高中数学人教版新课标A必修43.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式综合训练题

这是一份高中数学人教版新课标A必修43.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式综合训练题，共10页。试卷主要包含了若0<α<π4,等内容，欢迎下载使用。

3.1.1 两角差的余弦公式
基础过关练
题组一 给角求值
1.cs 80°cs 20°-sin(-80°)sin 160°的值是( )
A.12 B.32
C.-12 D.-32
2.(2021四川攀枝花高一期中)下列四个选项中,计算结果错误的是( )
A.cs(-15°)=6-24
B.cs 15°cs 105°+sin 15°sin 105°=0
C.cs(α-35°)cs(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=12
D.sin 14°cs 16°+sin 76°cs 74°=12
3.sin 11°cs 19°+cs 11°cs 71°的值为( )
A.32 B.12 C.1+32 D.3-12
4.(2021吉林长春东北师大附中高一期末)
2cs10°−sin20°sin70°=( )
A.12 B.32 C.3 D.2
5.sin 460°sin(-160°)+cs 560°cs(-280°)= .
6.12cs 15°+32sin 15°= .
题组二 给值求值
7.已知α为锐角,β为第三象限角,且cs α=1213,sin β=-35,则cs(α-β)的值为( )
A.-6365 B.-3365 C.6365 D.3365
8.设角θ的终边经过点(-3,4),则csθ-π4的值为( )
A.-210 B.210 C.7210 D.-7210
9.已知csx-π6=33,则cs x+csx-π3=( )
A.-1 B.1 C.233 D.3
10.(2020安徽合肥一中、六中、八中高一上期中联考)若0<α<π4,
-π4<β<0,csπ4+α=13,csπ4-β3=33,则csα+β3= .
题组三 给值求角
11.若α∈[0,π],cs α3cs 4α3+sin α3sin 4α3=0,则α的值是 ( )
A.π6 B.π4 C.π3 D.π2
12.(2021陕西西安工大附中高一期末)若cs(α-β)=55,cs 2α=1010,α,β均为锐角且α<β,则α+β的值为 .
13.已知cs α=17,cs(α+β)=-1114,且α,β∈0,π2,求β的值.
能力提升练
一、选择题
1.(2019湖南衡阳八中高二期末,)已知sinθ-π6=12,且θ∈0,π2,则csθ-π3=( )
A.0 B.12 C.1 D.32
2.(2021陕西西安中学高一期末,)若α,β均为锐角,sin α=255,sin(α+β)=35,则cs β=( )
A.255 B.2525
C.255或2525 D.-2525
3.()如图,在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,终边分别是射线OA和射线OB.射线OA,OC与单位圆的交点分别为A35,45,C(-1,0).若∠BOC=π6,则cs(β-α)的值是 ( )
A.3−4310 B.3+4310 C.4−3310 D.4+3310
二、解答题
4.(2019山东栖霞第二中学高一下期末,)设射线y=512x(x≥0)按逆时针方向旋转到射线y=-43x(x≤0)的位置所形成的角为θ,求cs θ的值.
5.()已知cs(α-β)=-35,cs(α+β)=35,且α-β∈π2,π,α+β∈3π2,2π,求角β的值.
6.(2020上海嘉定高一期末,)已知α,β,γ∈0,π2,sin α+sin γ=sin β,cs β+cs γ=cs α,求β-α的值.
答案全解全析
基础过关练
1.A cs 80°cs 20°-sin(-80°)sin 160°
=cs 80°cs 20°+sin 80°sin 20°
=cs(80°-20°)=cs 60°=12.故选A.
2.A 对于A,cs(-15°)=cs(30°-45°)=cs 30°cs 45°+sin 30°sin 45°=32×22+12×22=6+24,A中计算结果错误.
对于B,cs 15°cs 105°+sin 15°sin 105°=cs(15°-105°)=
cs(-90°)=cs 90°=0,B中计算结果正确.
对于C,cs(α-35°)cs(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=cs[(α-35°)-(25°+α)]=cs(-60°)=cs 60°=12,C中计算结果正确.
对于D,sin 14°cs 16°+sin 76°cs 74°=cs 76°cs 16°+sin 76°·
sin 16°=cs(76°-16°)=cs 60°=12,D中计算结果正确.故选A.
B sin 11°cs 19°+cs 11°cs 71°=cs 11°·cs 71°+sin 11°·
sin 71°=cs(11°-71°)=cs(-60°)=12.故选B.
4.C 原式=2cs(30°−20°)−sin20°sin70°
=2cs30°·cs20°+2sin30°·sin20°−sin20°sin70°=3cs20°sin70°=3sin70°sin70°=3.
5.答案 -12
解析 sin 460°sin(-160°)+cs 560°·cs(-280°)
=-sin 100°sin 160°+cs 200°cs 280°
=-sin 80°sin 20°-cs 20°cs 80°
=-(cs 80°cs 20°+sin 80°sin 20°)
=-cs(80°-20°)
=-cs 60°=-12.
6.答案 22
解析 ∵12=cs 60°,32=sin 60°,
∴12cs 15°+32sin 15°=cs 60°cs 15°+sin 60°sin 15°=cs(60°-15°)=cs 45°=22.
7.A ∵α为锐角,且cs α=1213,
∴sin α=1−cs2α=513.
∵β为第三象限角,且sin β=-35,
∴cs β=-1−sin2β=-45,
∴cs(α-β)=cs αcs β+sin αsin β=1213×-45+513×-35=-6365.故选A.
8.B 因为角θ的终边经过点(-3,4),
所以sin θ=45,cs θ=-35,
所以csθ-π4=cs θcsπ4+sin θsinπ4=-35×22+45×22=210.
9.B ∵csx-π6=33,
∴cs x+csx-π3
=cs x+12cs x+32sin x
=332csx+12sinx
=3csxcsπ6+sinxsinπ6
=3csx-π6=3×33=1.故选B.
10.答案 539
解析 因为0<α<π4,-π4<β<0,所以π4+α∈π4,π2,π4-β3∈π4,π3,
因此sinπ4+α=223,sinπ4-β3=63,所以csα+β3=csπ4+α-π4-β3=csπ4+αcsπ4-β3+sinπ4+αsinπ4-β3=13×33+223×63=539.
11.D ∵cs α3cs 4α3+sin α3sin 4α3=0,
∴csα3-4α3=0,即cs α=0,
又α∈[0,π],∴α=π2.故选D.
12.答案 3π4
解析 ∵α,β均为锐角且α<β,∴0<2α<π,-π2<α-β<0,0<α+β<π,∵cs(α-β)=55,cs 2α=1010,∴sin(α-β)=-255,
sin 2α=31010,
∴cs(α+β)=cs[2α-(α-β)]
=cs 2αcs(α-β)+sin 2αsin(α-β)
=1010×55+31010×-255=-22,
∵0<α+β<π,∴α+β=3π4.
13.解析 ∵α,β∈0,π2,∴α+β∈(0,π),
∵cs α=17,cs(α+β)=-1114,
∴sin α=1−149=437,
sin(α+β)=1−-11142=5314.
∴cs β=cs(α+β-α)=cs(α+β)cs α+sin(α+β)·
sin α=-1114×17+5314×437=12.
又β∈0,π2,∴β=π3.
能力提升练
一、选择题
1.C 解法一:∵sinθ-π6=12,θ∈0,π2,
∴θ=π3,
∴csθ-π3=cs 0=1,故选C.
解法二:∵sinθ-π6=12,θ∈0,π2,∴csθ-π6=32,
∴csθ-π3=csθ-π6-π6
=csθ-π6csπ6+sinθ-π6sinπ6=1,故选C.
B ∵α,β均为锐角,∴0<α<π2,0<β<π2,又sin α=255>22,∴π4<α<π2,
cs α=55,∴π4<α+β<π.
∵sin(α+β)=35,且12<35<22,∴π2<α+β<3π4,∴cs(α+β)=-45,
∴cs β=cs[(α+β)-α]=cs(α+β)cs α+sin(α+β)sin α=
-45×55+35×255=2525.故选B.
导师点睛 解题时要注意角的范围对三角函数值的制约,从而恰当、准确地求出三角函数值.
3.C 依题意,有cs α=35,sin α=45,cs β=-32,sin β=12,
∴cs(β-α)=cs βcs α+sin βsin α
=-32×35+12×45=4−3310.
二、解答题
4.解析 设射线y=512x(x≥0)的倾斜角为α,则tan α=512,α为第一象限角,
∴sin α=513,cs α=1213.
同理,设射线y=-43x(x≤0)的倾斜角为β,则tan β=-43,β为第二象限角,
∴sin β=45,cs β=-35,
又θ=β-α,
∴cs θ=cs(β-α)=cs βcs α+sin βsin α
=-35×1213+45×513=-1665.
5.解析 ∵α-β∈π2,π,cs(α-β)=-35,∴sin(α-β)=45.
又∵α+β∈3π2,2π,cs(α+β)=35,
∴sin(α+β)=-45,
∴cs 2β=cs[(α+β)-(α-β)]
=cs(α+β)cs(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
=35×-35+-45×45=-1.
∵α-β∈π2,π,α+β∈3π2,2π,
∴2β∈π2,3π2,∴2β=π,∴β=π2.
6.解析 由sin α+sin γ=sin β得sin γ=sin β-sin α,
左右平方得sin2γ=sin2β-2sin βsin α+sin2α,
由cs β+cs γ=cs α得cs γ=cs α-cs β,
左右平方得cs2γ=cs2β-2cs βcs α+cs2α,
∴sin2γ+cs2γ=sin2β-2sin βsin α+sin2α+cs2β-2cs βcs α+cs2α,
化简得1=2-2cs βcs α-2sin βsin α=2-2cs(β-α),
∴cs(β-α)=12,
∵α,β,γ∈0,π2,∴-α∈-π2,0,
∴β-α∈-π2,π2,
又sin γ=sin β-sin α>0,∴sin β>sin α,
∴β>α,
∴β-α=π3.