，请说明理由．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，可爱三角形的定义判断即可；
（2）根据可爱三角形的定义判断即可．
解：（1）等边三角形是可爱三角形，
理由：设等边三角形的边长为a，
∵a2+a2＝2a2，
∴等边三角形是可爱三角形；
（2）该三角形不是可爱三角形，
理由：∵22＝4，（）2＝17，32＝9，
∴22+（）2≠2×32，
22+32≠2×（）2，
（）2+32≠2×22，
∴该三角形不是可爱三角形．
25．某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费y（元），用水量x（立方米）．
用水量x（立方米）
应交水费y（元）
不超过10立方米
每立方米4元
超过10立方米
超过的部分每立方米5元
（1）若某户居民某月用水8立方米，应交水费 32 元；若用水15立方米，应交水费 65 元．
（2）求每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）（x＞10）之间的函数关系式；
（3）若某户居民某月交水费80元，则该户居民用水多少立方米？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出相应的水费；
（2）根据题意和表格中的数据，可以每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）（x＞10）之间的函数关系式；
（3）将y＝80代入（2）中的函数解析式，求出相应的x的值即可．
解：（1）由题意可得，
某户居民某月用水8立方米，应交水费：8×4＝32（元）；用水15立方米，应交水费：10×4+（15﹣10）×5＝65（元）；
故答案为：32，65；
（2）由题意可得，
y＝10×4+（x﹣10）×5＝5x﹣10，
即每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）（x＞10）之间的函数关系式是y＝5x﹣10；
（3）当y＝80时，
80＝5x﹣10，
解得x＝18，
答：该户居民用水18立方米．
26．如图，直线AB与x轴相交于点A，与y轴相交于点B（0，4），点C（﹣2，6）在直线AB上，连结OC．
（1）求直线AB对应的函数表达式和△OBC的面积；
（2）点P为直线AB上一动点，△AOP的面积与△OBC的面积相等，求点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求直线AB的解析式；利用三角形面积公式求△OBC的面积；
（2）先确定A点坐标，设P（t，﹣t+4），利用三角形面积公式得到×|﹣t+4|×4＝4，然后解方程求出t，从而得到P点坐标．
解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把（0，4），C（﹣2，6）分别代入得，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
△OBC的面积＝×4×2＝4；
（2）设P（t，﹣t+4），
当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝4，则A（4，0），
∵△AOP的面积与△OBC的面积相等，
∴×|﹣t+4|×4＝4，
解得t＝2或t＝6，
∴P点坐标为（2，2）或（6，﹣2）．
27．如图1，将两个完全相同的直角三角形纸片ACB和DEF重合放置，其中∠C＝∠E＝90°，∠B＝∠F＝30°，量得它们的斜边长为8cm．
（1）固定△ACB，将△DEF按图2放置，使点A、点E重合，点C恰好在EF边上，DF与AB交于点G，求出DG的长度；
（2）固定△ACB，将△DEF按图3放置，使点C、点E重合，点D恰好在AB边上，试说明线段DF与AC的位置关系；
（3）固定△ACB，将△DEF按图4放置，仍然使点C、点E重合，设△BDC的面积为S1，△AFC的面积为S2，猜想S1与S2的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由∠F＝30°，∠DAF＝90°且DF＝8cm知AD＝4cm，再证∠DAG＝30°、∠DGA＝90°，从而得DG＝AD＝2cm；
（2）由∠ACB＝90°，∠B＝30°知∠BAC＝60°，由△DEC绕点C旋转，点D恰好落在AB边上知AC＝CD，从而得△ACD是等边三角形，据此知∠ACD＝∠FDC＝60°，从而得出DF∥AC；
（3）过点D作DM⊥BC于M，过点A作AN⊥CF交FC的延长线于N，由旋转的性质得出BC＝CF，AC＝CD，证明△ACN≌△DCM（AAS），则可得出答案．
解：（1）∵∠F＝30°，∠DAF＝90°且DF＝8cm，
∴AD＝4cm，
∵∠BAC＝∠D＝60°，∠DAC＝90°，
∴∠DAG＝30°，
∴∠DGA＝90°，
在Rt△ADG中，DG＝AD＝2cm；
（2）DF∥AC，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°．
∴∠BAC＝60°，
∵△DEC绕点C旋转，点D恰好落在AB边上．
∴AC＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝∠FDC＝60°，
∴DF∥AC．
（3）S1＝S2，理由如下：
如图3，过点D作DM⊥BC于M，过点A作AN⊥CF交FC的延长线于N，
∵△DCF是由△ABC绕点C旋转得到，
∴BC＝CF，AC＝CD，
∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ACN＝∠DCM，
在△ACN和△DCM中，
，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN＝DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1＝S2．
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