第五章复习提升-2022版数学必修第二册 湘教版（2019） 同步练习 （Word含解析）

本章复习提升

易混易错练

易错点1　样本点重复或遗漏致错

1.(2020河南信阳高中高一下月考,)在1,2,3,4四个数中随机地抽取一个数记为a,再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b,则“不是整数”的概率为(　　)

A. 

C.

2.()从1,2,3,4这4个数中任取2个数求和,那么“这2个数的和大于4”包含的样本点个数为              (　　)

A.2 B.3 

C.4 D.5

易错点2　分不清“互斥事件”与“对立事件”致错

3.(2020山东济南历城二中高一下月考,)2021年某省新高考将实行“3+1+2”模式,即语文、数学、外语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.某同学已选了物理,记事件A=“他选择政治和地理”,事件B=“他选择化学和地理”,则事件A与事件B              (　　)

A.是互斥事件,但不是对立事件

B.既是互斥事件,也是对立事件

C.既不是对立事件,也不是互斥事件

D.无法判断

易错点3　不能正确应用事件互斥和对立求解相关的概率致错

4.()若一架飞机向目标投弹,击毁目标的概率为0.2,目标未受损的概率为0.4,则目标受损但未被击毁的概率为              (　　)

A.0.8 B.0.6 

C.0.5 D.0.4

5.()某战士射击一次,击中环数大于7的概率为0.6,击中环数是6或7或8的概率相等,且和为0.3,则该战士射击一次,击中环数大于5的概率为　　　　. 

6.()某停车场临时停车按时段收费,收费标准如下:每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元,超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算).现有甲、乙两人在该地停车,两人停车都不超过4小时.

(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为,停车费多于14元的概率为,求甲的停车费为6元的概率;

(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙两人停车费之和为28元的概率.

易错点4　不能正确理解独立事件发生的概率致错

7.(多选)(2021江苏南京高二上期末,)设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次.记事件E={第一个四面体向下的一面出现偶数};事件F={第二个四面体向下的一面出现奇数};G={两个四面体向下的一面同时出现奇数或同时出现偶数}.则下列说法正确的是              (　　)

A.P(E)=P(F)=P(G)

B.P(EF)=P(EG)=P(FG)

C.P(EFG)=

D.P(E)P(F)P(G)=

8.()甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.

(1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率;

(2)求甲射击4次,恰有3次连续击中目标的概率;

(3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标就会被终止射击,求乙恰好射击4次后被终止射击的概率.

思想方法练

一、分类讨论思想在解决概率问题中的运用

1.(2021山东聊城高二上期中,)某学校计划从2名男生和3名女生中任选3名参加抗疫英雄事迹演讲比赛,记事件M为“至少有2名女生参加演讲”,则下列事件中与事件M对立的是              (　　)

A.恰有2名女生参加演讲

B.至多有2名男生参加演讲

C.恰有1名女生参加演讲

D.至多有2名女生参加演讲

2.()一袋中装有7个红玻璃球,3个绿玻璃球,它们除颜色外完全相同,从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个,取得两个红玻璃球的概率为,取得两个绿玻璃球的概率为,则取得两个同颜色的玻璃球的概率为　　　　;至少取得一个红玻璃球的概率为　　　　. 

二、转化与化归思想在解决概率问题中的运用

3.()某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中,一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示:

(1)求有4人或5人外出家访的概率;

(2)求至少有3人外出家访的概率.

4.(2020山东省实验中学高一下期末,)甲、乙两篮球运动员分别进行一次投篮,两人投中的概率都为0.6.计算:

(1)两人都投中的概率;

(2)至少有一人投中的概率.

三、数形结合思想在解决概率问题中的运用

5.(2020河北部分重点中学高二期末联考,)为了解某中学学生对《中华人民共和国交通安全法》的了解情况,调查部门在该校进行了一次问卷调查(共12道题),从该校学生中随机抽取40人,统计了每人答对的题数,将统计结果分成[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]六组,得到如下频率分布直方图.

(1)估计这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);

(2)若从答对题数在[2,6)内的学生中随机抽取2人,求恰有1人答对题数在[2,4)内的概率.

答案全解全析

易混易错练

1.C　由题可得,样本点总数n=4×3=12.

∵“,,,,,,,,共8个,

∴“.故选C.

2.C　从1,2,3,4这4个数中任取2个数求和,则试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) },其中“这2个数的和大于4”包含的样本点有(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4个.

3.A　由题意知,事件A与事件B不能同时发生,但能同时不发生,故事件A和B是互斥事件,但不是对立事件,故选A.

4.D　∵一架飞机向目标投弹,目标未受损的概率为0.4,∴P(目标受损)=1-0.4=0.6.

目标受损分为完全被击毁和未完全被击毁两种情形,它们是对立事件,

∴P(目标受损)=P(目标受损但未被击毁)+P(目标被击毁),

即0.6=P(目标受损但未被击毁)+0.2,

∴P(目标受损但未被击毁)=0.6-0.2=0.4.故选D.

5.答案　0.8

解析　设“击中6环”为事件A,“击中7环”为事件B,“击中8环”为事件C,由题意得P(A)=P(B)=P(C)=0.1,且事件A,B,C两两互斥,

∴击中环数大于5的概率P=P(A)+P(B)+0.6=0.1+0.1+0.6=0.8.

6.解析　(1)记“一次停车不超过1小时”为事件A,“一次停车1到2小时”为事件B,“一次停车2到3小时”为事件C,“一次停车3到4小时”为事件D. 由已知得P(B)=,P(C+D)=.

又事件A,B,C,D互斥,所以P(A)=1-.

所以甲的停车费为6元的概率为.

(2)易知甲、乙停车时间的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个,这16种情况发生的可能性是相等的,而“停车费之和为28元”的样本点有(1,3),(2,2),(3,1),共3个.所以所求概率为.

7.ABD　同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次,样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.

事件E={第一个四面体向下的一面出现偶数},则E包含的样本点有(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共8个.因此P(E)=.

事件F={第二个四面体向下的一面出现奇数},则F包含的样本点有(1,1),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,3),(4,1),(4,3),共8个.因此P(F)=.

事件G={两个四面体向下的一面同时出现奇数或同时出现偶数},则G包含的样本点有(1,1),(1,3),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(4,2),(4,4),共8个.因此P(G)=.

∴P(E)=P(F)=P(G),故A正确.

易知E,F是相互独立事件,∴P(EF)=,

事件EG包含的样本点有(2,2),(2,4),(4,2),(4,4),共4个,∴P(EG)=,

事件FG包含的样本点有(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),共4个,∴P(FG)=,

∴P(EF)=P(EG)=P(FG),故B正确.

∵事件EFG中不含任何样本点,∴P(EFG)=0,故C错误.

∵P(E)=P(F)=P(G)=,

∴P(E)P(F)P(G)=,故D正确.故选ABD.

8.解析　(1)用事件A表示“甲击中目标”,事件B表示“乙击中目标”.

依题意知,事件A和事件B相互独立,

因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为P(AB)=P(A)P(B)=.

(2)用事件Ai表示“甲第i(i=1,2,3,4)次射击击中目标”,并记“甲射击4次,恰有3次连续击中目标”为事件C,

则C=A1A2A3A2A3A4,

且A1A2A3A2A3A4是互斥事件.

由于A1,A2,A3,A4之间相互独立,

所以Ai与(i,j=1,2,3,4,且i≠j)之间也相互独立.

由于P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=,

所以P()=P()=P()=P()=,

故P(C)=P(A1A2A3A2A3A4)

=P(A1)P(A2)P(A3)P()+P()P(A2)·P(A3)P(A4)

=.

所以甲射击4次,恰有3次连续击中目标的概率为.

(3)用事件Bi表示“乙第i(i=1,2,3,4)次射击击中目标”,事件D表示“乙在第4次射击后被终止射击”,

则D=B1B2,

且B1B2是互斥事件.

由于B1,B2,B3,B4之间相互独立,

所以Bi与(i,j=1,2,3,4,且i≠j)之间也相互独立.

由于P(Bi)=(i=1,2,3,4),所以P()=(i=1,2,3,4),

故P(D)=P(B1B2)

=P(B1B2)+P()

=P(B1)P(B2)P()P()+P()·P(B2)P()P()

=.

所以乙恰好射击4次后被终止射击的概率为.

思想方法练

1.C　某学校计划从2名男生和3名女生中任选3名参加抗疫英雄事迹演讲比赛,设取到i个男生为事件Ai(i=0,1,2),

∵事件M为“至少有2名女生参加演讲”,∴M=A0∪A1.

对于A,“恰有2名女生参加演讲”为A1,因此“恰有2名女生参加演讲”与“至少有2名女生参加演讲”能同时发生,不是对立事件,故A错误;对于B,“至多有2名男生参加演讲”为A0∪A1∪A2,因此“至多有2名男生参加演讲”与“至少有2名女生参加演讲”能同时发生,不是对立事件,故B错误;对于C,“恰有1名女生参加演讲”为A2,因此“恰有1名女生参加演讲”与“至少有2名女生参加演讲”是对立事件,故C正确;对于D,“至多有2名女生参加演讲”为A1∪A2,因此“至多有2名女生参加演讲”与“至少有2名女生参加演讲”能同时发生,不是对立事件,故D错误.故选C.

2.答案　;

解析　取得两个同颜色的玻璃球包括取得两个红玻璃球和取得两个绿玻璃球,故取得两个同颜色的玻璃球的概率为.

 “至少取得一个红玻璃球”的对立事件是“取得两个绿玻璃球”,

故至少取得一个红玻璃球的概率为1-.

3.解析　设“派出2人及以下”为事件A,“派出4人”为事件C,“派出5人”为事件D.

(1)有4人或5人外出家访的事件为事件C∪D,C,D为互斥事件,根据互斥事件概率的加法公式可知P(C∪D)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4.

(2)至少有3人外出家访的对立事件为有2人及以下外出家访,所以由对立事件的概率公式可知所求概率P=1-P(A)=1-0.1=0.9.

4.解析　设A=“甲投篮一次投中”,B=“乙投篮一次投中”.

(1)由题意知,事件A与B相互独立,所以所求概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.6=0.36.

(2)事件“两人各投篮一次,至少有一人投中”的对立事件为“两人各投篮一次,均未投中”,其概率是P()=P()P()=(1-0.6)×(1-0.6)=0.16.

因此,至少有一人投中的概率为1-P()=1-0.16=0.84.

5.解析　(1)估计这组数据的平均数为

(1×0.025 0+3×0.025 0+5×0.037 5+7×0.125 0+9×0.187 5+11×0.100 0)×2=7.9.

(2)由题图可知,答对题数在[2,4)内的学生有0.025 0×2×40=2(人),分别记为A,B;

答对题数在[4,6)内的学生有0.037 5×2×40=3(人),分别记为c,d,e.

从答对题数在[2,6)内的学生中随机抽取2人的情况有(A,B),(A,c),(A,d),(A,e),(B,c),(B,d),(B,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10种,

恰有1人答对题数在[2,4)内的情况有(A,c),(A,d),(A,e),(B,c),(B,d),(B,e),共6种,

故所求概率P=.