第八章复习提升-2022版数学选择性必修第一册 苏教版（2019） 同步练习 （Word含解析）

这是一份第八章复习提升-2022版数学选择性必修第一册 苏教版（2019） 同步练习 （Word含解析），共18页。

第8章　概率
本章复习提升
易混易错练
易错点1　不能正确列出离散型随机变量的取值致误
1.()一个木箱中装有6个大小、形状均相同的篮球,编号分别为1,2,3,4,5,6,现随机抽取3个篮球,用X表示取出的篮球的最大号码,则X的试验结果有　　　　种. 
2.()在学校组织的足球比赛中,某班要与其他4个班级各赛一场,在这四场比赛的任意一场中,此班级胜、负、平的概率都相等.已知这四场比赛结束后,该班胜场多于负场.
(1)求该班胜场多于负场的所有可能情况的种数;
(2)若胜场数为X,求X的概率分布.














易错点2　错用公式或性质致误
3.(2021江苏南京师大附中高二期末,)甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.7,在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2144 B.1522 C.2150 D.925
4.()已知随机变量ξ服从正态分布N(3,4),则E(2ξ+1)与D(2ξ+1)的值分别为 (　　)
A.13,4 B.13,8 C.7,8 D.7,16
5.(2019四川攀枝花高二上期末,)一个布袋中装有若干个除颜色外完全相同的黑色、白色的小球,从中任意取出一个小球是白球的概率为35,连续取出两个小球都是白球的概率为25,若某次取出的小球是白球,则随后一次取出的小球为白球的概率为 (　　)
A.35 B.23 C.25 D.15
易错点3　混淆二项分布和超几何分布致误
6.(2021江苏淮安淮阴中学高二月考,)一个袋中有2个红球,4个白球.
(1)从中取出3个球,求取到红球个数X的概率分布及数学期望;
(2)每次取1个球,取出后记录颜色并放回袋中.
①若第2次取到红球就停止试验,求第5次取球后试验停止的概率;
②取球4次,求取到红球次数Y的概率分布及数学期望.











7.(2021江苏南通海安高级中学高三二模,)在一次电视节目的答题游戏中,题型为选择题,只有“A”和“B”两种结果,其中某选手选择正确的概率为p,选择错误的概率为q,若选择正确则加1分,选择错误则减1分,现记“该选手答完n道题后总得分为Sn”.
(1)当p=q=12时,记ξ=S3,求ξ的概率分布及数学期望;
(2)当p=13,q=23时,求S8=2且Si≥0(i=1,2,3,4)的概率.


思想方法练
一、函数与方程思想在离散型随机变量中的应用
1.(2021浙江温州高一期末,)已知0 X
-1
1
2
P
12-a
12+a2
a2
则当D(X)最大时,a的值是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.14 B.316 C.15 D.325
2.(2020广东清远高二期末,)已知随机变量X的概率分布如下:
X
1
k+1
P
e-k3
1-e-k3
则满足E(X) (参考数据:ln 2≈0.693 1,ln 3≈1.098 6,ln 5≈1.609 4)
3.(2021江苏如皋中学高二月考,)新药在进入临床试验之前,需要先通过动物进行有效性和安全性的试验.现对某种新药进行5 000次动物试验,一次试验的方案如下:选取3只白鼠对药效进行检验,当3只白鼠中有2只或2只以上使用“效果明显”,即确定“试验成功”;若有且只有1只“效果明显”,则再取2只白鼠进行二次检验,当2只白鼠均使用“效果明显”,即确定“试验成功”.其余情况则确定“试验失败”.设对每只白鼠的检验相互独立,且使用“效果明显”的概率均为p(0 (1)若p=12,设该新药在一次试验中“试验成功”的概率为p0,求p0的值;
(2)若动物试验预算经费为700万元,对每只白鼠进行试验需要300元,其他费用总计为100万元,问该动物试验总费用是否会超出预算?并说明理由.


二、分类讨论思想在离散型随机变量中的应用
4.(2020浙江宁海中学高三月考,)为科学合理地做好小区管理工作,结合复工复产复市的实际需要,某小区物业提供了A,B两种小区管理方案,为了决定选取哪种方案为小区的最终管理方案,随机选取了4名物业人员进行投票,物业人员的投票规则如下:①单独投给A方案,则A方案得1分,B方案得-1分;②单独投给B方案,则B方案得1分,A方案得-1分;③弃权或同时投票给A,B方案,则两种方案均得0分.当前一名物业人员的投票结束后,再安排下一名物业人员投票,当其中一种方案比另一种方案多4分或4名物业人员均已投票时,就停止投票,最后选取得分高的方案为小区的最终管理方案.假设A,B两种方案获得每一名物业人员投票的概率均分别为23和12.
(1)在第一名物业人员投票结束后,A方案的得分记为ξ,求ξ的概率分布;
(2)求最终选取A方案为小区管理方案的概率.


























三、转化与化归思想在正态分布中的应用
5.(2021江苏镇江高三期末,)“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征,是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径,正被广泛采用.每次考试过后,考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少?自己能否被录取?能获得什么样的职位?某单位准备通过考试(采用高分优先录取的原则)录用300人,其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2 000,考试满分为400分(一般地,对于一次成功的考试来说,考试成绩应服从正态分布).考试后考试成绩的部分统计结果如下:考试平均成绩是180分,360分及其以上的高分考生有30名.
(1)最低录取分数是多少?(结果保留整数)
(2)考生甲的成绩为286分,若甲被录取,能否获得高薪职位?若不能被录取,请说明理由.
参考资料:①当X~N(μ,σ2)时,令Y=X-μσ,则Y~N(0,1).②当Y~N(0,1)时,P(Y<2.17)≈0.985,P(Y<1.28)≈0.90,P(Y<1.09)≈0.863,P(Y<1.04)≈0.85.













四、数形结合思想在求随机事件概率中的应用
6.(2020广东广州大学附属中学高三下线上测试,)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(-2,4)的概率密度曲线)的点的个数的估计值为 (　　)
(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ
A.906 B.340 C.2 718 D.3 413
7.()游乐场某游戏设备是一个圆盘,圆盘被分成红色和绿色两个区域,圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针,且指针受电子程序控制,前后两次停在相同区域的概率为14,停在不同区域的概率为34,某游客连续转动指针三次,记指针停在绿色区域的次数为X,若开始时指针停在红色区域,求X的数学期望.
答案全解全析
第8章　概率
本章复习提升
易混易错练
1.答案　20
解析　当X=3时,另两个球从1,2中选取,有1种取法;
当X=4时,另两个球从1,2,3中任取,有C32=3种取法;
当X=5时,另两个球从1,2,3,4中任取,有C42=6种取法;
当X=6时,另两个球从1,2,3,4,5中任取,有C52=10种取法.
所以,X的试验结果共有1+3+6+10=20(种).
易错警示
离散型随机变量的取值要根据具体的试验结果确定,注意将各种试验结果考虑周全,必要时利用两个基本计数原理求解试验结果的个数.
2.解析　(1)若胜一场,则其余为平,共有C41=4种情况;若胜两场,则其余两场为一负一平或两平,共有C42C21+C42=18种情况;若胜三场,则其余一场为负或平,共有C43×2=8种情况;若胜四场,则只有1种情况.
综上,共有4+18+8+1=31种情况.
(2)X的可能取值为1,2,3,4,
P(X=1)=431,P(X=2)=1831,
P(X=3)=831,P(X=4)=131,
所以X的概率分布为
X
1
2
3
4
P
431
1831
831
131
3.A　根据题意,记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,目标被击中为事件C,
则P(C)=1-P(AB)=1-P(A)P(B)=1-(1-0.6)×(1-0.7)=0.88,所以在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率P=0.6×0.70.88=2144.
4.D　由已知得E(ξ)=3, D (ξ)=4,故E(2ξ+1)=2E(ξ)+1=7,D(2ξ+1)=4D(ξ)=16.
5.B　设“第一次取得白球”为事件A,“第二次取得白球”为事件B,“连续取出两个小球都是白球”为事件AB,则P(A)=35,P(AB)=25,事件“某次取出的小球是白球,则随后一次取出的小球为白球”的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=2535=23,故选B.
易错警示
1.P(B|A)与P(A|B)是不同的.同时注意在事件A发生的前提下,事件B发生的概率不一定是P(B),即P(B|A)与P(B)不一定相等.
2.在条件概率的定义中,要强调P(A)>0.当P(A)=0时,P(B|A)=0.
6.解析　(1)由题意得X的可能取值为0,1,2,
所以P(X=0)=C20C43C63=15,
P(X=1)=C21C42C63=35,
P(X=2)=C22C41C63=15,
所以X的概率分布为
X
0
1
2
P
15
35
15
故数学期望E(X)=0×15+1×35+2×15=1.
(2)设“取1次取出红球”为事件A,“取1次取出白球”为事件B,则P(A)=13,P(B)=23.
①记“前4次中恰有1次取出红球”为事件C,易知事件C与事件“第5次取出红球”相互独立,
则第5次取球后试验停止的概率P=P(C)P(A)=C41×13×233×13=32243.
②由题意得Y的可能取值为0,1,2,3,4,
所以P(Y=0)=C40·130·234=1681,
P(Y=1)=C41·131·233=3281,
P(Y=2)=C42·132·232=2481=827,
P(Y=3)=C43·133·231=881,
P(Y=4)=C44·134·230=181,
所以Y的概率分布为
Y
0
1
2
3
4
P
1681
3281
827
881
181
故数学期望E(Y)=0×1681+1×3281+2×827+3×881+4×181=43.
易错警示
超几何分布和二项分布的区别与联系:(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,二项分布描述的是有放回抽样问题;(2)超几何分布问题实质上是古典概型问题,二项分布问题实质上是相互独立事件的概率问题;(3)当调查研究的样本容量很大时,在有放回地抽取和不放回地抽取条件下,计算得到的概率非常接近,此时可以近似将超几何分布认为是二项分布.
7.解析　(1)ξ的可能取值为-3,-1,1,3,因为p=q=12,
所以P(ξ=-3)=123=18,
P(ξ=-1)=C31×122×12=38,
P(ξ=1)=C32×122×12=38,
P(ξ=3)=123=18,
所以ξ的概率分布为
ξ
-3
-1
1
3
P
18
38
38
18
所以E(ξ)=-3×18+(-1)×38+1×38+3×18=0.
(2)S8=2即答完8道题后,正确的题数为5,错误的题数为3,
又Si≥0(i=1,2,3,4),所以第一题答对,
若第二题回答正确,则其余6题可任意答对3题;
若第二题回答错误,则第三题回答正确,后5题可任意答对3题,
所以所求概率P=(C63+C53)·135·233=30×838=8037或802187.
思想方法练
1.D　由已知得E(X)=-1×12-a+1×12+a2+2×a2=5a2,
所以E(X2)=1×12-a+12+a2+4×a2=1+32a,
所以D(X)=E(X2)-[E(X)]2=1+32a-25a24=-254a-3252+109100,
将方差表示为关于a的二次函数,用二次函数的性质求解,体现了函数与方程思想.
因为0 2.答案　4
解析　由题意得E(X)=e-k3+(k+1)·(1-e-k3)=-ke-k3+k+1,
所以E(X)ek3,则k>0.
两边同时取以e为底的对数,得ln k>k3,
构造函数f(k)=ln k-k3,k>0,利用导数判断其单调性,从而求出函数最值,充分体现了函数思想.
令f(k)=ln k-k3,k>0,
则f'(k)=1k-13=3-k3k,
当k∈(0,3)时,f'(k)=3-k3k>0,即函数f(k)=ln k-k3单调递增;
当k∈(3,+∞)时,f'(k)=3-k3k<0,即函数f(k)=ln k-k3单调递减.
因此f(k)max=f(3)=ln 3-33=ln 3-1>0,
又f(4)=ln 4-43=2ln 2-43≈1.386 2-1.333 3>0,
f(5)=ln 5-53≈1.609 4-1.666 7<0,
因此满足ln k>k3的最大正整数k的值是4,即满足E(X) 3.解析　(1)当p=12时,一次检验就“试验成功”的概率为C32p2(1-p)+C33p3=3×14×12+123=12;
经过二次检验才“试验成功”的概率为[C31p(1-p)2]p2=3×12×14×14=332,
所以该新药在一次试验中“试验成功”的概率p0=12+332=1932.
(2)设一次试验需要用到的经费为X元,则X的可能取值为900,1 500.
P(X=900)=1-C31p(1-p)2,
P(X=1 500)=C31p(1-p)2.
所以E(X)=900×[1-C31p(1-p)2]+1 500×C31p(1-p)2=900+1 800p(1-p)2,
将数学期望表示为关于概率p的函数,体现了函数思想.
设f(p)=p(1-p)2,则f'(p)=(1-p)2+2p(p-1)=(3p-1)(p-1),
当p∈0,13时,f'(p)>0,所以f(p)在0,13上单调递增;
当p∈13,1时,f'(p)<0,所以f(p)在13,1上单调递减.
所以f(p)的最大值为f13=427,
因此实施一次试验方案的最高费用为900+1 800×427=35003(元),
所以估计动物试验阶段的最高试验费用为100+35003×5 000×10-4=100+17503=20503(万元),
因为20503<700,所以动物试验总费用不会超出预算.
思想方法
函数与方程思想在离散型随机变量中的应用主要体现在利用参数表示离散型随机变量的数学期望或方差,利用函数或不等式研究其数学期望或方差的最值问题.
4.解析　(1)由题意知,ξ的可能取值为-1,0,1,
P(ξ=-1)=1-23×12=16,
P(ξ=0)=23×12+13×12=12,
P(ξ=1)=23×1-12=13.
∴ξ的概率分布为
ξ
-1
0
1
P
16
12
13
(2)记M1表示事件“仅前2名物业人员进行了投票,且最终选取A方案为小区管理方案”,由(1)知,P(M1)=[P(ξ=1)]2=132=19.
记M2表示事件“仅前3名物业人员进行了投票,且最终选取A方案为小区管理方案”,
P(M2)=C21[P(ξ=1)]2·P(ξ=0)=2×132×12=19.
记M3表示事件“共有4名物业人员进行了投票,且最终选取A方案为小区管理方案”,
根据A方案的不同得分情况分类计算概率,体现了分类讨论的思想.
①若A方案比B方案多4分,有两类:
第一类,A方案前三次得了一次1分,两次0分,最后一次得1分,其概率为
C31·[P(ξ=1)]2·[P(ξ=0)]2=112;
第二类,A方案前两次得了一次1分,一次-1分,后两次均得1分,其概率为
C21·P(ξ=-1)·[P(ξ=1)]3=181.
②若A方案比B方案多2分,有三类:
第一类,A方案四次中得了一次1分,其他三次全为0分,其概率为
C41·P(ξ=1)·[P(ξ=0)]3=16;
第二类,A方案前三次得了一次1分,一次0分,一次-1分,最后一次得了1分,其概率为 A33·[P(ξ=1)]2·P(ξ=0)·P(ξ=-1)=118;
第三类,A方案前两次得了一次1分,一次-1分,第三次得1分,第四次得0分,其概率为
C21·[P(ξ=1)]2·P(ξ=0)·P(ξ=-1)=154.
故P(M3)=112+181+16+118+154=109324,
∴最终选取A方案为小区管理方案的概率P=P(M1)+P(M2)+P(M3)=19+19+109324=181324.
思想方法
分类讨论思想是研究和解决问题的重要思想方法,在求解概率问题时,经常会遇到事件A是由多个互斥事件构成的情况(如“至少”“至多”型的概率问题),随机变量ξ的某个取值可能对应着若干个试验结果的情形.这就需要借助分类讨论的思想方法将此类问题分成若干个小问题去解决.
5.解析　(1)设考生成绩为X,则依题意知X应服从正态分布,即X~N(180,σ2).
令Y=X-180σ,则Y~N(0,1).
将非标准正态分布通过变形化为标准正态分布,体现了转化与化归思想.
由360分及其以上的高分考生有30名,可得P(X≥360)=302000,即P(X<360)=1-302000=0.985,亦即PY<360-180σ=0.985,
则360-180σ=2.17,解得σ≈83,
∴X~N(180,832).
设最低录取分数线为x0,则P(X≥x0)=PY≥x0-18083=3002000,
PY ∴x0-18083=1.04,
∴x0=266.32.即最低录取分数为266分或267分.
(2)∵286>267,∴考生甲能被录取.
又P(X<286)=PY<286-18083≈P(Y<1.28)≈0.90,1-0.90=0.10,
∴不低于考生甲的成绩的人数为2 000×0.10=200,所以考生甲大约排在第201名,排在275名之前,所以他能获得高薪职位.
思想方法
转化与化归思想在正态分布中的应用主要有:(1)利用正态密度曲线的对称性,用已知区间的随机事件的概率表示待求区间的概率;(2)将非正态分布的随机事件的概率转化为标准正态分布的随机事件的概率.
6.B　由题中的图形得出阴影部分的面积的关系式,体现了由“形”到“数”的过程,充分体现了数形结合思想.
由题意知阴影部分的面积S=P(0 =12[P(-6 ≈12×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9,
则在正方形中随机投掷一点,该点落在阴影部分的概率P=0.13594,
∴落入阴影部分的点的个数的估计值为10 000×0.13594=339.75≈340.故选B.
思想方法
数形结合指的是在处理数学问题时,能够将抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来,促使抽象思维和形象思维相结合,通过对规范图形或示意图形的观察分析,化抽象为直观,从而使问题得到解决.本章中的数形结合思想主要体现在利用正态密度曲线的性质求概率等.
7.解析　该游客转动指针三次的结果的树形图如下:

利用树形图表示已知条件中的概率和试验发生的过程和结果,体现了数形结合思想.
则X的概率分布如下:
X
0
1
2
3
P
164
2164
3964
364
故E(X)=0×164+1×2164+2×3964+3×364=2716.