高考数学(文数)二轮复习大题分层练05《解析几何函数与导数》A组（教师版）

大题分层练(五)解析几何、函数与导数(A组)

1.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点是原点,以x轴为对称轴,且经过点P(1,2).

(1)求抛物线C的方程.

(2)设点A,B在抛物线C上,直线PA,PB分别与y轴交于点M,N,|PM|=|PN|.求直线AB的斜率.

【解析】(1)依题意,设抛物线C的方程为y2=ax(a≠0).

由抛物线C经过点P(1,2),得a=4,所以抛物线C的方程为y2=4x.

(2)由题意作出图象如图所示.因为|PM|=|PN|,所以∠PMN=∠PNM,所以∠1=∠2,所以直线PA与PB的倾斜角互补,所以kPA+kPB=0.

依题意,直线AP的斜率存在且不为零,设直线AP的方程为y-2=k(x-1)(k≠0),

将其代入抛物线C的方程,整理得k2x2-2(k2-2k+2)x+k2-4k+4=0.

设A(x1,y1),则1×x1=,y1=k(x1-1)+2=-2,

所以A.

以-k替换点A坐标中的k,得B.

所以kAB==-1.即直线AB的斜率为-1.

2.已知函数f(x)=ex-2(a-1)x-b,其中e为自然对数的底数.

(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调函数,试求实数a的取值范围.

(2)已知函数g(x)=ex-(a-1)x2-bx-1,且g(1)=0,若函数g(x)在区间[0,1]上恰有3个零点,求实数a的取值范围.

【解析】(1)根据题意,函数f(x)=ex-2(a-1)x-b,其导数为f′(x)=ex-2(a-1),当函数f(x)在区间[0,1]上单调递增时,f′(x)=ex-2(a-1)≥0在区间[0,1]上恒成立,

所以2(a-1)≤(ex)min=1(其中x∈[0,1]),解得a≤;

当函数f(x)在区间[0,1]单调递减时,f′(x)=ex-2(a-1)≤0在区间[0,1]上恒成立,

所以2(a-1)≥(ex)max=e(其中x∈[0,1]),解得a≥+1.综上所述,实数a的取值范围是∪.

(2)函数g(x)=ex-(a-1)x2-bx-1,则g′(x)=ex-2(a-1)x-b,分析可得f(x)=g′(x).由g(0)=g(1)=0,知g(x)在区间(0,1)内恰有一个零点,

设该零点为x0,则g(x)在区间(0,x0)内不单调,所以f(x)在区间(0,x0)内存在零点x1,同理,f(x)在区间(x0,1)内存在零点x2,

所以f(x)在区间(0,1)内恰有两个零点.

由(1)知,当a≤时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,故f(x)在区间(0,1)内至多有一个零点,不合题意.当a≥+1时,f(x)在区间[0,1]上单调递减,故f(x)在(0,1)内至多有一个零点,不合题意;所以<a<+1.令f′(x)=0,得x=ln(2a-2)∈(0,1),所以函数f(x)在区间[0,ln(2a-2)]上单调递减,在区间(ln(2a-2),1]上单调递增.记f(x)的两个零点为x1,x2(x1<x2),因此x1∈(0,ln(2a-2)],x2∈(ln(2a-2),1),必有f(0)=1-b>0,f(1)=e-2a+2-b>0.由g(1)=0,得a+b=e,所以f= +1-(a+b)=+1-e<0,又f(0)=a-e+1>0,f(1)=2-a>0,所以e-1<a<2.

综上所述,实数a的取值范围为(e-1,2).