高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册8.2离散型随机变量及其分布列教学设计

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册8.2离散型随机变量及其分布列教学设计，共7页。教案主要包含了情境导入，新知探究，应用举例，课堂练习，梳理小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。

教学目标
1.通过实例，理解离散型随机变量方差的含义，通过比较了解随机变量的方差与样本方差的区别与联系；
2.能计算简单离散型随机变量的方差；
3.体会均值与方差是从不同角度刻画随机变量的重要指标，并能利用他们解决一些实际问题．
教学重难点
教学重点：对离散型随机变量的方差的概念和求法的理解．
教学难点：利用离散型随机变量的方差解释随机现象，解决实际问题．
教学过程
一、情境导入
甲、乙两名工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示，X1，X2的概率分布如下表：
问题1：该情境中，X1，X2均是离散型随机变量，你能结合上节课所学的随机变量均值的知识来简单比较两名工人技术的好坏吗？
答案：离散型随机变量的均值，反映了随机变量取值的平均水平，在该问题中，均值越大，则生产100件产品中所出不合格品数越多，反之则越少．根据离散型随机变量均值的计算公式EX=x1p1+x2p2+…xnpn=，计算可得：
EX1=0×0.6+1×0.2+2×0.1+3×0.1=0.7，
E(X2)=0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0=0.7．
因为EX1=E(X2)，两个均值相等，那么我们仅通过均值就无法来比较两名工人的技术好坏．所以，我们需要进一步考查两名工人的技术稳定性．
二、新知探究
问题2：回顾统计中刻画样本数据稳定性的方法，思考如何来类比刻画离散型随机变量取值的稳定性？
答案：我们知道，在统计中，样本方差可以度量一组样本数据稳定性，即数据偏离平均值的程度，也就是数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的．比如，一组样本数据x1，x 2，…，xn，设其均值为x， 则其方差即为(x1-x)2，(x2-x)2，…，(xn-x)2的平均值，即
s2=1n((x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2)．
一个自然的想法是，随机变量的离散程度是否也能用其取值与均值“偏差平方的平均值”来度量呢？
一般地，设离散型随机变量X的概率分布如下表所示：
设μ=E(X)，则X的取值xi与μ的偏差的平方x1-μ2，x2-μ2，…，xn-μ2就描述了xi与E(X)的偏离程度．因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来刻画随机变量X取值与其均值E(X)的平均偏离程度．
我们称D(X)=x1-μ2p1+x2-μ2p2+…+xn-μ2pn=∑ni=1xi-μ2pi为随机变量X的方差，称其算术平方根DX为随机变量X的标准差，方差与标准差也可分别记为σ2，σ．
其中pi≥0，i=1，2，⋯，n，p1+p2+⋯+pn=1．
这样，随机变量的方差和标准差都可以反映随机变量取值与其均值的偏离程度．方差（标准差）越小，随机变量偏离于均值的平均程度越小，取值越集中；方差（标准差）越大，随机变量偏离于均值的平均程度越大，取值越分散．
问题3：根据以上方差的知识，来评价一下情境中两名工人生产技术的稳定性吧．
答案：根据数据，EX1=E(X2)=0.7，则甲、乙两工人生产出不合格产品数X1，X2的方差分别为：
DX1=0-0.72×0.6+1-0.72×0.2+2-0.72×0.1+3-0.72×0.1=1.01，σX1=1.005；
DX2=0-0.72×0.5+1-0.72×0.3+2-0.72×0.2+3-0.72×0.0=0.61，σX2=0.781；．
因为DX1>DX2（等价地，σX1>σX2），所以工人乙的生产技术稳定性更好．
问题4：观察随机变量方差的表达式，尝试一下能否进行简化？
答案：DX=∑ni=1xi-μ2pi=∑ni=1(xi2-2μxi+μ2)pi
=∑ni=1xi2pi-2μ∑ni=1xipi+μ2∑ni=1pi=∑ni=1xi2pi-2μ2+μ2=∑ni=1xi2pi-μ2
在以上的式子中，∑ni=1xi2pi即为X2的均值，μ2为X均值的平方，所以，该式表明“随机变量X的方差就等于X2的均值减去X均值的平方”．在方差的计算中，利用该结论经常可以使计算简化．
问题5：离散型随机变量的学习中，我们经常会见到aX+b这样的变量，它与变量X存在线性关系，那么它的方差又与X的方差有何关系？这种关系与两者期望的关系有什么不同？
答案：这个问题我们分三个层次来探究．
①离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，故方差保持不变，即D(X+b)=DX；
②离散型随机变量X乘以一个常数a，则
DaX=∑ni=1(axi)2pi-EaX2=∑ni=1a2xi2pi-(aE(X))2=a2∑ni=1xi2pi-a2(EX)2
=a2(∑ni=1xi2pi-(EX)2)=a2DX
即，DaX=a2DX，aX的方差是原X方差的a2倍．
③类似于上面的，可以证明DaX+b=a2DX，即与离散型随机变量X存在线性依赖关系的变量aX+b的方差，就等于原X方差的a2倍．
三、应用举例
例1.已知随机变量X的概率分布如下表所示，求X的方差D(X)和标准差σ．
解：因为EX=0×1-p+1×p=p，
所以，D(X)=0-p2⋅1-p+1-p2⋅p=p1-p，σ=p1-p．
例2.设有甲、乙两地生产的两批原棉，他们的纤维长度X，Y的概率分布如下表所示，试问，这两批原棉的质量哪一批较好？
解：两批原棉纤维长度的均值分别为
EX=25×0.1+24×0.2+23×0.3+22×0.1+21×0.1+20×0.2=22.5，
EY=25×0.05+24×0.2+23×0.25+22×0.3+21×0.1+20×0.1=22.5，
EX= EY，即这两批原棉的纤维平均长度相等．
两批原棉纤维长度的方差分别为
DX=(25-22.5)2×0.1+(24-22.5)2×0.2+(23-22.5)2×0.3+(22-22.5)2×0.1+(21-22.5)2×0.1+(20-22.5)2×0.2=2.65，
DY=(25-22.5)2×0.05+(24-22.5)2×0.2+(23-22.5)2×0.25+(22-22.5)2×0.3+(21-22.5)2×0.1+(20-22.5)2×0.1=1.75，
DX> DY，这说明乙地原棉纤维更加齐整，故乙地原棉的质量比甲地的要好一些．
例3 医学上发现，某种病毒侵入人体后，人的体温会升高．记病毒侵入人体的平均体温为X℃（摄氏度），医学统计发现，X的分布列如下：
（1）求出E(X)，D(X)；
（2）已知人体体温为X℃时，相当于Y=1.8X+32℉（华氏度），求EY，D(Y)．
解：（1）E(X)=37×0.1+38×0.5+39×0.3+40×0.1=38.4，
根据D(X)=∑ni=1xi-E(X)2Pi=∑ni=1xi2pi-(E(X))2，则
D(X)=372×0.1+382×0.5+392×0.3+402×0.1-38.42=0.64．
（2）E(X)=E1.8X+32=1.8E(X)+32=101.12，
D(X)=D1.8X+32=1.82D(X)=3.24×0.64=2.0736．
思考：随机变量的均值、方差与分布列有何关系？
答案：随机变量的分布列全面刻画了随机变量取值的统计规律，随机变量的均值和方差从不同的角度刻画了随机变量的特征，反映了随机变量的重要信息．分布列确定了，均值和方差也就确定了；但是反过来，仅仅知道均值或方差等数字特征，并不能完全确定随机变量的分布列．因此，均值、方差与分布列是部分和整体的关系．
四、课堂练习
1.已知随机变量X的分布列如下表，求DX和σ．
解：因为E(X)=0×0.1+1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1=2，
所以D(X)=0-22×0.1+1-22×0.2+2-22×0.4+3-22×0.2+4-22×0.1=1.2，（或DX=E(X2)-E(X)2=02×0.1+12×0.2+22×0.4+32×0.2+42×0.1-22=1.2）．
所以σ=305．
2.随机变量X的概率分布为
PX=k=150(k=2，4，6，⋯，100)
试求EX，D(X) ．
解：EX=∑ 50i=12i⋅150=250×∑ 50i=1i=250×1+50×502=51，
DX=∑50i=1xi-EX2pi=∑50i=1xi2pi-EX2=150∑50i=1(2i)2-EX2=150×4∑50i=1i2-EX2=450×50×51×1016-512=3434-2601=833．
3.甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，设ξ，η分别表示甲、乙两人所加工出的次品件数，且ξ，η的分布列如下表：
试比较这两名工人谁的技术水平更高．
解：因为E(ξ)=0×35+1×110+2×310=0.7，
E(η)=0×12+1×310+2×15=0.7，
即E(ξ)=E(η)，说明甲、乙两名工人所加工出的平均次品件数相同，可以认为他们的技术水平相当．
又因为D(ξ)=0-0.72×35+1-0.72×110+2-0.72×310=0.81，
D(η)=0-0.72×12+1-0.72×310+2-0.72×15=0.61，
所以为D(ξ)>D(η)，说明工人乙的技术比较稳定．
4.投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示．
（1）投资哪种股票的期望收益大？
（2）投资哪种股票的风险较高？
分析：股票投资收益是随机变量，期望收益就是随机变量的均值，投资风险是指收益的不确定性，在两种股票期望收益相差不大的情况下，可以用收益的方差来度量它们的投资风险高低，方差越大风险越高，方差越小风险越低．
解：（1）股票A的投资收益期望为EX=-1×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1，
股票B的投资收益期望为EY=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1．
因为EX>EY，所以投资股票A的期望收益较大．
（2）股票A的投资收益方差为DX=-12×0.1+02×0.3+22×0.6-1.12=1.29；
股票B的投资收益方差为DY=02×0.3+12×0.4+22×0.3-12=0.6．
因为EX和EY相差不大，且DX>DY，所以投资股票A比投资股票B的风险高．
说明：在实际中，可以选择适当的比例投资两种股票，使期望收益最大或风险最小．
五、梳理小结
问题1：我们是如何定量的刻画一个离散型随机变量取值的稳定性的？
答案：我们通过离散型随机变量的方差和标准差来刻画其取值的稳定性．
离散型随机变量X的方差的定义是：其每个取值与均值的差的平方的均值，即D(X)=∑ni=1xi-E(X)2Pi．
离散型随机变量的标准差指的方差的算术平方根，即σ=DX．
离散型随机变量的方差（或标准差）越小，变量取值的偏离于均值的平均程度就越小；方差（或标准差）越大，则随机变量取值的取值就越分散．
问题2：关于方差的计算，你得到了哪些结论？
答案：①D(X)=∑ni=1xi-E(X)2Pi=∑ni=1xi2pi-(E(X))2，即随机变量X的方差就等于X2的均值减去X均值的平方，该式在实际计算中使用较为方便．
②存在线性依赖关系的两个离散型随机变量的方差也有关系，即：
D(X+b)=D(X)，DaX=a2D(X)，DaX+b=a2D(X)，这也是离散型随机变量方差的基本性质．
六、布置作业
教材P113，习题8.2（2）
理解·感受 第4，5，6题，思考·运用 第8题.
X1
0
1
2
3
X2
0
1
2
3
P1
0.6
0.2
0.1
0.1
P2
0.5
0.3
0.2
0
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
X
0
1
P
1-p
p
X
25
24
23
22
21
20
P
0.1
0.2
0.3
0.1
0.1
0.2
X
25
24
23
22
21
20
P
0.05
0.2
0.25
0.3
0.1
0.1
X
37
38
39
40
P
0.1
0.5
0.3
0.1
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
ξ
0
1
2
η
0
1
2
P
35
110
310
P
12
310
15
股票A收益的分布列
股票B收益的分布列
收益X/元
-1
0
2
收益Y/元
0
1
2
概率
0.1
0.3
0.6
概率
0.3
0.4
0.3