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    新教材(辅导班)高一数学寒假讲义08《6.2.3向量的数乘运算》出门测(含解析)
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    新教材(辅导班)高一数学寒假讲义08《6.2.3向量的数乘运算》出门测(含解析)

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    这是一份新教材(辅导班)高一数学寒假讲义08《6.2.3向量的数乘运算》出门测(含解析),共5页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题
    1.下列各式计算正确的个数是( )
    ①(-7)·5a=-35a;②a-2b+2(a+b)=3a;③a+b-(a+b)=0.
    A.0 B.1 C.2 D.3
    答案 C
    解析 根据向量数乘的运算律可验证①②正确;③错误,因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量,而不是实数.
    2.如图所示,D是△ABC的边AB上的中点,则向量eq \(CD,\s\up16(→))=( )
    A.eq \(BC,\s\up16(→))-eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→)) B.-eq \(BC,\s\up16(→))+eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→)) C.-eq \(BC,\s\up16(→))-eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→)) D.eq \(BC,\s\up16(→))+eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→))
    答案 B
    解析 解法一:∵D是AB的中点,∴eq \(BD,\s\up16(→))=eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→)),∴eq \(CD,\s\up16(→))=eq \(CB,\s\up16(→))+eq \(BD,\s\up16(→))=-eq \(BC,\s\up16(→))+eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→)).
    解法二:由eq \(CD,\s\up16(→))=eq \f(1,2)(eq \(CB,\s\up16(→))+eq \(CA,\s\up16(→)))=eq \f(1,2)[eq \(CB,\s\up16(→))+(eq \(CB,\s\up16(→))+eq \(BA,\s\up16(→)))]=eq \(CB,\s\up16(→))+eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→))=-eq \(BC,\s\up16(→))+eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→)).
    3.设Aeq \(B,\s\up16(→))=eq \f(\r(2),2)(a+5b),Beq \(C,\s\up16(→))=-2a+8b,Ceq \(D,\s\up16(→))=3(a-b),则共线的三点是( )
    A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D
    答案 A
    解析 ∵Beq \(D,\s\up16(→))=Beq \(C,\s\up16(→))+Ceq \(D,\s\up16(→))=a+5b,Aeq \(B,\s\up16(→))=eq \f(\r(2),2)Beq \(D,\s\up16(→)),∴A,B,D三点共线.故选A.
    4.若eq \(AB,\s\up16(→))=3e1,eq \(CD,\s\up16(→))=-5e1,且|eq \(AD,\s\up16(→))|=|eq \(BC,\s\up16(→))|,则四边形ABCD是( )
    A.平行四边形 B.菱形
    C.等腰梯形 D.不等腰的梯形
    答案 C
    解析 因为eq \(AB,\s\up16(→))=-eq \f(3,5)eq \(CD,\s\up16(→)),所以AB∥CD,且|eq \(AB,\s\up16(→))|≠|eq \(CD,\s\up16(→))|.而|eq \(AD,\s\up16(→))|=|eq \(BC,\s\up16(→))|,
    所以四边形ABCD为等腰梯形.
    5.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若eq \(AC,\s\up16(→))=a,eq \(BD,\s\up16(→))=b,则eq \(AF,\s\up16(→))等于( )
    A.eq \f(1,4)a+eq \f(1,2)b B.eq \f(2,3)a+eq \f(1,3)b C.eq \f(1,2)a+eq \f(1,4)b D.eq \f(1,3)a+eq \f(2,3)b
    答案 B
    解析 如图所示,∵E是OD的中点,∴eq \(OE,\s\up16(→))=eq \f(1,4)eq \(BD,\s\up16(→))=eq \f(1,4)b.又△ABE∽△FDE,∴eq \f(AE,FE)=eq \f(BE,DE)=eq \f(3,1).
    ∴eq \(AE,\s\up16(→))=3eq \(EF,\s\up16(→)),∴eq \(AE,\s\up16(→))=eq \f(3,4)eq \(AF,\s\up16(→)),在△AOE中,eq \(AE,\s\up16(→))=eq \(AO,\s\up16(→))+eq \(OE,\s\up16(→))=eq \f(1,2)a+eq \f(1,4)b,∴eq \(AF,\s\up16(→))=eq \f(4,3)eq \(AE,\s\up16(→))=eq \f(2,3)a+eq \f(1,3)b.故选B.
    二、填空题
    6.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量ke1+2e2与8e1+ke2方向相反,则k=______.
    答案 -4
    解析 ∵ke1+2e2与8e1+ke2共线,∴ke1+2e2=λ(8e1+ke2)=8λe1+λke2.
    ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k=8λ,,2=λk,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ=\f(1,2),,k=4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ=-\f(1,2),,k=-4.))
    ∵ke1+2e2与8e1+ke2反向,∴λ=-eq \f(1,2),k=-4.
    7.若a=-e1+3e2,b=4e1+2e2,c=-3e1+12e2,则向量a写为λ1b+λ2c的形式是________.
    答案 -eq \f(1,18)b+eq \f(7,27)c
    解析 若a=λ1b+λ2c,则-e1+3e2=λ1(4e1+2e2)+λ2(-3e1+12e2),∴-e1+3e2=(4λ1-3λ2)e1+(2λ1+12λ2)e2.
    ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4λ1-3λ2=-1,,2λ1+12λ2=3.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ1=-\f(1,18),,λ2=\f(7,27).))
    8.如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若eq \(AB,\s\up16(→))=meq \(AM,\s\up16(→)),eq \(AC,\s\up16(→))=neq \(AN,\s\up16(→)),则m+n的值为________.
    答案 2
    解析 解法一:因为eq \(AB,\s\up16(→))=meq \(AM,\s\up16(→)),eq \(AC,\s\up16(→))=neq \(AN,\s\up16(→)),所以eq \(AM,\s\up16(→))=eq \f(1,m)eq \(AB,\s\up16(→)),eq \(AN,\s\up16(→))=eq \f(1,n)eq \(AC,\s\up16(→)),则eq \(MN,\s\up16(→))=eq \(AN,\s\up16(→))-eq \(AM,\s\up16(→))=eq \f(1,n)eq \(AC,\s\up16(→))-eq \f(1,m)eq \(AB,\s\up16(→)).
    因为点O为BC的中点,连接AO,所以eq \(AO,\s\up16(→))=eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up16(→))+eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up16(→)),则eq \(MO,\s\up16(→))=eq \(AO,\s\up16(→))-eq \(AM,\s\up16(→))=eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up16(→))+eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up16(→))-eq \f(1,m)eq \(AB,\s\up16(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)-\f(1,m)))eq \(AB,\s\up16(→))+eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up16(→)),因为M,O,N三点共线,所以可设eq \(MO,\s\up16(→))=λeq \(MN,\s\up16(→)),即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)-\f(1,m)))eq \(AB,\s\up16(→))+eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up16(→))=eq \f(λ,n)eq \(AC,\s\up16(→))-eq \f(λ,m)eq \(AB,\s\up16(→)),
    则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)-\f(1,m)+\f(λ,m)))eq \(AB,\s\up16(→))+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)-\f(λ,n)))eq \(AC,\s\up16(→))=0,由于eq \(AB,\s\up16(→)),eq \(AC,\s\up16(→))不共线,所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)-\f(1,m)+\f(λ,m)=0,,\f(1,2)-\f(λ,n)=0,))
    消去λ得eq \f(1,2)-eq \f(1,m)+eq \f(n,2m)=0,变形整理可得m+n=2.
    解法二:在△ABC中,连接AO.由于O是BC的中点,因此eq \(AO,\s\up16(→))=eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up16(→))+eq \(AC,\s\up16(→)))=eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up16(→))+eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up16(→)).
    由于eq \(AB,\s\up16(→))=meq \(AM,\s\up16(→)),eq \(AC,\s\up16(→))=neq \(AN,\s\up16(→)),则eq \(AO,\s\up16(→))=eq \f(1,2)meq \(AM,\s\up16(→))+eq \f(1,2)neq \(AN,\s\up16(→)).由于M,O,N三点共线,则eq \f(1,2)m+eq \f(1,2)n=1,
    从而m+n=2.
    三、解答题
    9.设e1,e2是两个不共线的向量,如果eq \(AB,\s\up16(→))=2e1-e2,eq \(BC,\s\up16(→))=3e1+e2,eq \(CD,\s\up16(→))=7e1-6e2.
    (1)求证:A,B,D三点共线;
    (2)试确定λ的值,使2λe1+e2和e1+λe2共线;
    (3)若e1+λe2与λe1+e2不共线,试求λ的取值范围.
    解 (1)证明:因为eq \(BD,\s\up16(→))=eq \(BC,\s\up16(→))+eq \(CD,\s\up16(→))=3e1+e2+7e1-6e2=10e1-5e2=5(2e1-e2)=5eq \(AB,\s\up16(→)),
    所以eq \(AB,\s\up16(→))与eq \(BD,\s\up16(→))共线.
    因为eq \(AB,\s\up16(→))与eq \(BD,\s\up16(→))有公共点B,所以A,B,D三点共线.
    (2)因为2λe1+e2与e1+λe2共线,
    所以存在实数μ,使2λe1+e2=μ(e1+λe2).
    因为e1,e2不共线,所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2λ=μ,,1=λμ.))所以λ=±eq \f(\r(2),2).
    (3)假设e1+λe2与λe1+e2共线,
    则存在实数μ,使e1+λe2=μ(λe1+e2).
    因为e1,e2不共线,所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1=λμ,,λ=μ,))所以λ=±1.
    所以当λ≠±1时,e1+λe2与λe1+e2不共线.
    B级:“四能”提升训练
    1.如图所示,向量eq \(OA,\s\up16(→)),eq \(OB,\s\up16(→)),eq \(OC,\s\up16(→))的终点A,B,C在一条直线上,且eq \(AC,\s\up16(→))=-3eq \(CB,\s\up16(→)).设eq \(OA,\s\up16(→))=p,eq \(OB,\s\up16(→))=q,eq \(OC,\s\up16(→))=r,则以下等式中成立的是( )
    A.r=-eq \f(1,2)p+eq \f(3,2)q B.r=-p+2q
    C.r=eq \f(3,2)p-eq \f(1,2)q D.r=-q+2p
    答案 A
    解析 ∵eq \(OC,\s\up16(→))=eq \(OB,\s\up16(→))+eq \(BC,\s\up16(→)),eq \(AC,\s\up16(→))=-3eq \(CB,\s\up16(→))=3eq \(BC,\s\up16(→)),∴eq \(BC,\s\up16(→))=eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up16(→)).∴eq \(OC,\s\up16(→))=eq \(OB,\s\up16(→))+eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up16(→))=eq \(OB,\s\up16(→))+eq \f(1,3)(eq \(OC,\s\up16(→))-eq \(OA,\s\up16(→))).
    ∴r=q+eq \f(1,3)(r-p).∴r=-eq \f(1,2)p+eq \f(3,2)q.
    2.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=eq \f(1,2)AB,BE=eq \f(2,3)BC.若eq \(DE,\s\up16(→))=λ1eq \(AB,\s\up16(→))+λ2eq \(AC,\s\up16(→))(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.
    答案 eq \f(1,2)
    解析 由已知eq \(DE,\s\up16(→))=eq \(BE,\s\up16(→))-eq \(BD,\s\up16(→))=eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up16(→))-eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up16(→))=eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up16(→))-eq \(AB,\s\up16(→)))+eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up16(→))=-eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up16(→))+eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up16(→)),
    ∴λ1=-eq \f(1,6),λ2=eq \f(2,3),从而λ1+λ2=eq \f(1,2).
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