新教材(辅导班)高一数学寒假讲义08《6.2.3向量的数乘运算》出门测(含解析)

这是一份新教材(辅导班)高一数学寒假讲义08《6.2.3向量的数乘运算》出门测(含解析)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列各式计算正确的个数是( )
①(－7)·5a＝－35a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数．
2．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量eq \(CD,\s\up16(→))＝( )
A.eq \(BC,\s\up16(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→)) B．－eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→)) C．－eq \(BC,\s\up16(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→)) D.eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→))
答案 B
解析 解法一：∵D是AB的中点，∴eq \(BD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→))，∴eq \(CD,\s\up16(→))＝eq \(CB,\s\up16(→))＋eq \(BD,\s\up16(→))＝－eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→)).
解法二：由eq \(CD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \(CB,\s\up16(→))＋eq \(CA,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2)[eq \(CB,\s\up16(→))＋(eq \(CB,\s\up16(→))＋eq \(BA,\s\up16(→)))]＝eq \(CB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→))＝－eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→)).
3．设Aeq \(B,\s\up16(→))＝eq \f(\r(2),2)(a＋5b)，Beq \(C,\s\up16(→))＝－2a＋8b，Ceq \(D,\s\up16(→))＝3(a－b)，则共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
答案 A
解析 ∵Beq \(D,\s\up16(→))＝Beq \(C,\s\up16(→))＋Ceq \(D,\s\up16(→))＝a＋5b，Aeq \(B,\s\up16(→))＝eq \f(\r(2),2)Beq \(D,\s\up16(→))，∴A，B，D三点共线．故选A.
4．若eq \(AB,\s\up16(→))＝3e1，eq \(CD,\s\up16(→))＝－5e1，且|eq \(AD,\s\up16(→))|＝|eq \(BC,\s\up16(→))|，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．不等腰的梯形
答案 C
解析 因为eq \(AB,\s\up16(→))＝－eq \f(3,5)eq \(CD,\s\up16(→))，所以AB∥CD，且|eq \(AB,\s\up16(→))|≠|eq \(CD,\s\up16(→))|.而|eq \(AD,\s\up16(→))|＝|eq \(BC,\s\up16(→))|，
所以四边形ABCD为等腰梯形．
5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若eq \(AC,\s\up16(→))＝a，eq \(BD,\s\up16(→))＝b，则eq \(AF,\s\up16(→))等于( )
A.eq \f(1,4)a＋eq \f(1,2)b B.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b C.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b D.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b
答案 B
解析 如图所示，∵E是OD的中点，∴eq \(OE,\s\up16(→))＝eq \f(1,4)eq \(BD,\s\up16(→))＝eq \f(1,4)b.又△ABE∽△FDE，∴eq \f(AE,FE)＝eq \f(BE,DE)＝eq \f(3,1).
∴eq \(AE,\s\up16(→))＝3eq \(EF,\s\up16(→))，∴eq \(AE,\s\up16(→))＝eq \f(3,4)eq \(AF,\s\up16(→))，在△AOE中，eq \(AE,\s\up16(→))＝eq \(AO,\s\up16(→))＋eq \(OE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b，∴eq \(AF,\s\up16(→))＝eq \f(4,3)eq \(AE,\s\up16(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b.故选B.
二、填空题
6．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则k＝______.
答案 －4
解析 ∵ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，∴ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝8λ，,2＝λk，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(1,2)，,k＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－\f(1,2)，,k＝－4.))
∵ke1＋2e2与8e1＋ke2反向，∴λ＝－eq \f(1,2)，k＝－4.
7．若a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，则向量a写为λ1b＋λ2c的形式是________．
答案 －eq \f(1,18)b＋eq \f(7,27)c
解析 若a＝λ1b＋λ2c，则－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，∴－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4λ1－3λ2＝－1，,2λ1＋12λ2＝3.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ1＝－\f(1,18)，,λ2＝\f(7,27).))
8．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若eq \(AB,\s\up16(→))＝meq \(AM,\s\up16(→))，eq \(AC,\s\up16(→))＝neq \(AN,\s\up16(→))，则m＋n的值为________．
答案 2
解析 解法一：因为eq \(AB,\s\up16(→))＝meq \(AM,\s\up16(→))，eq \(AC,\s\up16(→))＝neq \(AN,\s\up16(→))，所以eq \(AM,\s\up16(→))＝eq \f(1,m)eq \(AB,\s\up16(→))，eq \(AN,\s\up16(→))＝eq \f(1,n)eq \(AC,\s\up16(→))，则eq \(MN,\s\up16(→))＝eq \(AN,\s\up16(→))－eq \(AM,\s\up16(→))＝eq \f(1,n)eq \(AC,\s\up16(→))－eq \f(1,m)eq \(AB,\s\up16(→)).
因为点O为BC的中点，连接AO，所以eq \(AO,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up16(→))，则eq \(MO,\s\up16(→))＝eq \(AO,\s\up16(→))－eq \(AM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up16(→))－eq \f(1,m)eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,m)))eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up16(→))，因为M，O，N三点共线，所以可设eq \(MO,\s\up16(→))＝λeq \(MN,\s\up16(→))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,m)))eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \f(λ,n)eq \(AC,\s\up16(→))－eq \f(λ,m)eq \(AB,\s\up16(→))，
则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,m)＋\f(λ,m)))eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(λ,n)))eq \(AC,\s\up16(→))＝0，由于eq \(AB,\s\up16(→))，eq \(AC,\s\up16(→))不共线，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,m)＋\f(λ,m)＝0，,\f(1,2)－\f(λ,n)＝0，))
消去λ得eq \f(1,2)－eq \f(1,m)＋eq \f(n,2m)＝0，变形整理可得m＋n＝2.
解法二：在△ABC中，连接AO.由于O是BC的中点，因此eq \(AO,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(AC,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up16(→)).
由于eq \(AB,\s\up16(→))＝meq \(AM,\s\up16(→))，eq \(AC,\s\up16(→))＝neq \(AN,\s\up16(→))，则eq \(AO,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)meq \(AM,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)neq \(AN,\s\up16(→)).由于M，O，N三点共线，则eq \f(1,2)m＋eq \f(1,2)n＝1，
从而m＋n＝2.
三、解答题
9．设e1，e2是两个不共线的向量，如果eq \(AB,\s\up16(→))＝2e1－e2，eq \(BC,\s\up16(→))＝3e1＋e2，eq \(CD,\s\up16(→))＝7e1－6e2.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定λ的值，使2λe1＋e2和e1＋λe2共线；
(3)若e1＋λe2与λe1＋e2不共线，试求λ的取值范围．
解 (1)证明：因为eq \(BD,\s\up16(→))＝eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(CD,\s\up16(→))＝3e1＋e2＋7e1－6e2＝10e1－5e2＝5(2e1－e2)＝5eq \(AB,\s\up16(→))，
所以eq \(AB,\s\up16(→))与eq \(BD,\s\up16(→))共线．
因为eq \(AB,\s\up16(→))与eq \(BD,\s\up16(→))有公共点B，所以A，B，D三点共线．
(2)因为2λe1＋e2与e1＋λe2共线，
所以存在实数μ，使2λe1＋e2＝μ(e1＋λe2)．
因为e1，e2不共线，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2λ＝μ，,1＝λμ.))所以λ＝±eq \f(\r(2),2).
(3)假设e1＋λe2与λe1＋e2共线，
则存在实数μ，使e1＋λe2＝μ(λe1＋e2)．
因为e1，e2不共线，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝λμ，,λ＝μ，))所以λ＝±1.
所以当λ≠±1时，e1＋λe2与λe1＋e2不共线．
B级：“四能”提升训练
1．如图所示，向量eq \(OA,\s\up16(→))，eq \(OB,\s\up16(→))，eq \(OC,\s\up16(→))的终点A，B，C在一条直线上，且eq \(AC,\s\up16(→))＝－3eq \(CB,\s\up16(→)).设eq \(OA,\s\up16(→))＝p，eq \(OB,\s\up16(→))＝q，eq \(OC,\s\up16(→))＝r，则以下等式中成立的是( )
A．r＝－eq \f(1,2)p＋eq \f(3,2)q B．r＝－p＋2q
C．r＝eq \f(3,2)p－eq \f(1,2)q D．r＝－q＋2p
答案 A
解析 ∵eq \(OC,\s\up16(→))＝eq \(OB,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→))，eq \(AC,\s\up16(→))＝－3eq \(CB,\s\up16(→))＝3eq \(BC,\s\up16(→))，∴eq \(BC,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up16(→)).∴eq \(OC,\s\up16(→))＝eq \(OB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up16(→))＝eq \(OB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3)(eq \(OC,\s\up16(→))－eq \(OA,\s\up16(→)))．
∴r＝q＋eq \f(1,3)(r－p)．∴r＝－eq \f(1,2)p＋eq \f(3,2)q.
2．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq \f(1,2)AB，BE＝eq \f(2,3)BC.若eq \(DE,\s\up16(→))＝λ1eq \(AB,\s\up16(→))＋λ2eq \(AC,\s\up16(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
答案 eq \f(1,2)
解析 由已知eq \(DE,\s\up16(→))＝eq \(BE,\s\up16(→))－eq \(BD,\s\up16(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up16(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→))＝eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up16(→))－eq \(AB,\s\up16(→)))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up16(→))＝－eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up16(→))，
∴λ1＝－eq \f(1,6)，λ2＝eq \f(2,3)，从而λ1＋λ2＝eq \f(1,2).