新教材(辅导班)高一数学寒假讲义14《6.4.2余弦定理与正弦定理》出门测(含解析)

这是一份新教材(辅导班)高一数学寒假讲义14《6.4.2余弦定理与正弦定理》出门测(含解析)，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c＝( )
A．4∶1∶1 B．2∶1∶1
C．eq \r(2)∶1∶1 D．eq \r(3)∶1∶1
答案 D
解析 ∵A＋B＋C＝180°，A∶B∶C＝4∶1∶1，∴A＝120°，B＝30°，C＝30°.由正弦定理的变形公式，得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝sin120°∶sin30°∶sin30°＝eq \f(\r(3),2)∶eq \f(1,2)∶eq \f(1,2)＝eq \r(3)∶1∶1.故选D．
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝eq \r(15)，b＝2，A＝60°，则tanB等于( )
A．1 B．eq \f(1,2) C．eq \f(5,2) D．eq \f(\r(3),2)
答案 B
解析 由正弦定理，得sinB＝eq \f(bsinA,a)＝eq \f(2,\r(15))×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1,\r(5))，根据题意，得b因此B为锐角．于是csB＝eq \r(1－sin2B)＝eq \f(2,\r(5))，故tanB＝eq \f(sinB,csB)＝eq \f(1,2).
3．在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A．a＝7，b＝14，A＝30° B．a＝30，b＝25，A＝150°
C．a＝6，b＝9，A＝45° D．a＝30，b＝40，A＝30°
答案 D
解析 在A中，bsinA＝14sin30°＝7＝a，故△ABC只有一解；在B中，a＝30，b＝25，故a>b，又A＝150°，故△ABC只有一解；在C中，bsinA＝9sin45°＝eq \f(9\r(2),2)>6＝a，故△ABC无解；在D中，bsinA＝40sin30°＝20，因bsinA4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝eq \r(3)a，B＝30°，那么角C等于( )
A．120° B．105° C．90° D．75°
答案 A
解析 ∵c＝eq \r(3)a，∴sinC＝eq \r(3)sinA＝eq \r(3)sin(180°－30°－C)＝eq \r(3)sin(30°＋C)
＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sinC＋\f(1,2)csC))，即sinC＝－eq \r(3)csC．∴tanC＝－eq \r(3).
又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.
二、填空题
5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csA＝eq \f(3,5)，csB＝eq \f(5,13)，b＝3，则c＝________.
答案 eq \f(14,5)
解析 ∵csA＝eq \f(3,5)，csB＝eq \f(5,13)，∴sinA＝eq \f(4,5)，sinB＝eq \f(12,13).∴sin(A＋B)＝sinAcsB＋csAsinB＝eq \f(56,65).
又sin(π－C)＝sinC＝sin(A＋B)，∴sinC＝eq \f(56,65)，由正弦定理，得eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC)，∴c＝eq \f(14,5).
6．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝________.
答案 30°
解析 ∵b＝2a，∴sinB＝2sinA，又B＝A＋60°，∴sin(A＋60°)＝2sinA，即sinAcs60°＋csAsin60°＝2sinA，
化简得sinA＝eq \f(\r(3),3)csA，∴tanA＝eq \f(\r(3),3)，∴A＝30°.
7．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且eq \f(2a－c,c)＝eq \f(tanB,tanC)，则角B的大小为________．
答案 60°
解析 ∵eq \f(2a－c,c)＝eq \f(tanB,tanC)，根据正弦定理，得eq \f(2sinA－sinC,sinC)＝eq \f(tanB,tanC)＝eq \f(sinBcsC,sinCcsB).
化简为2sinAcsB－csBsinC＝sinBcsC，∴2sinAcsB＝sin(B＋C)．
在△ABC中，sin(B＋C)＝sinA，∴csB＝eq \f(1,2).∵0°三、解答题
8．(1)在△ABC中，已知a＝2eq \r(2)，A＝30°，B＝45°，解三角形；
(2)在△ABC中，已知a＝2eq \r(3)，b＝6，A＝30°，解三角形．
解 (1)∵eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC)，∴b＝eq \f(asinB,sinA)＝eq \f(2\r(2)sin45°,sin30°)＝eq \f(2\r(2)×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝4.
∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，
∴c＝eq \f(asinC,sinA)＝eq \f(2\r(2)sin105°,sin30°)＝eq \f(2\r(2)sin75°,\f(1,2))＝2＋2eq \r(3).
(2)a＝2eq \r(3)，b＝6，a又因为bsinA＝6sin30°＝3，a>bsinA，
所以本题有两解，由正弦定理，得sinB＝eq \f(bsinA,a)＝eq \f(6sin30°,2\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，故B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝90°，c＝eq \r(a2＋b2)＝4eq \r(3)；
当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2eq \r(3).
所以B＝60°，C＝90°，c＝4eq \r(3)或B＝120°，C＝30°，c＝2eq \r(3).
9．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，边长c＝2，C＝eq \f(π,3)，求△ABC的面积．
解 (1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，
由正弦定理，得a2＝b2，∴a＝b.
∴△ABC为等腰三角形．
(2)由题意知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.
∴a＋b＝ab.
由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.
∴ab＝4(舍去ab＝－1)，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)absinC＝eq \f(1,2)×4×sineq \f(π,3)＝eq \r(3).
B级：“四能”提升训练
1．在△ABC中，A＝60°，BC＝3，则△ABC的两边AC＋AB的取值范围是( )
A．[3eq \r(3)，6] B．(2,4eq \r(3)) C．(3eq \r(3)，4eq \r(3)] D．(3,6]
答案 D
解析 由正弦定理，得eq \f(AC,sinB)＝eq \f(AB,sinC)＝eq \f(BC,sinA)＝eq \f(3,\f(\r(3),2)).
∴AC＝2eq \r(3)sinB，AB＝2eq \r(3)sinC．
∴AC＋AB＝2eq \r(3)(sinB＋sinC)＝2eq \r(3)[sinB＋sin(120°－B)]
＝2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinB＋\f(\r(3),2)csB＋\f(1,2)sinB))＝2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)sinB＋\f(\r(3),2)csB))
＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sinB＋\f(1,2)csB))＝6sin(B＋30°)．
∵0°∴eq \f(1,2)∴32．在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，求eq \f(a,b)的取值范围．
解 在锐角三角形ABC中，A，B，C<90°，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(B<90°，,2B<90°，,180°－3B<90°，))∴30°由正弦定理，知eq \f(a,b)＝eq \f(sinA,sinB)＝eq \f(sin2B,sinB)＝2csB∈(eq \r(2)，eq \r(3))，
故eq \f(a,b)的取值范围是(eq \r(2)，eq \r(3))．