高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册8.3 正态分布当堂达标检测题

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册8.3 正态分布当堂达标检测题，共15页。试卷主要包含了3　正态分布，4 kg，已知X~N,且P=0等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 正态密度曲线及其特点
1.(2021江苏天一中学高二期中)设X~N(μ1,σ1),Y~N(μ2,σ2),这两个正态密度曲线如图所示,则下列结论中正确的是( )

A.μ1>μ2,σ1<σ2B.μ1<μ2,σ1<σ2
C.μ1<μ2,σ1>σ2D.μ1>μ2,σ1>σ2
2.甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1,σ12),N(μ2,σ22),其正态密度曲线如图所示,则下列说法错误的是( )
A.甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙类水果的质量服从正态分布的参数σ2=1.99
3.(多选)(2020山东青岛胶州一中高二上期末)已知三个密度函数fi(x)=12πσie-(x-μi)22σi2(x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示,则下列结论正确的是( )

A.σ1=σ2B.μ1>μ3
C.μ1=μ2D.σ2<σ3
4.(多选)(2021江苏海头中学高二月考)某中学高二年级组织了一次调研考试,考试后统计的数学成绩(单位:分)服从正态分布,其密度函数为P(x)=12π·10e-(x-100)2200,x∈R,则下列命题正确的是( )
A.这次考试的数学平均成绩为100
B.分数在120分以上的人数与分数在90分以下的人数大致相同
C.分数在130分以上的人数与分数在70分以下的人数大致相同
D.这次考试的数学成绩方差为10
题组二 正态分布的概率计算
5.(2021江苏南京中华中学高三期末)已知X~N(4,σ2),且P(X<2)=0.3,则P(X≤6)=( )
A.0.3B.0.4D.0.7
6.(2021江苏镇江第一中学高二期末)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.74,则P(0≤ξ≤2)=( )
7.(2021江苏泰州中学高二期中)已知随机变量X服从正态分布N(a,4),且P(X>1)=0.5,P(X>2)=0.3,则P(X<0)等于( )
A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8
8.(2021江苏苏州高三月考)已知随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2),且P(ξ<1)P(ξ<5)=19,则P(3<ξ<5)= .
9.已知随机变量X~N(μ,σ2),且其密度函数在(-∞,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数,P(72(1)求参数μ,σ的值;
(2)求P(64附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ题组三 正态分布的实际应用
10.某厂生产的零件外直径X(单位:mm)服从正态分布X~N(8.0,0.022 5),现从该厂上午、下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为7.9 mm和7.5 mm,则可认为( )
A.上午、下午生产情况均为正常
B.上午、下午生产情况均为异常
C.上午生产情况正常,下午生产情况异常
D.上午生产情况异常,下午生产情况正常
11.(2021江苏淮安高二期末)在某区2020年5月份的高二期中质量检测中,学生的数学成绩服从正态分布X~N(98,100),且P(88≤X≤108)≈0.683,P(78≤X≤118)≈0.954,已知参加本次考试的学生有9 460人,王小雅同学在这次考试中数学成绩为108分,则她的数学成绩在该区的排名大约是( )
A.2 800B.2 180C.1 500D.6 230
12.(2021江苏南通高三期末)2020年8月,教育部发布《关于深化体教融合,促进青少年健康发展的意见》,要求将体育纳入高中学业水平考试范围.《国家学生体质健康标准》规定高三男生投掷实心球6.9米达标,高三女生投掷实心球6.2米达标.某地初步拟定投掷实心球的考试方案为每名学生可以投掷3次,一旦通过无须再投,为研究该方案的合理性,到某校任选4名学生进行测试,如果有2人不达标的概率超过0.1,该方案需要调整;否则就定为考试方案.已知该校男生投掷实心球的距离ξ1服从N(6.9,0.25),女生投掷实心球的距离ξ2服从N(6.2,0.16)(ξ1,ξ2的单位:米).
(1)请你通过计算,说明该方案是否需要调整;
(2)为提高学生考试达标率,该校决定对学生加强训练.以女生为例,假设所有女生经训练后,投掷距离的增加值相同.问:女生投掷实心球的距离至少增加多少米,可使达标率不低于99%?
附:①参考数据:310=2.15;②若X~N(6.516,0.16),则P(X≤6.832)=0.785.
13.某工厂生产某款机器零件,因为要求精度比较高,所以需要对生产的一大批零件进行质量检测.首先由专家根据各种系数制定了质量指标值,从生产的大批零件中选取100个作为样本进行评估,根据评估结果作出如图所示的频率分布直方图.
(1)(i)根据频率分布直方图求a的值及这100个零件的质量指标值的平均数μ;
(ii)以样本估计总体,经过专家研究,零件的质量指标值X~N(μ,225),试估计10 000个零件中质量指标值在[185,230]内的个数;
(2)设每个零件利润为y元,质量指标值为x,利润y与质量指标值x之间满足函数关系y=0.8x,x≤205,0.16x+200,x>205.假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替,试估计该批零件每个的平均利润.(结果四舍五入,保留整数)
参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
能力提升练
题组一 正态分布及其概率计算
1.(多选)(2021辽宁丹东高三期末,)已知X~N(μ,σ2),f(x)=12πσe-(x-μ)22σ2,x∈R,则( )

A.曲线y=f(x)与x轴围成的几何图形的面积小于1
B.函数f(x)的图象关于直线x=μ对称
C.P(X>μ-σ)=2P(μD.函数F(x)=P(X>x)在R上单调递增
2.(多选)()设随机变量X~N(0,1),f(x)=P(X≤x),其中x>0,则下列等式成立的有( )
A.f(-x)=1-f(x)
B.f(2x)=2f(x)
C.P(|X|≤x)=2f(x)-1
D.P(|X|>x)=2-f(x)
3.(2020江西新余高二上期末,)设随机变量X~N(1,1),其正态密度曲线如图所示,若向正方形ABCD中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )
(附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σA.7 539B.7 028
C.6 587D.6 038
题组二 正态分布的实际应用
4.(2021广东广州高三二模,)在某次数学测试中,学生成绩ξ服从正态分布(100,σ2),若ξ在(80,120)内的概率为0.6,则任意选取两名学生的成绩,恰有一名学生成绩不高于80的概率为( )
5.(多选)(2021江苏溧阳中学高三月考,)4月23日为世界读书日,已知某高校学生每周阅读时间X(单位:小时)服从正态分布N(9,4),则( )
(附:X~N(μ,σ2),P(μ-σA.该校学生每周平均阅读时间为9小时
B.该校学生每周阅读时间的标准差为4
C.该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占0.3%
D.若该校有10 000名学生,则每周阅读时间在3~5小时的人数约为215
6.(2021江苏连云港高三期中,)中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目.在某校的一次中长跑比赛中,全体参赛学生的成绩X(单位:分)近似地服从正态分布N(80,100),已知成绩在90分以上(含90分)的学生有32名,则参赛的学生总数约为( )
(参考数据:P(μ-σA.208B.206C.204D.202
7.(2020河北衡水高三一模,)按照国际乒联的规定,标准的乒乓球在直径符合条件下,质量为2.7克,其质量的误差在区间[-0.081,0.081]内就认为是合格产品,在正常情况下,样本的质量误差x服从正态分布.现从某厂生产的一批产品中随机抽取10件产品,其质量如下:
2.72 2.68 2.7 2.75 2.66
2.72.62.692.72.8
(1)计算上述10件产品质量的误差的平均数x及标准差s;
(2)①利用(1)中求的平均数x,标准差s,估计这批产品的合格率能否达到96%;
②如果产品质量的误差服从正态分布N(0,0.040 52),那么从这批产品中随机抽取10件产品,则有不合格产品的概率为多少?(附:若随机变量x服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ答案全解全析
第8章 概率
8.3 正态分布
基础过关练
1.B 由题图可得X的正态密度曲线相对Y的正态密度曲线更尖陡且对称轴偏左,结合正态密度曲线的特征可得μ1<μ2,σ1<σ2,故选B.
2.D 由题图可知,甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg,乙类水果的平均质量μ2=0.8 kg,故A,C中说法正确;由题图可知B中说法正确;乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2满足12πσ2=1.99,∴σ2≠1.99,故D中说法不正确,故选D.
3.AD 根据正态密度曲线关于直线x=μ对称,且μ越大,曲线越靠右,可得μ1<μ2=μ3,B,C错误;
又σ越小,正态密度曲线越尖陡,所以σ1=σ2<σ3,A,D正确.故选AD.
4.AC 因为数学成绩服从正态分布,其密度函数为P(x)=12π·10e-(x-100)2200,x∈R,所以μ=100,σ=10.所以这次考试的数学平均成绩为100,标准差为10,故A正确,D错误.因为正态密度曲线的对称轴为直线x=100,所以分数在120分以上的人数与分数在90分以下的人数不相同,故B错误;分数在130分以上的人数与分数在70分以下的人数大致相同,故C正确.故选AC.
5.D 因为X~N(4,σ2),所以正态密度曲线的对称轴为直线x=4,因为P(X<2)=0.3,所以P(X>6)=P(X<2)=0.3,所以P(X≤6)=1-P(X>6)=1-0.3=0.7,故选D.
6.B 由题意得正态密度曲线的对称轴为直线x=2,示意图如下,则P(ξ<2)=0.5,并且P(0≤ξ≤2)=P(2≤ξ≤4)=P(ξ≤4)-P(ξ<2)=0.74-0.5=0.24.故选B.
7.B 因为随机变量X服从正态分布N(a,4),∴正态密度曲线关于直线x=a对称,且P(X>a)=0.5,由P(X>1)=0.5,可知μ=a=1,所以 P(X<0)=P(X>2)=0.3,故选B.
8.答案 0.4
解析 因为ξ~N(3,σ2),所以正态密度曲线关于直线x=3对称,则P(ξ<1)=1-P(ξ<5).
又P(ξ<1)P(ξ<5)=19,所以P(ξ<1)=0.1,P(ξ<5)=0.9,所以P(3<ξ<5)=12[P(ξ<5)-P(ξ<1)]=0.4.
9.解析 (1)由题意得,正态密度曲线关于直线x=80对称,即参数μ=80.
因为P(72所以结合P(μ-σ(2)P(μ-2σ因为P(X≤64)=P(X>96),
所以P(X≤64)≈12×(1-0.954 5)
=12×0.045 5=0.022 75.
所以P(X>64)=0.977 25.
又P(X≤72)=12[1-P(72≈12×(1-0.682 7)=0.158 65,
所以P(X>72)=0.841 35,
所以P(6464)-P(X>72)=0.135 9.
10.C μ=8.0,σ=0.15.当数据落在(8.0-3×0.15,8.0+3×0.15),即(7.55,8.45)之外时为异常.结合已知,可得上午生产情况正常,下午生产情况异常.
11.C 由题知学生的数学成绩服从正态分布X~N(98,100),所以μ=98,σ=10.所以P(X>108)=12[1-P(88≤X≤108)]≈0.158 5,即数学成绩高于108分的学生占总人数的0.158 5,所以王小雅同学的数学成绩在该区的排名大约是9 460×0.158 5≈1 500,故选C.
12.解析 (1)因为每个人不达标的概率均为12,所以4名学生中有2个不达标的概率为C42122122=38>0.1,
所以该方案需要调整.
(2)设女生投掷实心球的距离至少增加x米,
此时ξ2'~N(6.2+x,0.16),
当X~N(6.516,0.16)时,
因为P(X≤6.832)=0.785,
所以P(X>6.832)=1-0.785=0.215,
因为点(6.832,0)关于直线X=6.516的对称点为(6.2,0),
所以P(X<6.2)=0.215,
此时女生的达标率为(1-0.2153)×100%≈(1-0.01)×100%=99%,达标率刚好为99%,
令6.2+x=6.516,得x=0.316,
所以为使达标率不低于99%,女生投掷实心球的距离至少增加0.316米.
13.解析 (1)(i)由题意得10×(a+0.009+0.022+0.033+0.024+0.008+a)=1,
解得a=0.002.
μ=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200.
(ii)由(i)知X~N(200,152),
所以P(185≤X≤230)≈0.68272+0.95452=0.818 6.
10 000×0.818 6=8 186,
所以10 000个零件中质量指标值在[185,230]内的个数约为8 186.
(2)由题意得
y=0.8×170×0.02+0.8×180×0.09+0.8×190×0.22+0.8×200×0.33+(0.16×210+200)×0.24+(0.16×220+200)×0.08+(0.16×230+200)×0.02=181.536≈182,
所以估计该批零件每个的平均利润为182元.
能力提升练
1.BC 选项A,曲线y=f(x)与x轴围成的几何图形的面积等于1,所以A不正确;
选项B,f(x+μ)=12πσe-x22σ2,f(μ-x)=12πσe-x22σ2,所以f(x+μ)=f(μ-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=μ对称,所以B正确;
选项C,因为P(μ-σμ-σ)=P(μ-σ选项D,由正态密度曲线可知,x越大,P(X>x)越小,即函数F(x)=P(X>x)随x的增大而减小,是减函数,所以D不正确.
2.AC ∵随机变量X服从正态分布N(0,1),
∴正态密度曲线关于直线x=0对称,
∵f(x)=P(X≤x)(x>0),
∴根据正态密度曲线的对称性可得f(-x)=P(X>x)=1-f(x),∴A正确;
f(2x)=P(X≤2x),2f(x)=2P(X≤x),∴B错误;
P(|X|≤x)=P(-x≤X≤x)=1-2f(-x)=1-2[1-f(x)]=2f(x)-1,∴C正确;
P(|X|>x)=P(X>x或X<-x)=1-f(x)+f(-x)=1-f(x)+1-f(x)=2-2f(x),∴D错误.故选AC.
3.C 由题意知,正方形ABCD的边长为1,所以其面积S=1,又因为随机变量X~N(1,1),所以其正态密度曲线关于直线x=1对称,且σ=1,又由P(μ-σ4.C ∵ξ服从正态分布N(100,σ2),∴正态密度曲线的对称轴是直线x=100,∵ξ在(80,120)内取值的概率为0.6,∴ξ在(80,100)内取值的概率为0.3,∴ξ在(0,80)内取值的概率为0.5-0.3=0.2.现任意选取两名学生的成绩,恰有一名学生成绩不高于80的概率P=C21×0.2×(1-0.2)=0.32.
5.AD 由题意得E(X)=9,D(X)=4,所以平均数是9,标准差为2,故A正确,B不正确;因为X~N(9,4),所以P(56.D 由正态分布X~N(80,100)得平均值μ=80,标准差σ=100=10,设参赛的学生总数为m人,则成绩在(70,90)的人数为0.683m人,成绩在(80,90)的人数为0.683m2人,而成绩在80分以上的有m2人,所以成绩在90分以上(含90分)的学生有12-0.6832m名,故12-0.6832m=32,解得m≈202.故选D.
7.信息提取 ①质量的误差在区间[-0.081,0.081]内是合格产品;②质量误差x服从正态分布;③已知10个产品的质量.
数学建模 利用正态分布模型解决乒乓球质量误差的问题.先利用平均数和标准差的定义估计μ,σ的值,然后利用参考数据求解P(-0.1解析 (1)x=110×(0.02-0.02+0+0.05-0.04+0-0.1-0.01+0+0.1)=0.
s2=110×(0.022×2+0.052+0.042+0.012+0.12×2)=0.002 5,所以s=0.05.
(2)①由(1)得μ=0,σ=0.05,
所以P(μ-2σ因为误差在(-0.1,0.1)内包括了所有的合格产品,也包括了部分不合格的产品,而P(-0.1②因为产品质量的误差服从正态分布N(0,0.040 52),
所以μ=0,σ=0.040 5,则μ-2σ所以每件产品合格的概率为P(μ-2σ所以随机抽取10件产品,有不合格产品的概率P=1-0.95410≈1-0.624 4=0.375 6.