新教材(辅导班)高一数学寒假讲义12《6.3.5平面向量数量积的坐标表示》出门测(含解析)

这是一份新教材(辅导班)高一数学寒假讲义12《6.3.5平面向量数量积的坐标表示》出门测(含解析)，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知|a|＝1，b＝(0,2)，且a·b＝1，则向量a与b夹角的大小为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,4) C．eq \f(π,3) D．eq \f(π,2)
答案 C
解析 ∵|a|＝1，b＝(0,2)，且a·b＝1，∴cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(1,1×\r(0＋22))＝eq \f(1,2).
∴向量a与b夹角的大小为eq \f(π,3).故选C．
2．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于( )
A．4eq \r(2) B．2eq \r(5) C．8 D．8eq \r(2)
答案 D
解析 易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2,4)－6(－1，2)＝(8，－8)，
所以|c|＝eq \r(82＋－82)＝8eq \r(2).
3．已知向量a＝(eq \r(3)，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝eq \r(3)，则b＝( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(3\r(3),4))) D．(1,0)
答案 B
解析 设b＝(x，y)，其中y≠0，则a·b＝eq \r(3)x＋y＝eq \r(3).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝1，,\r(3)x＋y＝\r(3)，,y≠0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)，,y＝\f(\r(3),2)，))即b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).故选B．
4．已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
答案 A
解析 根据已知，有eq \(AB,\s\up6(→))＝(8，－4)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2,4)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－6，8)，因为eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝8×2＋(－4)×4＝0，所以eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，即∠BAC＝90°.故△ABC为直角三角形．
5．若函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋\f(π,3)))(－2A．－32 B．－16 C．16 D．32
答案 D
解析 由函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋\f(π,3)))＝0可得eq \f(πx,6)＋eq \f(π,3)＝kπ，k∈Z，即x＝6k－2，k∈Z.
因为－2由题意知B，C两点关于点A对称，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝0.
又eq \(OA,\s\up6(→))＝(4,0)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(x1，y1)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(x2，y2)，
所以(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))·eq \(OA,\s\up6(→))＝(x1＋x2，y1＋y2)·(4,0)＝4(x1＋x2)＝32.
二、填空题
6．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝eq \r(5)，若(a＋b)·c＝eq \f(5,2)，则a与c的夹角为_______．
答案 eq \f(2π,3)
解析 设c＝(x，y)，∵a＋b＝(－1，－2)，且|a|＝eq \r(5)，|c|＝eq \r(5)，(a＋b)·c＝eq \f(5,2)，
∴(－1，－2)·(x，y)＝eq \f(5,2).∴－x－2y＝eq \f(5,2)，∴x＋2y＝－eq \f(5,2).
设a与c的夹角为θ，∴csθ＝eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(x＋2y,\r(5)·\r(5))＝－eq \f(1,2).∵0≤θ≤π，∴θ＝eq \f(2π,3).
7．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a＋2b)·(2a－b)≥4，则a与b夹角θ的范围是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))
解析 ∵(a＋2b)·(2a－b)＝2a2－a·b＋4a·b－2b2＝2×9＋3|a||b|cs〈a，b〉－2×16＝－14＋3×3×4cs〈a，b〉≥4，∴cs〈a，b〉≥eq \f(1,2)，
又θ＝〈a，b〉∈[0，π]，∴θ＝〈a，b〉∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))).
8．已知a＝(1,3)，b＝(2＋λ，1)，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是______．
答案 λ>－5且λ≠－eq \f(5,3)
解析 因a与b的夹角为锐角，则cs〈a，b〉>0，且cs〈a，b〉≠1，
即a·b＝2＋λ＋3>0，且b≠ka，则λ>－5且λ≠－eq \f(5,3).
三、解答题
9．设平面向量a＝(csα，sinα)(0≤α<2π)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，且a与b不共线．
(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)若两个向量eq \r(3)a＋b与a－eq \r(3)b的模相等，求角α.
解 (1)证明：由题意，知a＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(csα－\f(1,2)，sinα＋\f(\r(3),2)))，a－b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(csα＋\f(1,2)，sinα－\f(\r(3),2)))，
∵(a＋b)·(a－b)＝cs2α－eq \f(1,4)＋sin2α－eq \f(3,4)＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．
(2)|a|＝1，|b|＝1，由题意知(eq \r(3)a＋b)2＝(a－eq \r(3)b)2，
化简得a·b＝0，∴－eq \f(1,2)csα＋eq \f(\r(3),2)sinα＝0，∴tanα＝eq \f(\r(3),3).
又0≤α<2π，∴α＝eq \f(π,6)或α＝eq \f(7π,6).
B级：“四能”提升训练
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝eq \r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \r(2)，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→))的值是________．
答案 eq \r(2)
解析 以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
设F(x,2)，则eq \(AE,\s\up6(→))＝(eq \r(2)，1)，eq \(AF,\s\up6(→))＝(x,2)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(eq \r(2)，0)．所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \r(2)x＝eq \r(2)，
所以x＝1，所以F(1,2)．所以eq \(BF,\s\up6(→))＝(1,2)－(eq \r(2)，0)＝(1－eq \r(2)，2)．所以eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \r(2).
2．已知eq \(OA,\s\up6(→))＝(4,0)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2,2eq \r(3))，eq \(OC,\s\up6(→))＝(1－λ)eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))(λ2≠λ)．
(1)求eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))及eq \(OA,\s\up6(→))在eq \(OB,\s\up6(→))上的投影；
(2)证明：A，B，C三点共线，并在eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))时，求λ的值；
(3)求|eq \(OC,\s\up6(→))|的最小值．
解 (1)eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝8，设eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为θ，
则csθ＝eq \f(\(OA,\s\up6(→))·\(OB,\s\up6(→)),|\(OA,\s\up6(→))||\(OB,\s\up6(→))|)＝eq \f(8,4×4)＝eq \f(1,2)，所以eq \(OA,\s\up6(→))在eq \(OB,\s\up6(→))上的投影为|eq \(OA,\s\up6(→))|csθ＝4×eq \f(1,2)＝2.
(2)证明：eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(－2,2eq \r(3))，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝(1－λ)eq \(OA,\s\up6(→))－(1－λ)eq \(OB,\s\up6(→))＝(λ－1)eq \(AB,\s\up6(→))，
因为eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))有公共点B，所以A，B，C三点共线．
当eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))时，λ－1＝1，所以λ＝2.
(3)|eq \(OC,\s\up6(→))|2＝(1－λ)2eq \(OA,\s\up6(→))2＋2λ(1－λ)eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＋λ2eq \(OB,\s\up6(→))2＝16λ2－16λ＋16＝16eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(1,2)))2＋12.
所以当λ＝eq \f(1,2)时，|eq \(OC,\s\up6(→))|取到最小值2eq \r(3).