苏教版 (2019)选择性必修第二册8.2离散型随机变量及其分布列一课一练

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第二册8.2离散型随机变量及其分布列一课一练，共15页。试卷主要包含了2　离散型随机变量及其分布列等内容，欢迎下载使用。

8.2.4 超几何分布
基础过关练
题组一 超几何分布及其概率计算
1.(多选)一个袋中装有6个同样大小的黑球,编号分别为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号分别为7,8,9,10.现从中任取4个球,下列变量服从超几何分布的是( )
A.X表示取出球的最大号码
B.Y表示取出球的最小号码
C.取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,Z表示取出的4个球的总得分
D.T表示取出的黑球个数
2.(2021江苏泰州高二月考)一个班级共有30名学生,其中有10名女生,现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动,假设选出的3名代表中女生的人数为变量X,男生的人数为变量Y,则P(X=2)+P(Y=2)等于( )

A.C102C202C303
B.C102+C202C303
C.C102C201+C101C202C303
D.(C102+C201)·(C101+C202)C303
3.(2021江苏南京师大附中高二期末)某地7个村中有3个村是贫困村,现从中任意选3个村,则下列事件中概率等于67的是( )
A.至少有1个贫困村
B.有1个或2个贫困村
C.有2个或3个贫困村
D.恰有2个贫困村
题组二 超几何分布的期望与方差
4.(2021江苏徐州高二期中)某学校实行自主招生,参加自主招生的学生从8道试题中随机挑选4道进行作答,至少答对3道才能通过初试,已知在这8道试题中甲能答对6道.记甲答对试题的道数为X,则X的数学期望E(X)= .
5.(2021江苏镇江扬中第二中学高三月考)设口袋中有黑球、白球共7个,从中任取2个球,已知取到白球的个数ξ的数学期望为67,则口袋中白球的个数为 .
6.(2020江苏无锡高二期中)设10件产品中含有3件次品,从中抽取2件进行检测,则测得次品数的数学期望为 .
7.(2021江苏连云港高二期末)2020年年初,某医院计划从3名医生、5名护士中随机选派4人参加湖北新冠肺炎疫情阻击战.
(1)求选派的4人中至少有2名医生的概率;
(2)设选派的4人中医生的人数为X,求X的概率分布和数学期望.
8.(2020湖南衡阳八中高三下月考)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识,某校高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人,女生200人;文科班有男生100人,女生300人.现按男、女用分层随机抽样的方法从理科生中抽取6人,从文科生中抽取4人,组成环境保护兴趣小组,再从这个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.
(1)设事件A为“参加环保知识竞赛的4人中有2个男生和2个女生,而且这2个男生中文、理科生都有”,求事件A发生的概率;
(2)用X表示参加环保知识竞赛的4人中文科女生的人数,求X的概率分布及方差.
能力提升练
题组一 超几何分布的应用
1.(2021江苏常州高二期中,)在箱子中有10个小球,其中3个红球,3个白球,4个黑球.从这10个球中任取3个.求:
(1)取出的3个球中红球的个数X的概率分布;
(2)取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率.
2.(2021江苏盐城高二期末,)我国全力抗击“新冠疫情”对全球作出了巨大贡献,广大中小学生在这场“战疫”中也通过各种方式作出了贡献.某校团委准备组织一次“网上战疫”的宣传活动,活动包含4项子活动.现随机抽取了5个班级中的25名同学进行关于活动方案的问卷调查,其中关于4项子活动的赞同情况统计如下:
现欲针对4项子活动的内容做进一步采访调研,每项子活动采访1名学生.
(1)若每项子活动都从这25名同学中随机选取1人采访,求4次采访中恰有1次采访的学生对“4项子活动非全部赞同”的概率;
(2)若从A班和E班的被调查者中各随机选取2人作为采访调研的对象,记选取的4人中4项子活动全部赞同的人数为X,求X的概率分布与数学期望E(X).
3.(2021江苏南京航空航天大学附属中学高三期中,)某商场举行有奖促销活动,顾客每购买满400元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下:抽奖者掷各面标有1~6点数的正方体骰子1次,若掷得的点数不大于4,则可继续在抽奖箱中抽奖;否则获得三等奖,结束抽奖.已知抽奖箱中装有2个红球与m(m≥2,m∈N*)个白球,抽奖者从箱中任意摸出2个球,若2个球均为红球,则获得一等奖,若2个球为1个红球和1个白球,则获得二等奖,否则,获得三等奖(抽奖箱中的所有小球除颜色外均相同).
(1)若m=4,求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率;
(2)若一等奖可获奖金400元,二等奖可获奖金300元,三等奖可获奖金100元,记顾客一次抽奖所获得的奖金为X元,若商场希望X的数学期望不超过150,求m的最小值.
题组二 超几何分布与二项分布的综合应用
4.(2019山西太原第五中学高二月考,)某高校通过自主招生方式在A市招收一名优秀的高三毕业生,经过层层筛选,甲、乙两名学生进入最后测试,该校设计了一个测试方案:甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题回答.已知这6个问题中,学生甲能正确回答其中的4个问题,而学生乙能正确回答每个问题的概率均为23,甲、乙两名学生对每个问题的回答都是互不影响的.
(1)求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率;
(2)请从数学期望和方差的角度分析,甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大.
5.(2020辽宁省实验中学、鞍山一中、东北育才学校等高三上期末联考,)某种水果按照果径大小可分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个,利用水果的等级分类标准得到的数据如下:
(1)若将频率视为概率,从这100个水果中有放回地随机抽取4个,求恰好有2个水果是礼品果的概率;(结果用分数表示)
(2)用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个,再从抽取的10个水果中随机抽取3个,用X表示抽取的是精品果的数量,求X的概率分布及数学期望.
答案全解全析
第8章 概率
8.2.4 超几何分布
基础过关练
1.CD 根据超几何分布的概念可知,选项C、D正确.
2.C 由题意得P(X=2)=C102C201C303,P(Y=2)=C101C202C303,所以P(X=2)+P(Y=2)=C102C201+C101C202C303,故选C.
3.B 用X表示选出的3个村中贫困村的个数,X服从超几何分布,故P(X=k)=C3kC43-kC73,k=0,1,2,3,
所以P(X=0)=C30C43C73=435,
P(X=1)=C31C42C73=1835,
P(X=2)=C32C41C73=1235,
P(X=3)=C33C40C73=135,
因此P(X=1)+P(X=2)=67,故选B.
4.答案 3
解析 由题意可知X~H(4,6,8),
∴E(X)=4×68=3.
5.答案 3
解析 设口袋中有x个白球.
解法一:由已知可得取得的白球个数ξ的可能取值为0,1,2,则ξ服从超几何分布,P(ξ=k)=CxkC7-x2-kC72(k=0,1,2),∴P(ξ=0)=C7-x2C72,P(ξ=1)=Cx1C7-x1C72,P(ξ=2)=Cx2C72,
∴E(ξ)=Cx1C7-x1C72+2Cx2C72=67,∴x(7-x)+x(x-1)=67×21=18,∴6x=18,∴x=3.
解法二:易知ξ~H(2,x,7),所以E(ξ)=2x7=67,解得x=3.
6.答案 35
解析 设测得的次品数为X,则X的可能取值为0,1,2,则P(X=0)=C72C102=715,P(X=1)=C31C71C102=715,P(X=2)=C32C102=115,
所以X的概率分布如下表所示.
所以E(X)=0×715+1×715+2×115=35.
7.解析 (1)记选派的4人中至少有2名医生为事件A,
有2名医生、2名护士为事件A1,
有3名医生、1名护士为事件A2,
则A1与A2互斥,当A发生时,A1或A2发生,
所以P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)
=C32C52C84+C33C51C84=12.
故选派的4人中至少有2名医生的概率为12.
(2)由题意得X的可能取值为0,1,2,3.
所以P(X=0)=C54C84=114,
P(X=1)=C31C53C84=37,
P(X=2)=C32C52C84=37,
P(X=3)=C33C51C84=114.
所以X的概率分布为
故X的数学期望E(X)=0×114+1×37+2×37+3×114=32.
8.解析 (1)由题意可得,抽取了理科男生4人,女生2人,文科男生1人,女生3人.
所以P(A)=C41C11C52C104=40210=421.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=C74C30C104=16,
P(X=1)=C73C31C104=12,
P(X=2)=C72C32C104=310,
P(X=3)=C71C33C104=130,
所以X的概率分布为
所以E(X)=0×16+1×12+2×310+3×130=65,
所以D(X)=0-652×16+1-652×12+2-652×310+3-652×130=1425.
能力提升练
1.解析 (1)由题意知X的可能取值为0,1,2,3,且X~H(3,3,10),因此 P(X=k)=C3kC73-kC103(k=0,1,2,3).
所以P(X=0)=C30C73C103=35120=724,
P(X=1)=C31C72C103=63120=2140,
P(X=2)=C32C71C103=21120=740,
P(X=3)=C33C70C103=1120.
故X的概率分布为
(2)设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A,“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件A1,“恰好取出2个红球”为事件A2,“恰好取出3个红球”为事件A3,
则事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1+A2+A3,
而P(A1)=C31C42C103=320,P(A2)=P(X=2)=740,P(A3)=P(X=3)=1120,
所以P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=320+740+1120=13.
即取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为13.
2.解析 (1)设4次采访中“恰有1次采访的学生对4项子活动非全部赞同”为事件A,
∵25名同学中4项子活动全部赞同的人数为20,非全部赞同的人数为5,
∴从中任选1人,对4项子活动非全部赞同的概率为525=15,
∴P(A)=C411511-153=256625.
(2)X的可能取值为2,3,4,
P(X=2)=C31C11C42×C21C11C32=13,
P(X=3)=C32C10C42×C21C11C32+C31C11C42×C22C10C32=12,
P(X=4)=C32C10C42×C22C10C32=16,
故X的概率分布为
则X的数学期望E(X)=2×13+3×12+4×16=176.
3.信息提取 ①若掷得的点数不大于4,则可继续在抽奖箱中抽奖,否则获得三等奖,结束抽奖;②若2个球均为红球,则获得一等奖,若2个球为1个红球和1个白球,则获得二等奖,否则,获得三等奖.
数学建模 根据红球的个数判断获得的奖项可知其概率模型为超几何分布.(1)顾客获得三等奖分为两种情况,利用古典概型求概率;(2)先根据骰子的点数判断是获得三等奖还是继续抽奖,然后根据顾客摸出小球的情况得到X的取值和对应的概率,利用X的数学期望不超过150求出m的最小值.
解析 (1)设顾客获得三等奖为事件A,则事件A有两种情况:
顾客掷骰子掷得的点数大于4,其概率为26=13;
顾客掷骰子掷得的点数不大于4,且摸出的2个球均为白球,其概率为46×C42C62=415,
所以P(A)=13+415=35.
故当m=4时,顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率为35.
(2)由题意得X的可能取值为100,300,400,
且P(X=100)=13+23×Cm2Cm+22=13+2m(m-1)3(m+2)(m+1),
P(X=300)=23×C21Cm1Cm+22=8m3(m+2)(m+1),
P(X=400)=23×C22Cm+22=43(m+2)(m+1),
则E(X)=100P(X=100)+300P(X=300)+400P(X=400)
=1003+200m2+2200m+16003(m+2)(m+1),
由题意可得E(X)≤150,即3m2-23m-18≥0,
又m≥2,m∈N*,所以m≥9,即m的最小值为9.
4.解析 (1)由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率
P=C41C22C63×C31×23×132+C42C21C63×C30×230×133=115.
(2)设学生甲答对的题数为X,则X的可能取值为1,2,3,
P(X=1)=C41C22C63=15,P(X=2)=C42C21C63=35,P(X=3)=C43C20C63=15,
所以E(X)=1×15+2×35+3×15=2,
D(X)=(1-2)2×15+(2-2)2×35+(3-2)2×15=25.
设学生乙答对的题数为Y,则Y的可能取值为0,1,2,3,由题意知Y~B3,23,
所以E(Y)=3×23=2,
D(Y)=3×23×13=23,
所以E(X)=E(Y),D(X)所以甲被录取的可能性更大.
5.解析 (1)设“从100个水果中随机抽取1个,抽到礼品果”为事件A,则P(A)=20100=15,
现有放回地随机抽取4个,设抽到礼品果的个数为Z,则Z~B4,15,
∴恰好抽到2个礼品果的概率P(Z=2)=C42152452=96625.
(2)用分层随机抽样的方法从100个水果中抽取10个,则其中精品果4个,非精品果6个.
现从中随机抽取3个,则精品果的数量X服从超几何分布,其可能的取值为0,1,2,3.
P(X=0)=C63C103=16,P(X=1)=C62C41C103=12,
P(X=2)=C61C42C103=310,P(X=3)=C43C103=130.
∴X的概率分布为
∴E(X)=0×16+1×12+2×310+3×130=65.
班级代码
A
B
C
D
E
合计
4项子活动全部
赞同的人数
3
4
8
3
2
20
4项子活动非全部
赞同的人数
1
1
0
2
1
5
合计
4
5
8
5
3
25
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
20
X
0
1
2
P
715
715
115
X
0
1
2
3
P
114
37
37
114
X
0
1
2
3
P
16
12
310
130
X
0
1
2
3
P
724
2140
740
1120
X
2
3
4
P
13
12
16
X
0
1
2
3
P
16
12
310
130