高考数学(文数)二轮复习大题分层练06《解析几何函数与导数》B组（教师版）

大题分层练(六)解析几何、函数与导数(B组)

1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2.

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)若直线l:y=kx+2与椭圆C相交于A,B两点,在y轴上是否存在点D,使直线AD与BD的斜率之和kAD+kBD为定值?若存在,求出点D坐标及该定值,若不存在,试说明理由.

【解析】(1)由已知可得

解得a2=2,b2=1,c2=1,所求椭圆方程为+y2=1.

(2)由得(1+2k2)x2+8kx+6=0,

则Δ=64k2-24(1+2k2)=16k2-24>0,解得k<-或k>.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=-,x1x2=,

设存在点D(0,m),则kAD=,kBD=,

所以kAD+kBD=

==.

要使kAD+kBD为定值,只需6k-4k(2-m)=6k-8k+4mk=2(2m-1),k与参数m无关,

故2m-1=0,解得m=,当m=时,kAD+kBD=0.

综上所述,存在点D,使得kAD+kBD为定值,且定值为0.

2.已知函数h(x)=(x-a)ex+a.

(1)若x∈[-1,1],求函数h(x)的最小值.

(2)当a=3时,若对∀x1∈[-1,1],∃x2∈[1,2],使得h(x1)≥-2bx2-ae+e+成立,求b的范围.

【解析】(1)h′(x)=(x-a+1)ex,令h′(x)=0得x=a-1.

当a-1≤-1即a≤0时,在[-1,1]上h′(x)≥0,h(x)递增,h(x)的最小值为h(-1)=a-.

当-1<a-1<1即0<a<2时,在x∈[-1,a-1]上h′(x)≤0,h(x)为减少的,在x∈[a-1,1]上h′(x)≥0,h(x)为增加的.所以h(x)的最小值为h(a-1)=-ea-1+a.

当a-1≥1即a≥2时,在[-1,1]上h′(x)≤0,h(x)递减,h(x)的最小值为h(1)=(1-a)e+a.

综上所述,当a≤0时h(x)的最小值为a-,当a≥2时h(x)的最小值为(1-a)e+a,当0<a<2时,h(x)最小值为-ea-1+a.

(2)令f(x)=x2-2bx-ae+e+,

由题可知“对∀x1∈[-1,1],∃x2∈[1,2],使得h(x1)≥-2bx2-ae+e+成立”等价于“f(x)在[1,2]上的最小值不大于h(x)在[-1,1]上的最小值”.

即h(x)min≥f(x)min.

由(1)可知,当a=3时,h(x)min=h(1)=(1-a)e+a=-2e+3.

当a=3时,f(x)=x2-2bx-2e+=(x-b)2-b2-2e+,x∈[1,2],

①当b≤1时,f(x)min=f(1)=-2b-2e+,

由-2e+3≥-2b-2e+得b≥,与b≤1矛盾,舍去.

②当1<b<2时,f(x)min=f(b)=-b2-2e+,

由-2e+3≥-b2-2e+得b2≥,与1<b<2矛盾,舍去.

③当b≥2时,f(x)min=f(2)=-4b-2e+,

由-2e+3≥-4b-2e+得b≥.

综上,b的取值范围是.